Что такое поглощательная способность

30.10.202322.04.2022 admin 0 Comments

Что такое поглощательная способность

Любое нагретое тело излучает энергию в виде электромагнитных волн. Электромагнитное излучение тел, обусловленное их нагреванием, называется тепловым излучением.

Тепловое или температурное излучение отличается от других видов излучения (люминесценции) только способом перехода излучающих систем в возбужденное состояние. В явлениях теплового излучения такой переход осуществляется в результате теплового движения атомов и молекул.

В отличие от других видов излучения тепловое излучение является равновесным. Это означает, что оно всегда стремиться к состоянию термодинамического равновесия, при котором в любой промежуток времени количество излученной лучистой энергии в среднем равно количеству поглощенной энергии.

Связь между излучательной и поглощательной способностью тел, независимо от их природы, выражается законом Кирхгофа.

Аналитический вид функции излучательной способности черного тела удалось найти в 1900г. М. Планку на основе его гипотезы о том, что нагретое тело излучает и поглощает энергию дискретными порциями (квантами).

Формула Планка для имеет вид:

Учтя связь между частотой и длиной волны получаем:

где	—	длина волны излучения,
—	частота излучения,
—	скорость света в вакууме.

Тогда формулу Планка можно записать в виде:

где	=	— постоянная Планка,
=	— скорость света в вакууме,
=	— постоянная Больцмана.

Зная можно определить интегральную испускательную способность абсолютно черного тела.

Формула (8) есть закон Стефана-Больцмана для абсолютно черного тела. Для серого тела выражение для интегральной испускательной способности, исходя из (4) будет иметь вид:

Источник

ПОГЛОЩАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ

Лит.: Ландсберг Г. С., Оптика, 5изд., М., 1976.

Полезное

Смотреть что такое «ПОГЛОЩАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ» в других словарях:

поглощательная способность — поглощательная способность; поглощаемость Отношение потока излучения, поглощенного телом (средой), к потоку излучения, падающему на тело (среду) … Политехнический терминологический толковый словарь

поглощательная способность — Поглощенная поверхностью доля солнечной энергии, падающей на эту поверхность. [ГОСТ Р 51594 2000] Тематики солнечная энергетика EN Absorbability … Справочник технического переводчика

поглощательная способность — absorbcijos geba statusas T sritis chemija apibrėžtis Pusiausvirasis absorbato ir jo prisotinto absorbento kiekių santykis. atitikmenys: angl. absorbance; absorption ability; absorption power; absorptivity rus. абсорбционная способность;… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

поглощательная способность — sugerties geba statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absorbing capacity; absorptive power; absorptivity vok. Absorptionsvermögen, n rus. поглощательная способность, f; поглощающая способность, f pranc. absorptivité, f; pouvoir absorbant, m … Fizikos terminų žodynas

поглощательная способность — rus коэффициент (м) поглощения, поглощательная способность (ж) eng absorbance fra indice (m) d absorption deu Absorptionsindex (m) spa absorbencia (f) … Безопасность и гигиена труда. Перевод на английский, французский, немецкий, испанский языки

поглощательная способность — [adsorptivity] отношение поглощенной телом энергии к полной энергии падающего на него излучения; Смотри также: Способность теплотворная способность разрешающая способность отражательная способность … Энциклопедический словарь по металлургии

Поглощательная способность — тела (αν), поглощаемая телом доля падающего на него монохроматического потока излучения (См. Поток излучения) частоты ν. Отличается от Поглощения коэффициента (хотя часто называется так) тем, что относится лишь к излучению одной… … Большая советская энциклопедия

поглощательная способность поверхности (для видимой части спектра) — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN luminous surface absorption … Справочник технического переводчика

взаимная поглощательная способность пары тел — Произведение коэффициента многократных отражений на поглощательные способности данной пары тел … Политехнический терминологический толковый словарь

Способность — [ability, capacity]: Смотри также: теплотворная способность разрешающая способность отражательная способность … Энциклопедический словарь по металлургии

Источник

Поглощательная способность

Прежде чем вникнуть в повседневные последствия поглощения, нам нужно разобраться с терминологией. Хотя разнообразие связанных с поглощением света терминов далеко от причудливого безумия фотометрических единиц, они всё ещё могут запутать. Итак, приведём их в порядок, начав с поглощательной способности.

