Что такое погрешность дискретизации

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Погрешность дискретности по всей природе случайна и поэтому о ее максимальном значении, разумеется, можно говорить только в вероятностном смысле. Погрешность дискретности складывается из двух составляющих. [1]

Погрешность дискретности а обычно полагают равной плюс-минус единице наименьшего разряда. Наличие этой погрешности приводит к тому, что одним и тем же относительным погрешностям при всех прочих равных условиях, но различном удельном весе погрешности дискретности могут соответствовать различные значения абсолютной погрешности. [3]

Погрешность дискретности возникает в результате квантования непрерывного сигнала по уровню. Динамическая возникает как в результате изменения преобразуемого сигнала X ( t) в процессе его квантования по уровню, так и вследствие инерционности элементов преобразователя. Если преобразуемый сигнал в течение времени квантования по уровню остается неизменным, то динамическая погрешность отсутствует. [6]

Погрешность дискретности зависит от соотношения частот исследуемых напряжений и частоты стабилизированного генератора, причем величина погрешности повышается одновременно с увеличением частоты входных напряжений. Допустимое значение суммарной погрешности первого дискретного преобразования при заданной частоте стабилизированного генератора определяется верхней границей полосы частот исследуемых напряжений. Погрешность дискретности второго преобразования из-за некратности частоты исследуемых напряжений определяется величиной, обратной времени измерения, а также несинфазностью начала времени измерения с моментом поступления считываемых пачек импульсов на счетчик. Пачка, целиком не укладывающаяся в пределы времени измерения, дробится с дискретностью, равной одному импульсу стабильной частоты. [7]

Погрешность дискретности зависит от соотнощения частот исследуемых напряжений и частоты стабилизированного генератора, причем величина погрешности увеличивается одновременно с увеличением частоты входных напряжений. [9]

Погрешность дискретности возрастает с уменьшением частоты исследуемых напряжений и может быть уменьшена путем увеличения времени измерения. Допустимое значение этой погрешности при заданном времени измерения определяется нижней полосой частот исследуемых напряжений. Время измерения и частота стабилизированного генератора являются постоянными цифрового фазометра с калиброванным временем измерения, определяющим величину его основной погрешности и, соответственно, диапазон частот исследуемых напряжений. [10]

Погрешность дискретности 1 для низких частот относительно велика, поэтому в цифровых частотомерах нередко предусматривается возможность измерения не только частоты fx, но и периода Тх. В этом случае напряжение достаточно низкой частоты Fx подается на вход Б прибора. [11]

Погрешность дискретности получается во много раз меньшей, чем при измерении частоты. [12]

Погрешность дискретности присуща ЦИП и отсутствует у аналоговых приборов. Однако эта погрешность не является препятствием для увеличения точности прибора, так как соответствующим выбором числа уровней квантования погрешность дискретности можно сделать сколь угодно малой. [15]

Источник

Погрешности дискретизатора

До сих пор предполагалось, что квантование по времени производится дельта импульсами (импульсами с нулевой длительностью). Однако это математическая абстракция. Обычно сигнал на входе аналого-цифрового устройства запоминается на емкости на время, достаточное для преобразования этого сигнала в цифровое значение. Для реализации такого устройства можно воспользоваться схемой, приведенной на рисунке 1.

Рисунок 1 Принципиальная схема устройства выборки и хранения

Такая схема обычно называется устройством выборки и хранения (УВХ). В приведенной на рисунке 1 схеме, малое время заряда запоминающей емкости обеспечивается низким выходным сопротивлением буферного усилителя DA1. Большое время хранения обеспечивается большим входным сопротивлением буферного усилителя DA2. При выполнении этих условий отношение времени хранения к времени заряда запоминающей емкости будет определяться отношением сопротивлений закрытого и открытого ключа K1.

