Что такое подобные прямоугольники
Подобие фигур
Подобие фигур — это две геометрические фигуры или два геометрических тела называются подобными, если одно представляет собой уменьшенную модель другого.
Содержание:
Понятие подобия фигур
В окружающем мире часто встречаются предметы, одинаковые по форме, но различные по размерам: мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледокола и сам корабль, карты, фотоснимки различных размеров одного и того же здания. В геометрии такие фигуры называют подобными.
Существуют фигуры, которые всегда подобны друг другу, например, круги, квадраты, кубы.
Для обозначения подобия фигур употребляется знак 
. На рисунке 2.434 изображены подобные фигуры 
. Запись 
читается: фигура 
подобна фигуре 
Для подобных фигур вводится понятие — коэффициент подобия, он обозначается k; k всегда больше нуля. Коэффициент подобия показывает, в каком отношении находятся соответствующие расстояния между точками фигур. На рисунке 2.434 коэффициент подобия можно определить, найдя отношения сторон квадратиков изображенной сетки.
Подобие фигур широко используется при разработке планов построек зданий или при изображении на картах городов или других участков земной поверхности. Всякий план или карта является подобным изображением реального объекта или участка земной поверхности, т. е. фигурой, подобной реальному объекту. При этом план или карта может изображать реальный объект в разном масштабе.
Определение. Масштаб — это коэффициент подобия соответствующих фигур.
Подобие треугольников
На рисунке 2.435 изображены два чертежных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30°. Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза: 
У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против разных углов, пропорциональны: 
Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называют сходственными.
Определение. Подобными называют треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Подобие треугольников записывается так: 
Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия. В случае, изображенном на рисунке 2.435, коэффициентом подобия треугольников 
будет число 2. Если же взять отношения 
, коэффициент подобия будет равен 
.
Подобные треугольники могут быть произвольно расположены как на плоскости, так и в пространстве.
Если фигуры равны, то они подобны с коэффициентом подобия, равным 1. Если фигуры подобны, то они не обязательно равны.
Теорема 1. (Лемма о подобии треугольников). Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведенная параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному.
Для выявления подобия треугольников существуют признаки подобия треугольников.
Теорема 2. (Первый признак — по двум равным углам.) Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
Следствия из этой теоремы.
1. Равносторонние треугольники подобны.
2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.
3. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.
4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.
Теорема 3. (Второй признак — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.) Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.
Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.
Теорема 4. (Третий признак — по пропорциональности трех сторон.) Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
Теорема 5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Подобие многоугольников
Определение. Если стороны одного многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и соответственные углы этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.
Для многоугольников с числом сторон больше трех признак подобия, аналогичный третьему признаку подобия треугольников, будет неверен. Например, квадрат и ромб, отличный от квадрата, не будут подобны, хотя их стороны пропорциональны (рис. 2.437). Недостаточно для подобия двух прямоугольников и равенства их соответствующих углов. Например, квадрат не подобен четырехугольнику, не все стороны которого равны (рис. 2.438).
Теорема 6. Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их сходственных сторон (коэффициенту подобия).
Теорема 7. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Тема урока: «Подобные прямоугольники и их свойства»
Тема урока: «Подобные прямоугольники и их свойства»
Числовой код _____________________________
Выбери пары подобных фигур и найди коэффициент подобия:
ABCD 
_____
=
___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________
На изготовление рамки для репродукции потребовалось 1 м багета, подрамник, площадью 600 см2. Сколько метров багета потребовалось для изготовления рамки для оригинала холста Франса Снейдерса «Фруктовая лавка», если оригинал подобен репродукции с коэффициентом подобия равным 10? Какова площадь подрамника для оригинала картины?
Практическая работа в группе
Подобными являются прямоугольники ___ и ___. Коэффициент подобия этих прямоугольников
Периметр прямоугольника под номером ___ равен Р = _____.
Площадь прямоугольника под номером ___ равна S = _____.
Периметр прямоугольника под номером ___ равен Р = _____.
Площадь прямоугольника под номером ___ равна S = _____.
Частное периметров подобных прямоугольников равно
Частное площадей подобных прямоугольников равно
Периметры подобных прямоугольников отличаются в _____ раз.
Площади подобных прямоугольников отличаются в _____ раз.
Практическая работа (самостоятельно).
Разрежь желтый прямоугольник на два подобных. Приклей полученный результат на опорный лист.
Докажи, что полученные прямоугольники подобны.
Большая сторона а, мм
Меньшая сторона b, мм
Частное длин большей и меньшей сторон a : b
Так как частные длин большей и меньшей сторон равны, значит, прямоугольники подобны.
Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников
Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.
Подобные фигуры – это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.
Гомотетия – это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
Свойства преобразования гомотетии:
1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, углы – в углы.
2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых). Стороны гомотетичных фигур пропорциональны, а углы равны.
Подобные треугольники – это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.
Свойства подобных треугольников
1-й признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
\(\left. \begin
2-й признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3-й признак подобия треугольников
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, а вершина C принадлежит стороне FK. Найдите сторону ромба, если AF = 21 см, AK = 24 см.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, сторонами AB = 4 см, BC = 8 см и высотой AK, найдите отрезки KB и KC.