Мы встречались со способностью тел к поглощению в главе 3 при обсуждении излучения абсолютно чёрного тела. Поглощательная способность (absorptivity) – это безразмерное число между нулем и единицей, которое сообщает вам, какая доля падающего излучения поглощается. Это свойство целого объекта, зависящее не только от материала, но и от геометрии. Помните, что в главе 3 мы обсудили, как шар с блестящими внутренними стенками всё ещё может обладать высокой поглощательной способностью. Поглощательная способность также является основным термином, использующимся людьми, работающими в области термодинамики. Таким образом, если вы не работаете с тепловыми бюджетами животных, вы вряд ли часто будете использовать «поглощательную способность» в термодинамическом смысле.

Эффективность в поглощении энергии излучения (absorptance) и поглощение (absorption) являются синонимами поглощательной способности, часто используемыми биологами. Эффективность в поглощении энергии излучения определяет количество энергии, поглощаемой поверхностью, соответственно термин предназначен дополнять понятие «прозрачности». Для меня этот термин всегда звучал странновато. Я, как и многие другие люди, изучающие поглощение света фоторецепторами, водой и другими распространёнными объектами, предпочитаю использовать просто «поглощение». Подобно поглощательной способности, поглощение зависит от геометрии. Толстая пластина чёрного стекла поглощает больше, чем более тонкая пластина того же стекла. Также нечто может поглощать свет, не обязательно будучи изготовленным из хорошо поглощающего материала. Например, если со стороны смотреть на стопку бритвенных лезвий, она выглядит удивительно чёрной, хотя сами лезвия блестящие. Падающий на грани лезвий свет отскакивает туда-сюда между блестящими лезвиями, и в конце концов поглощается.

Теперь к понятию, которое действительно отличается от приведённых выше – спектральной поглощательной способности (absorbance). Оно выглядит так:

Примечание переводчика Российский «ГОСТ 26148-84 Фотометрия. Термины и определения» знает только термин «absorptance», и определяет его как «коэффициент поглощения». В англоязычной Вики относительно этого термина указанно, что он относится к поглощению энергии излучения поверхностью материала, и в этом фактически отличается от коэффициента поглощения (absorption coefficient), который определяет долю поглощённого входящего электрического поля.

Absorptivity в словарях переводится либо как «спектральный коэффициент поглощения», либо как «интегральная лучепоглощающая способность», либо как просто «поглощающая способность». Т.е. это термин действительно из термодинамики.

Термин «absorbance» также неизвестен ГОСТу. В словарях его переводят как «спектральная поглощательная способность». В физике этому понятию соответствуют термины «optical depth» и «optical thickness»; оптическая глубина или толщина соответственно. Понятия означают долю потока излучения, прошедшего сквозь материал, и являются количественными. Близким понятием является «оптическая плотность», отличие в том, что для плотности учитывается рассеяние и отражение света внутри материала. Т.е. «absorbance» – это поглощательная способность именно для света, чуть дальше автор объяснит, чем свет отличается от всего остального.

В общем, я буду придерживаться следующего: «absorptance» = «коэффициент поглощения», «absorbance» = «спектральная поглощательная способность». Всё остальное – просто «поглощение» и «поглощающая способность», раз уж термодинамики мы не касаемся.

Автор коэффициент поглощения так и называет – «absorption coefficient», (это буду делать и я) так что получается, что под одним названием переведены два понятия. Но родной ГОСТ нужно чтить, а путаницы не будет, поскольку термин «absorptance» на протяжении книги больше не встречается.

К слову, в русскоязычных словарях интуитивно ожидаемый термин «absorption coefficient» нашёлся только в «Международном светотехническом словаре» аж 1963-го года издания. В более поздних публикациях он отсутствует.