Погрешность хранения

Теперь давайте обратим внимание на то, что конденсатор, в отличие от цифровых устройств, не может хранить напряжение на своих обкладках без потерь. К концу времени преобразования, напряжение на нем уменьшается (конденсатор разряжается). Для того чтобы преобразование в цифровую форму произошло без ошибок, необходимо, чтобы это уменьшение напряжения на конденсаторе не превышало половины младшего разряда аналого-цифрового преобразователя.

Значение ошибки хранения УВХ определяется постоянной времени RC цепочки. При этом ее сопротивление R будет определяться параллельным включением входного сопротивления буферного усилителя DA2, сопротивления закрытого ключа и эквивалентного сопротивления паразитных токов утечки самого конденсатора и печатной платы.

Так как это сопротивление обычно стараются сделать как можно больше, то постоянная времени разряда конденсатора будет зависеть в основном от выбранного значения запоминающей емкости. К какому же значению постоянной времени разряда запоминающего конденсатора следует стремиться?

Это зависит от характеристик аналого-цифрового преобразователя. Чем больше его разрядность, тем меньше должна быть ошибка устройства выборки и хранения. Обычно эту ошибку стараются свести к значению половины младшего разряда последующего аналого-цифрового преобразователя.

Ошибку, возникающую за счет разряда запоминающей емкости устройства выборки и хранения можно определить по следующей формуле:

Тогда для трехразрядного АЦП ошибка не должна превышать значения d = 0.5×(1/2 3 ) = 0.0625. Это значение может быть достигнуто при значении времени хранения t_хр = (1/16)×t. То есть значение t = RC должно быть в шестнадцать раз больше времени преобразования АЦП t_АЦП!

Для восьмиразрядного АЦП требования к постоянной времени RC цепочки еще жестче. Здесь ошибка хранения не должна превышать значения d = 0.5×(1/2 8 ) = 0.00195. Для этого АЦП значение t должно быть по крайней мере в 512 раз больше времени преобразования t_АЦП.

Погрешность выборки

Итак, для уменьшения ошибки хранения, требуется увеличивать значение емкости запоминающего конденсатора. Однако увеличение емкости конденсатора приводит к увеличению времени его заряда, а значит к увеличению ошибки дискретизации!

Ключ устройства выборки и хранения должен открываться на время, достаточное для заряда запоминающего конденсатора входным сигналом. Этот процесс следует учитывать, даже если конденсатор на входе аналого-цифрового преобразователя — паразитный (в случае использования параллельных АЦП).

Для анализа погрешностей выборки аналогового сигнала воспользуемся принципиальной схемой устройства выборки-хранения, приведенной на рисунке 1.

В цепи протекания зарядного тока конденсатора C1 присутствуют, как минимум, два элемента — выходное сопротивление буферного усилителя плюс сопротивление открытого ключа, и емкость самого запоминающего конденсатора. Такая цепь обычно называется интегрирующей. Переходная характеристика подобной цепи приведена на рисунке 2.

Рисунок 2. Нарастание напряжения на выходе дискретизатора при открывании его ключа

Именно эта характеристика определяет время открывания ключа устройства выборки-хранения, достаточное для установления напряжения на входе АЦП с необходимой точностью. При этом должна быть обеспечена погрешность, меньшая половины младшего разряда этого преобразователя. Выбранная точность установления напряжения на конденсаторе должна быть достаточна для того, чтобы амплитудные искажения дискретизатора по времени были меньше погрешности аналого-цифрового преобразователя (квантователя по уровню). Такой режим работы устройства выборки и хранения называется режимом слежения.

Известно, что частотная характеристика линейного устройства может быть получена при помощи математической операции преобразования Фурье, выполненного над его импульсной характеристикой.

Полученная в результате выполнения этой операции над импульсной характеристикой устройства выборки и хранения амплитудно-частотная характеристика приведена на рисунке 3.

Рисунок 3. Амплитудно-частотная характеристика дискретизатора

Получается, что на выходе рассмотренного устройства образы дискретизированного сигнала уже нельзя считать распространяющимися до бесконечной частоты. Более того! Устройство выборки и хранения начинает оказывать влияние на сигнал и в полосе частот первой зоны Котельникова.