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.
Приемы построения подобных прямоугольников
Подобие элемента целому.
Подобие элементов.
Подобие.
Понятие пропорция.
Литература
Пропорционирование.
Подобие.
Понятие пропорция.
Пропорционирование.
1. Устин В.Б. Композиция в дизайне. Методические основы композиционно-художественного формообразования в дизайнерском творчестве: учебное пособие. – 2-е изд. М, АСТ, Астрель, 2006.
2. Голубева О.Л. Основы композиции. М, «Сварог и К», 2008
3. Основы архитектурной композиции и проектирования. Под ред. А.А.Тица. Киев, 1975.
| a:b = c:d |
| c |
| a |
Пропорция – это равенство отношений.
Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.
В математической равенство двух отношений выражается формулой a:b = с:d, и каждый член ее может быть определен через остальные три.
В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например:
В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий:
Понятие пропорция в античности было аналогично понятиям: соответствие, сходство, подобие (подобие – это похожесть элементов).
| Сходные формы – геометрическое подобие |
| Формы с неполным сходством аффинное подобие |
| Полное подобие |
| Несходные формы |
| Элемент не подобен общей форме |
| Элемент подобен целому |
Свойства элементов хорошо прочитываются и легко сопоставляются со свойствами целого при количестве элементов – 7±2
а)диагонали прямоугольников параллельны:
б) диагонали прямоугольников взаимно перпендикулярны:
В основе построения подобных прямоугольников может лежать геометрическая или арифметическая прогрессии.
| а |
| а |
| Арифметическая прогрессия |
| Геометрическая прогрессия |
3. Пропорционирование.
Пропорционирование – это использование пропорций для организации элементов композиции в гармоничную, целостную структуру.
Основа пропорции – это отношения. Отношения сторон прямоугольника, отношение целого и части, отношения различных величин.
Священный Египетский треугольник
Древние греки, в период своего наивысшего развития (Классика), дали Миру отношение золотого сечения. Греческий скульптор Поликлет сваял скульптуру Дорифора, используя пропорции золотого сечения.
Это разновидностью геометрической пропорции имеющая всего два члена «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией».
Особенностью пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между двумя предыдущими членами, т. е.:
Отношение золотого сечения выражается числом 0,618.
Пропорция золотого сечения:
1 : 0,618 = 0,618 : 0,382
Если отрезок прямой выразить через единицу (m), а затем разделить его на два отрезка по золотому сечению, то больший отрезок будет равен 0,618, а меньший 0,382. На рис. показано деление отрезка на части по золотому сечению:
Геометрический способ построения золотого сечения.
| ½m |
| 0,382 |
| 0,618 |
| m |
К золотому сечению приближаются отношения чисел ряда Фибоначчи:
2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55 и т.д.
в котором приблизительно выдерживается пропорция а:в = в:(а-b), а именно 8:5=5(8-5).
Пропорции золотого сечения ученые связывают с развитием органической материи. Золотое сечение было обнаружено в объектах живой природы — в строении раковин, дерева, в расположении семян подсолнуха, в строении тела человека, а также его наблюдали в устройстве вселенной в расположении планет.
В отношении золотого сечения находятся так же элементы геометрических фигур — пятиугольника, звезды.
Точки пересечения линий, составляющих звезду, делят их
на отрезки в отношении золотого сечения.
В прямоугольнике золотого сечения стороны находятся в отношении золотого сечения. Этот прямоугольник содержит в себе квадрат и малый прямоугольник золотого сечения (его большая сторона является малой стороной первоначального прямоугольника).
Прямоугольник приблизительно золотого сечения,
построенный на основании пятиугольника.
Поэтому можно построить прямоугольник золотого сечения на основании квадрата: сторона квадрата делится пополам, из той точки к вершине проводится диагональ, с помощью которой на стороне квадрата строится прямоугольник золотого сечения, как показано на рисунке:
Построение прямоугольника золотого сечения
на основе квадрата.
Этот малый прямоугольник подобен большому прямоугольнику, составленному из квадрата и малого прямоугольника золотого сечения, то есть оба эти прямоугольника являются прямоугольниками золотого сечения. Иначе говоря, если отсечь от прямоугольника золотого сечения квадрат, то остается меньший прямоугольник, стороны которого опять же будут находиться в отношении золотого сечения. Разбивая этот меньший прямоугольник на квадрат и еще меньший прямоугольник, мы опять получим прямоугольник золотого сечения, и так до бесконечности. Если соединить вершины квадратов кривой, то мы получим логарифмическую кривую, бесконечно растущую спираль, которую называют «кривая развития», «спираль жизни», ибо в ней как бы заложена идея бесконечного развития.