Представьте, что у вас есть пластина из тёмного стекла толщиной в один сантиметр. Вы светите через неё параллельным лучом света и обнаруживаете, что через пластину прошло только 50% света. Хорошо, а сколько света пройдёт через такую же пластину толщиной два сантиметра? Можно предположить, что пластина двойной толщины поглотит оставшиеся 50% исходного света (оставив вас ни с чем), но на самом деле поглотится 50% из 50%, которые прошли через первый сантиметр стекла, и поэтому проникнет 25% света. Другими словами, свет поглощается экспоненциально. Это свойство встречается во многих событиях, происходящих случайным образом, например, периоды полураспада радиоактивных материалов, и не является уникальном для света. Подобно тому, как радиоактивное ядро имеет постоянную вероятность распасться в любой момент, фотон, проходящий через однородный материал, имеет постоянную вероятность столкновения с молекулой и поглощения. Как вы помните из вводного курса математического анализа, всё, что происходит экспоненциально, в логарифмическом пространстве выглядит линейно. Касательно света: при выстраивании в ряд двух объектов и пропускании через них луча света, полное значение поглощения является суммой поглощений двух объектов. Кроме того, поскольку реально имеет значение только с каким количеством поглощающих молекул взаимодействует свет, то удвоение концентрации раствора удваивает его поглощение. Это удобно тем же способом, как логарифмические линейки были удобны для умножения чисел (поскольку они добавляли логарифмы двух чисел).

К сожалению, спектральная поглощательная способность путается с коэффициентом поглощения (и синонимичным терминами эффективности в поглощении энергии любого другого излучения). По сути, возможно, это одно из самых часто ошибочно применяемых определений в оптике. Как ни странно, во многих случаях это не имеет значения, поскольку до тех пор пока поглощение света невелико, поглощение и спектральная поглощательная способность численно равны, хотя первое значение – это доля поглощённого света, а последнее – отрицательный логарифм количества прошедшего через материал света. Так происходит оттого, что когда число мало, логарифм единицы плюс это число равно только этому числу, а именно:

Итак, если поглощение невелико, то:

Рисунок 4.6: Соответствие поглощения и для известной спектральной поглощательной способности (пунктирная линия показывает соответствие значений). Для малых значений данные равны, а затем расходятся.

Например, спектральная поглощательная способность только на 5% выше поглощения, когда последнее составляет 10%, но на 40% выше, чем поглощение, когда последнее составляет 50%. Ещё важнее то, что спектральная поглощательная способность складывается, тогда как поглощение как бы умножается. Так, предположим, что у вас есть значение x на глубине воды в один сантиметр, и вы хотите выяснить, каким оно будет на глубине один метр. Вам лучше бы точно знать, является ли ваше значение поглощением или спектральной поглощательной способностью. Значение спектральной поглощательной способности для этого одного метра будет 100x, но поглощение будет 1 (1-x) 100 (через мгновение объясним, почему).

Заключительный сбивающий с толку факт об спектральной поглощательной способности заключается в том, что у неё есть второй вид, основывающийся на десятичном вместо натурального логарифма. Эта форма называется «оптическая плотность» (OD, optical density) и определяется следующим образом:

Таким образом, единица значения оптической плотности означает, что передается только 10% падающего света, двойка означает что передаётся только 1%, и так далее. Оптическая плотность в основном используется в аналитической химии, некоторыми молекулярными биологами, фотографами, пользователями и производителями оптических фильтров. Натуральный логарифм для расчёта чаще используется учеными изучающими зрение, океанографами и исследователями атмосферы. К сожалению, многие документы, люди и спектрометры не говорят вам, какой вид спектральной поглощательной способности они используют, поэтому будьте осторожны. Эти две формы отличаются только мультипликативной константой (OD = Alog₁₀e ≈ 0.43A), но этой разницы может быть достаточно, чтобы внести путаницу.

От поглощательной способности к поглощению: коэффициент поглощения

Предположим, вы хотите знать, сколько сине-зелёного света поглощается после прохождения через десять метров озёрной воды. Или предположим, что вам нужно узнать, сколько света поглощается фоторецептором, если он увеличится в размере в два раза. Вы могли бы взять сине-зелёный лазер и просветить им через искомую толщу воды, а также могли бы измерить поглощение фоторецепторами обеих размеров, но во многих случаях это неудобно или невозможно. Часто у вас есть возможность получить данные только для одной длины образца. К счастью, это измерение можно использовать чтобы достаточно хорошо оценить поведение света как на более длинных, так и более коротких образцах.