Теперь, для того, чтобы определить влияние высокочастотного образа сигнала, необходимо умножить его амплитуду на амплитудно-частотную характеристику устройства выборки и хранения. При неправильном выборе параметров устройства выборки-хранения это устройство может искажать сигнал и в полосе интересующих нас частот. Именно поэтому в современных микросхемах устройство выборки и хранения входит непосредственно в состав аналого-цифрового преобразователя. Характеристики АЦП приводятся на все устройство в целом.

На высоких частотах на импульсную (а значит и на амплитудно-частотную) характеристику устройства выборки и хранения начинают оказывать влияние элементы конструкции устройства цифровой обработки сигнала. В качестве примера таких элементов можно назвать индуктивность и емкость соединительных проводников, индуктивность заземляющих поверхностей печатной платы, влияние входных и выходных ёмкостей усилителей.

В результате влияния всех этих элементов, переходная характеристика устройства выборки и хранения становится более сложной по сравнению с рассмотренной ранее. В соответствии с ней изменится и частотная характеристика устройства дискретизации аналогового сигнала. Пример импульсного отклика подобной цепи на открывание ключа устройства выборки и хранения приведён на рисунке 4

Рисунок 4. Нарастание напряжения на выходе устройства выборки и хранения при открывании его ключа

Соответствующая этому импульсному отклику амплитудно-частотная характеристика приведена на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудно-частотная характеристика, соответствующая импульсному отклику, приведенному на рисунке 4

Следует заметить, что в приведенном примере паразитные элементы образовали фильтр низкой частоты, то есть они помогают работе аналого-цифрового преобразователя.

Обычно это не так. Паразитные элементы вызывают резкие провалы амплитудно-частотной характеристики в рабочей полосе частот, могут вызвать резкое увеличение группового времени задержки на отдельных частотах рабочей полосы частот или искажение фазовых характеристик исходного сигнала.

Для того чтобы этого не происходило, производители микросхем обычно вместе с DATASHEET на микросхему аналого-цифрового преобразователя приводят пример разводки печатной платы. При этом паразитные элементы платы часто включаются в состав аналогового фильтра.

Кроме частотных характеристик устройства выборки и хранения, на точность преобразования аналогового сигнала в цифровую форму существенно влияет точность временного положения импульса дискретизации.

В реальных схемах для дискретизации аналогового сигнала используются генераторы сигналов с конечной длительностью фронтов. Временное положение фронтов сигнала зависит от стабильности генераторов стробирующего сигнала и порога срабатывания логических схем. Кроме того, временное положение фронтов дискретизирующего импульса зависит от уровня помех на шинах питания цифровой схемы и ее заземления.

В устройствах выборки и хранения, работающих в режиме слежения, временное положение, при котором считывается аналоговый сигнал, определяется задним фронтом стробирующего импульса. Время открывания ключа, как уже обсуждалось ранее, зависит от постоянной времени паразитных элементов схемы.

Однако мы знаем, что в зависимости от временного положения изменяется уровень сигнала на входе устройства выборки и хранения. В результате все перечисленные шумы добавляются к шумам квантования аналого-цифрового преобразователя. В ряде случаев уровень этих дополнительных шумов может значительно превосходить уровень шумов квантования.

Именно поэтому к генераторам дискретизирующего сигнала предъявляются точно такие же жесткие требования, как и к гетеродинам аналоговых приемников или возбудителям радиопередатчиков.

В качестве альтернативного режима работы, в устройствах выборки и хранения используется интегрирующий режим. В этом режиме работы используется начальный участок переходной характеристики схемы дискретизации. На этом участке, при подаче на вход постоянного напряжения, напряжение на выходе растёт практически линейно, то есть осуществляется интегрирование входного сигнала. При этом напряжение на запоминающем конденсаторе после окончания стробирующего импульса будет пропорционально энергии входного сигнала, а также длительности и форме стробирующего импульса.