Логарифмическая кривая «Спираль жизни»
Бесконечное повторение прямоугольника золотого сечения и квадрата при рассечении прямоугольника золотого сечения обнаруживает повторение целого в его частях, что является одним из условий гармонии целого. Это свойство прямоугольника золотого сечения было обнаружено художниками и они стали употреблять золотое сечение как способ гармонизации, способ пропорционирования. Фидий использовал золотое сечение при постройке Акрополя (5 век до н. э.). Греческие ремесленники, создавая гончарные изделия также применяли золотое сечение. В эпоху Возрождения золотое сечение использовали не только в зодчестве, скульптуре, живописи, но и в поэзии и музыке. Дюрер, Леонардо да Винчи и его ученик Лука Пачоли применяли золотое сечение в поисках гармоничных пропорций букв.
Построение буквы из книги Луки Пачоли
«О божественной пропорции»
Прямоугольник золотого сечения мы встречаем и в пропорциях средневековых рукописных книг, и в современной книге, так как стройные пропорции золотого сечения позволяют красиво организовать пространство книжной страницы и разворота.
Один из способов определения размера
полосы набора при заданном формате.
Презентация по геометрии «Подобие четырехугольников»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Признаки подобия четырехугольников средством математического эксперимента МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «Средняя школа №6 имени Героя Советского Союза А.С.Степина» г. Рославля Смоленской области Работу выполнили учащиеся 8 класса: Няйкина Евгения, Доронкина Екатерина Руководитель: Тихонова Людмила Георгиевна, учитель математики высшей категории Исследовательский проект по геометрии
Корбюзье французский архитектор “Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия”
Содержание Введение Глава 1. Четырехугольники Из истории четырехугольников Четырехугольники в нашей жизни Глава 2. Преобразование подобия Глава 3. Признаки подобия четырехугольников Глава 4. Признак подобия четырехугольников по средствам математического эксперимента Заключение Список используемой литературы
Гипотеза Метод подобия широко применяется при решении геометрических задач. Однако в школьном курсе геометрии рассматриваются только три признака подобия треугольников, а признаки подобия четырехугольников и других выпуклых многоугольников не рассматриваются. А существуют ли таковы?
Цель проекта Вывести доказательства признаков подобия четырехугольников встречающихся в нашей жизни.
Задачи проекта Рассмотреть виды четырехугольников и рассмотреть где мы с ними сталкиваемся в жизни. Изучить преобразование подобия и метод математической индукции. Вывести признаки подобия четырехугольников. Применить признаки подобия четырехугольников по средствам математического эксперимента.
Методы и средства исследования При выведении признаков подобия различных видов четырехугольников использовала ранее изученные три признака подобия треугольников. При выведении признаков подобия четырехугольников использовала определение подобия; метод сведения задачи к рассмотрению треугольников и применение их признаков подобия. При доказательстве признака подобия произвольных выпуклых многоугольников, применяла метод математической индукции.
Признаки подобия четырехугольников 1. Все квадраты подобны. 2. Если угол одного ромба равен углу другого ромба, то такие ромбы подобны. 3. Если две соседние стороны одного прямоугольника пропорциональны двум сторонам другого прямоугольника, то такие прямоугольники подобны. В C1 B1 D А С D1 А1
5. Если угол одной трапеции равен углу другой трапеции, а стороны, образующие этот угол, и диагональ, выходящая из этого угла, соответственно пропорциональны двум сторонам другой трапеции, образующим угол, равный первому, и диагонали, выходящей из этого угла, то такие трапеции подобны. 4. Если соответственные стороны двух трапеций пропорциональны, то трапеции подобны. В С D А B1 C1 D1 А1 М1 М
Установление подобия граней спичечного коробка Измерения 50х35х12,5(мм)
Из неравенства следует, что данные грани не подобны. Вывод: Грани спичечного коробка не подобны
Исследование на подобие диагональных сечений двух этажей Эйфелевой башни
Нижний этаж представляет собой усеченную пирамиду (124,9м каждая сторона в основании). Образующая 4 колоннами, соединяющимися на высоте 57,63м. На своде покоится первая платформа Эйфелевой башни. Платформа представлена квадратом (65м в поперечнике).
Сечение N K NК=35м МЕ=65м 1)NО=115,73-57,63=58,1м M E O F 2) МО=(МЕ-ОF)/2 МО=15м 3) tg β=NO/MO tg β=3,87 tg α≠ tg β
Вывод: Равнобедренные трапеции полученные в сечениях усеченных пирамид, являются двумя этажами Эйфелевой башни не являются подобными трапециями, так как не выполняется одно из условий подобия равнобедренных трапеций (равенство углов). Дальнейшие исследования по трапециям бесполезны.
Литература Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик. Геометрия 8-9. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1991. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г. Планиметрия. Пособие для углубленного обучения математики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М: Мнемозина, 2011. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1991; Шарыгин И.Ф.Геометрия 8 класс. Методическое пособие к учебнику. – М: Дрофа, 2000. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9. Учебник по геометрии для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2001. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования. – М.: Просвещение, 1999.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1471925
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков
Время чтения: 2 минуты
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Названы главные риски для детей на зимних каникулах
Время чтения: 3 минуты
Ученые изучили проблемы родителей, чьи дети учатся в госпитальных школах
Время чтения: 5 минут
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Поставщики интернета для школ будут работать с российским оборудованием
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.