Процесс работает следующим образом. Предположим, у вас есть пластина из материала определённой толщины, скажем, в один сантиметр. Теперь направляем через материал свет с определённой длиной волны. Сколько будет поглощено света? Предположим, что пластина не имеет значительного отражения или рассеяния, и весь свет либо проходит через неё, либо поглощается. Таким образом, доля поглощенного света:

Инвертирование уравнения 4.1 дает вам:

где a – поглощательная способность одного см материала пластины.

Но что, если пластина толщиной не в один сантиметр? Предположим, что она имеет толщину d см. Мы знаем, что поглощательные способности частей складываются, поэтому новая поглощательная способность всей пластин любой толщины – это ad. Это значит, что:

Эта поглощательная способность, обычно определяемая на толщину материала в один сантиметр, называется «коэффициентом поглощения», и она, как и уравнение 4.8, невероятно полезны. Если вы знаете коэффициент поглощения, вы можете измерить, сколько света поглощается на любом расстоянии. Например, вы можете измерить коэффициент поглощения озерной воды в какой-либо ёмкости в лабораторных условиях, и использовать значение для вычисления того, сколько света поглощается на гораздо большей глубине (при условии, что вода является оптически однородной).

Формулу также можно использовать для определения того, насколько изменение размеров фоторецептора будет влиять на поглощение света. На этом примере можно рассмотреть, что поглощение света не является полностью интуитивно понятным. Более длинные фоторецепторы при прочих равных условиях, разумеется, поглощают больше света. Так и есть, давно известно, что многие виды глубоководных животных имеют исключительно длинные фоторецепторы. Однако уравнение 4.8, говорит нам, что постоянное увеличение размера фоторецептора в конечном итоге приводит к уменьшению эффективности. Например, наружные сегменты палочек (части фоторецепторов, содержащие зрительный пигмент) в сетчатке глубоководных клинобрюхих Argyropelecus sp. имеют коэффициент поглощения 0,064 на микрон для сине-зелёного света, преобладающего на глубине. Если бы клетки-палочки на сетчатке рыбы имели длину 10 мкм, они поглощали бы 47% падающего света. На глубине темно, так что давайте предположим, что рыба хотела бы поглотить по крайней мере 99% сине-зелёного света, который попадает в глаза. Можно было бы предположить, что добиться этого удастся удвоением длины наружных сегментов, но это приведет к улавливанию только к 72% света. Четырёхкратное увеличение длины палочек до 40 мкм позволит уловить только 92%. Чтобы превысить 99%, длина наружных сегментов палочек должна быть как минимум 75 мкм, что почти в восемь раз больше, чем длина палочек, уже поглощающих почти 50% света. Таким образом, можно увидеть, что улавливание последних нескольких фотонов требует значительно больших усилий, чем улавливание нескольких первых.

Этот эффект не ограничивается фоторецепторами, а является общей характеристикой поглощения света. Поглощение последних фотонов всегда занимает гораздо больше времени, чем можно было бы ожидать. Поэтому, хотя на глубине 70 метров в чистой морской воде остаётся только 10% дневного света, вы (как человек, способный адаптироваться к темноте), всё ещё можете видеть некоторый свет на глубинах до 850 метров.

Теперь, когда мы рассмотрели физику поглощения света и определились с единицами измерения, давайте посмотрим, как на самом деле в природе работает поглощение света.

Источник

Поглощательная способность

Смотреть что такое «Поглощательная способность» в других словарях:

ПОГЛОЩАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ — тела, отношение поглощаемого телом к падающему на него монохроматич. потоку излучения частоты v; то же, что монохроматич. коэфф. поглощения. П. с. зависит от V, в ва, из к рого тело состоит, от формы тела и его темп ры. Если П. с. тела в нек ром… … Физическая энциклопедия

Источник

1.1. Тепловое излучение

Тепловое излучение — это электромагнитное излучение, испускаемое веществом за счет запасов его внутренней (тепловой) энергии.