Пример временной диаграммы синусоидального входного сигнала при работе устройства выборки и хранения в интегрирующем режиме, приведен на рисунке 6.

Рисунок 6. Стробирование аналогового сигнала импульсами ненулевой длительности

На этом рисунке ширина стробирующего импульса показана заштрихованной областью. Для определения момента стробирования входного сигнала наиболее наглядным является импульс, совпадающий с 200 мкс отметкой времени. Если сравнить заштрихованные площади полезного сигнала, выше и ниже нулевого уровня, то видно, что они равны. Отличаются эти площади только по знаку. В результате интегрирования заштрихованных областей анализируемого отсчета сигнала мы получим нулевое значение. Это означает, что момент стробирования входного сигнала в режиме интегрирования совпадает с серединой стробирующего импульса, т.к. именно в этот момент значение входного сигнала равно нулю.

В показанной на рисунке 6 временной диаграмме использованы прямоугольные дискретизирующие импульсы, однако мы знаем, что в большинстве случаев получить такие импульсы на практике не представляется возможным.

Тем не менее, длительность и форма импульса стробирующего сигнала при работе УВХ в режиме интегрирования может быть учтена просто как константа. Это связано с тем, что импульсы дискретизации обладают постоянной формой и длительностью, не зависящими от времени, следовательно, интеграл от данного импульса будет являться константой.

То, что мы в режиме интегрирования используем начальный участок переходной характеристики заряда запоминающего конденсатора, то напряжение на конденсаторе в конце интервала интегрирования будет меньше напряжения в режиме слежения. Уменьшение напряжения на конденсаторе может быть скомпенсировано дополнительным усилителем на входе АЦП.

Подобная схема устройства выборки и хранения приведена на рисунке 7.

Рисунок 7. Принципиальная схема устройства выборки и хранения, работающего в интегрирующем режиме

В данной схеме усиление буферного усилителя, компенсирующего уменьшение напряжения на запоминающей емкости, задается отношением резисторов R2 и R3. Постоянная времени цепи интегрирования определяется резистором R1. Использование этого резистора позволяет значительно уменьшить влияние параметров электронного ключа на точность дискретизации устройством выборки и хранения.

Основное преимущество интегрирующего режима работы перед следящим заключается в усреднении влияния переднего и заднего фронта стробирующего импульса, что приводит к большей точности преобразования исходного сигнала.

В качестве еще одного преимущества интегрирующего режима работы УВХ можно назвать тот факт, что в данном режиме работы при увеличении постоянной времени интегрирования уменьшается погрешность дискретизации. В результате, как для уменьшения погрешности дискретизации, так и для уменьшения погрешности хранения следует увеличивать значение емкости запоминающего конденсатора.

Максимальное значение запоминающей емкости будет ограничено только конструктивными особенностями конденсатора. Здесь имеется в виду, что для запоминания можно применять конденсаторы только с очень маленьким значением токов утечки, а такие конденсаторы изготавливаются с номиналом не более 10 нФ.

Теперь оценим частотные свойства устройства выборки и хранения, работающего в режиме интегрирования. Для этого, как и в предыдущем случае, воспользуемся импульсной характеристикой устройства. На этот раз импульсная характеристика устройства выборки и хранения будет определяться формой стробирующего импульса.

Если пренебречь влиянием паразитных элементов устройства (а это можно выполнить при малых значениях частоты дискретизации fд), то эту форму можно считать прямоугольной. В результате преобразования Фурье мы получим амплитудно-частотную характеристику УВХ, определяемую функцией sin(x)/x.

График амплитудно-частотной характеристики УВХ, работающего в режиме интегрирования приведен на рисунке 8.

Рисунок 8. Амплитудно-частотная характеристика УВХ, работающего в режиме интегрирования

По оси ординат эта характеристика приведена в логарифмическом масштабе и выражена в децибелах. Как видно из приведенного графика, данная амплитудно-частотная характеристика вносит частотные искажения в преобразуемый сигнал, и для их компенсации в состав аналого-цифрового преобразователя желательно ввести цифровой фильтр с характеристикой, обратной приведенной на рисунке 8.

Эта же характеристика накладывает ограничения на длительность импульса дискретизации, ведь, как известно, чем длиннее будет стробирующий импульс, тем ближе по оси частот будет находиться первый минимум приведенной на рисунке 8 амплитудно-частотной характеристики, и, значит, тем больше будут частотные искажения в рабочей полосе входного сигнала.

Понравился материал? Поделись с друзьями!

Вместе со статьей «Погрешности дискретизатора» читают:

Фильтры устранения эффекта наложения спектров (Антиалиайзинговые фильтры)
https://digteh.ru/digital/antiflt.php

рТЕДЩДХЭЙЕ ЧЕТУЙЙ УБКФБ:
http://neic.nsk.su/

Об авторе:
к.т.н., доц., Александр Владимирович Микушин

Кандидат технических наук, доцент кафедры САПР СибГУТИ. Выпускник факультета радиосвязи и радиовещания (1982) Новосибирского электротехнического института связи (НЭИС).

А.В.Микушин длительное время проработал ведущим инженером в научно исследовательском секторе НЭИС, конструкторско технологическом центре «Сигнал», Научно производственной фирме «Булат». В процессе этой деятельности он внёс вклад в разработку систем радионавигации, радиосвязи и транкинговой связи.

Научные исследования внедрены в аппаратуре радинавигационной системы Loran-C, комплексов мобильной и транкинговой связи «Сигнал-201», авиационной системы передачи данных «Орлан-СТД», отечественном развитии системы SmarTrunkII и радиостанций специального назначения.

Источник

Погрешности дискретизации и восстановления

непрерывных сигналов.

Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис.3.14 показаны некоторые варианты финитных спектров:

S_x(w) 3

2

1

0 w_в w

Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны. В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью.

S_x(w)

Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты w_в.

(3.7)

Т.о. погрешность дискретизации и восстановления непрерывного сигнала определяется следующими причинами:

1) Спектры реальных сигналов не финитны.

2) АЧХ реальных ФНЧ неидеальны.

Например, если в качестве ФНЧ использовать RC- фильтр, то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид:

с учетом того, что импульсная реакция RC-фильтра равна:

Вывод: чем выше и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие сигналы называются непрерывными?

2.Какие сигналы называются дискретными?

3. Сформулируйте теорему Котельникова.

4.Рассчитайте и постройте спектр дискретизированного сигнала.

5. Рассчитайте и постройте спектр сигнала АИМ.

6. Как восстановить непрерывный сигнал из отсчетов?

7. Чем определяются погрешности дискретизации и восстановления сигналов?

Любая электрическая цепь описывается дифференциальным уравнением.

(4.1)

Рис.4.1

Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции: реакция на суммарное воздействие равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности.

Например: — характеристика ЛЭЦ ;

В линейной цепи невозможно появление новых частот, не содержащихся во входном воздействии.

2) Если , то цепь называется нелинейной электрической цепью (НЭЦ) и состоит из нелинейных R(i), L(i),C(u).

Для НЭЦ несправедлив принцип суперпозиции. Пусть НЭЦ описывается уравнением:

В НЭЦ возникают новые частоты, не содержащиеся во входном воздействии.

3) Если , то цепь называется параметрической (ПЭЦ) и состоит из элементов, зависящих от времени :

Рис.4.3

Для ПЭЦ: а) справедлив принцип суперпозиции.

б) возможно появление новых частот.

ПЭЦ конструируется на основе нелинейных элементов, на которые мы подаём напряжение, зависящее от времени.

Вопросы для самопроверки.

1.Какая электрическая цепь называется линейной?

2.Какая электрическая цепь называется нелинейной?

3.Какая электрическая цепь называется параметрической?

4.Для каких цепей справедлив принцип суперпозиции?

Источник