Поэтому характеристики теплового излучения (интенсивность, спектральный состав) зависят от температуры излучающего вещества. Все прочие виды электромагнитного излучения существуют за счет других, не тепловых, форм энергии. Тепловое излучение — единственный вид излучения, которое может находиться в термодинамическом равновесии с веществом и само быть при этом в состоянии термодинамического равновесия. Ниже будет рассматриваться главным образом термодинамически равновесное тепловое излучение.

Предположим, что нагретое тело помещено в полость, стенки которой поддерживаются при некоторой постоянной температуре Если в полости нет никакой среды (газа), то обмен энергией между оболочкой и телом происходит только за счет процессов поглощения, испускания и отражения теплового излучения веществом стенки полости. С течением времени температура тела станет равной температуре оболочки и наступит динамическое равновесие — в единицу времени тело будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Очевидно, что при этом и излучение, заполняющее полость, будет находиться в равновесии, как с телом, так и со стенками полости. Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда температура тела и его внутренняя энергия начнут убывать, что приведет к уменьшению излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, то есть тело будет излучать меньше энергии, чем поглощает, то температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким образом, нарушение равновесия между телом и тепловым излучением вызывает процессы, направленные в сторону восстановления равновесия.

Рис. 1.1. Нагретое тело в полости с идеально отражающими стенками

Представим теперь то же самое тело, помещенное внутри другой оболочки, отличающейся размерами, формой или материалом, из которого она сделана. Будем поддерживать ту же самую температуру оболочки. В системе пойдут аналогичные процессы установления равновесия, в результате которых тело внутри оболочки нагреется до той же самой температуры Т. Для тела внутри оболочки ничего не изменилось: оно находится при той же самой температуре, что и прежде, и, следовательно, будет излучать ту же самую энергию. Так как тело находится в равновесии с излучением внутри оболочки, мы приходим к выводу, что характеристики этого излучения не зависят от свойств оболочки, но лишь от ее температуры. Это «стандартное», термодинамически равновесное излучение называется излучением абсолютно черного тела. О том, откуда такое название и что такое абсолютно черное тело будет сказано ниже. Равновесное излучение можно охарактеризовать плотностью энергии , зависящей только от температуры.

Плотность энергии — это количество энергии излучения, приходящееся на единицу объема.

Тепловое излучение состоит из электромагнитных волн разных частот. Полная плотность энергии складывается из плотностей энергий этих волн. Для более детальной характеристики излучения вводят дифференциальную величину — спектральную плотность энергии излучения .

Спектральная плотность энергии излучения — это энергия излучения в единице объема, приходящаяся на единичный интервал частот.

Иными словами, если обозначить через энергию излучения в единице объема, приходящуюся на волны с частотами от до , то

В системе СИ спектральная плотность энергии измеряется в следующих единицах:

Плотность энергии есть сумма спектральных плотностей энергии по всем возможным частотам, то есть выражается интегралом

Итак, в полости, существует стандартное излучение с плотностью энергии . Рассмотрим теперь тело, находящееся с ним в равновесии.

Энергетическая светимость R (интегральная плотность потока энергии излучения) — равна энергии, испускаемой в единицу времени единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям.

В системе СИ энергетическая светимость измеряется в :

Энергетическая светимость зависит от температуры тела. Тепловое излучение состоит из волн различных частот. Для характеристики теплового излучения важно знать, какая энергия, в каком диапазоне частот излучается телом. Поэтому вводят дифференциальную характеристику , называемую испускательной способностью тела, являющуюся спектральной плотностью потока энергии излучения.

Испускательная способность тела (спектральная плотность потока энергии излучения) — это количество энергии, испускаемой в единицу времени единицей поверхности тела в единичном интервале частот по всем направлениям.

Чтобы получить энергетическую светимость тела, надо проинтегрировать испускательную способность по всем частотам:

В системе СИ испускательная способность тела (спектральная плотность потока энергии излучения) измеряется в Дж/м 2 :

Нагретое тело не только испускает энергию, но и поглощает ее. Для описания способности тела поглощать энергию падающего на его поверхность излучения вводится величина, которая так и называется: поглощательная способность.

Поглощательная способность (спектральный коэффициент поглощения) — равна отношению энергии поглощенной поверхностью тела к энергии, падающей на поверхность тела. Обе энергии (падающая и поглощенная) берутся в расчете на единицу площади, единицу времени и единичный интервал частот.

Поглощательная способность равна той доли, которую — в заданном спектральном интервале — поглощенная энергия излучения составляет от падающей энергии излучения. Другими словами:

Очевидно, что поглощательная способность тела является безразмерной величиной, не превышающей единицу.

Абсолютно черное тело — это тело, способное поглощать при любой температуре все падающее на него излучение всех частот.

Для абсолютно черного тела

Тел с такими свойствами в природе не бывает, это очередная физическая идеализация.

Рис. 1.2. Спектр излучения абсолютно чёрного тела (чёрная линия) при температуре 5250 °С хорошо моделирует излучение Солнца. Красным цветом показаны результаты измерений на уровне моря, жёлтым — в верхней атмосфере.

Будем поочередно помещать в полость различные тела. Все они находятся в одинаковых условиях, в окружении одного и того же излучения. Обозначим энергию, падающую в единицу времени на единицу поверхности тела в единичном интервале частот. Согласно определению поглощательной способности тело поглощает энергию В состоянии равновесия эта энергия должна быть равна испущенной телом энергии:

Различные тела в полости имеют разную поглощательную способность, следовательно, у них будет и разная испускательная способность, так что отношение r_w /а_w не зависит от конкретного тела, помещенного в полость:

С другой стороны, испускательная способность тела не зависит от полости, в которую оно помещено, но лишь от свойств тела. Таким образом, функция есть универсальная функция частоты и температуры, не зависящая ни от свойств полости, ни от характеристик тела в ней. Соотношение (1.2) выражает закон Кирхгофа.

Отношение испускательной и поглощательной способности тела не зависит от природы тела. Для всех тел функция есть универсальная функция частоты и температуры (функция Кирхгофа).

Строго говоря, сформулированное выше утверждение справедливо в условиях термодинамического равновесия, наличие которого здесь и ниже всегда предполагается.

Для абсолютно черного тела

откуда следует физическая интерпретация универсальной функции Кирхгофа : она представляет собой испускательную способность абсолютно черного тела, то есть

(Характеристики абсолютно черного тела будем помечать звездочкой, а само тело называть нередко просто «черным», а не абсолютно черным).

Рис. 1.3. Густав Роберт Кирхгоф (1824–1887)

Установим теперь связь между испускательной способностью черного тела и спектральной плотностью стандартного излучения в полости (выше мы назвали его излучением черного тела). Сравнивая размерности этих величин, видим, что отношение имеет размерность скорости. Единственная величина, имеющая размерность скорости, которая ассоциируется с электромагнитными волнами в вакууме, — это скорость света . Поэтому искомое соотношение должно иметь вид

Найдем безразмерный коэффициент пропорциональности в этой формуле. В качестве модели абсолютно черного тела возьмем замкнутую полость с небольшим отверстием s (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Полocть с небольшим отверстием — реализация черного тела

Луч света, падающий внутрь этой полости через отверстие s, претерпевает многократное отражение. При каждом отражении стенки полости поглощают часть энергии. Поэтому интенсивность луча света, выходящего из отверстия, во много раз меньше интенсивности входящего луча. Чем больше отношение площади полости к площади отверстия, тем ближе такое тело к абсолютно черному. Поэтому отверстие в полости излучает как абстрактное черное тело.

Рис. 1.5. Тепловое излучение из отверстия в полости

Объем такого цилиндра равен

Содержащаяся в нем энергия теплового излучения равна

Но не вся она распространяется под углом . Тепловое излучение распространяется по всем направлениям с равной вероятностью (рис. 1.5-2). Поэтому в телесный угол попадет только часть энергии (мы обозначим эту долю как ), пропорциональная величине телесного угла

Так как полный телесный угол равен , имеем

Теперь осталось проинтегрировать по углам и , чтобы получить полную энергию , выходящую из отверстия полости. Обращаем внимание: излучение падает на отверстие только из левого полупространства, так что полярный угол меняется в пределах от нуля до (угол меняется как обычно от 0 до ). Интегрирование по дает множитель , интегрируя по , окончательно получаем: