Что такое погрешность косвенных измерений

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δx_сист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x₁, x₂, … x_N. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x₁, x₂, … x_N «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

где Х_j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1.Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(1.5)

общая погрешность прямых измерений величины Х_j.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X_j.

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р=0,68;

при Р=0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность D_V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность d_V равна:

, или d_V=19%.

Окончательный результат после округления:

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм, ; при Р=0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

Окончательный результат после округления:

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Дата добавления: 2015-02-19 ; просмотров: 5337 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Что такое погрешность косвенных измерений

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения ε_А равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

Источник

Погрешности косвенных измерений

(3.1.)

Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь. Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей, как правило, получают путем проведения прямых измерений. По виду функциональной зависимости (3.1.) принято различать косвенные измерения с линейной и нелинейной зависимостями между измеряемой величиной и измеряемыми аргументами (или линейные и нелинейные косвенные измерения).

, (3.2.)

При этом среднеквадратическое отклонение результата косвенного (линейного или нелинейного) измерения в случае, когда величины аргументы некоррелированы, т. е. не связаны между собой (наиболее важный для практики случай), определяют по формуле

(3.3)

где — оценка среднеквадратического отклонения результата измерения j-го аргумента; — частные погрешности косвенного измерения.

Частные производные принято называть коэффициентами влияния, а формулу (3.3.) — формулой вероятностного, или статистического, суммирования.

Относительную оценку среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения определяют по формуле

(3.4)

(3.5)

то (3.4) можно представить в виде

(3.6)

1. Функция является линейной, т.е.

, (3.7)

где а_j — постоянные коэффициенты.

, (3.8)

т. е. для абсолютных погрешностей коэффициенты влияния в данном случае равны коэффициентам перед переменными в линейной функции Е_j=a_j. С учетом (3.8) выражение (3.3) преобразуем к виду

(3.9)

2. Функция – логарифмируема, т. е.

(3.10)

В этом случае удобно использовать относительные погрешности. Из (6.5.) получим

(3.11)

Для частной относительной погрешности [см. выражение (3.11)] Получим

(3.12)

где — оценка относительного среднеквадратического отклонения результата измерения аргумента Х_j.

Как видно из (3.8), коэффициенты влияния для относительных погрешностей оказываются в данном случае равными показателям степени соответствующих аргументов W_j=b_j. Поэтому (3.8) можно представить в виде

. (3.13)

Для определения интервальной оценки погрешности результата косвенного измерения, когда результаты наблюдений, полученные в процессе прямых измерений величин — аргументов, имеют нормальный закон распределения, используют распределение Стьюдента.

Доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле

(3.14)

В выражении (3.14) коэффициент Стьюдента определяется по таблице для принятого или заданного значения доверительной вероятности и известного эффективного числа степеней свободы k_эф, которое определяется по формуле

(3.15)

где n_j наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.

Последовательность обработки экспериментальных данных косвенных измерений с многократными наблюдениями для некоррелированных величин:

2.Вычисление средних арифметических по формуле

3. Вычисление значения по формуле

4. Вычисление оценок среднеквадратических отклонений результатов измерений величин Х₁,Х₂…Х _j…Х_m по формуле

5. Вычисление оценки среднеквадратического отклонения измерения величины У по формуле

6. Вычисление числа степеней свободы К_эф по формуле К_эф =n-1

7. Принятие значений доверительной вероятности (обычно p_Д=0,95)

8. Определение коэффициента t в зависимости от p_Д и к_эф по таблице распределения Стьюдента

9. Определение доверительной границы случайной погрешности по формуле

10. Запись результата измерения с использованием правил округления в виде:

В этой последовательности записана погрешность ∆ вместо ‚ так как предполагается что систематические погрешности полностью исключены. Число n указано, для того аргумента, при измерении которого выполнено наименьшее число наблюдений. Для случая, когда значениями неисключенных систематических погрешностей нельзя пренебречь, разработана методика оценки суммарной погрешности, близкая к ранее приведенной для прямого измерения с многократным наблюдениями.

При определении погрешности косвенного измерения важными являются установление частных погрешностей, которые в основном определяют погрешность косвенного измерения, и исключения из рассмотрения тех погрешностей которые не оказывают на общую погрешность почти никакого влияния. Определение последних связано с процедурой округления результата измерения и оценки погрешности.

Если в выражении (6.13) какая либо частная погрешность такова, что выполняется условие

(3.16)

то этой частной погрешностью можно пренебречь, так как при округлении уже число 1,0499 принимается за 1,0.

Из выражения (3.16) можно получить формулу для вычисления k-й частной погрешности:

. (3.17)

Это выражение называют критерием ничтожности погрешности. Погрешности, отвечающие этому критерию, называют ничтожными или ничтожно малыми, поэтому их не принимают во внимание при вычислении общей оценки погрешности косвенного измерения.

Последовательность обработки экспериментальных данных косвенных измерений с многократными наблюдениями:

II.Оценка результата косвенного однократного измерения определяется на основе оценок аргументов, определяемых путем прямых измерений с однократными наблюдениями:

. (3.18)

Результат косвенного измерения записывают в виде

, (3.19)

где D — оценка погрешности косвенного измерения.

. (3.20)

Относительную погрешность косвенных измерений вычисляют по формуле:

. (3.21)

Предварительно определив относительные погрешности .

Определите мощность в цепи, если

I,мА	0,36	0,32	0,32	0,30	0,31	0,32	0,33	0,35	0,36	0,32
U, мВ	10,8	10,5	9,25	9,60	10,1	10,0	9,55	10,3	9,70	10,2

Доверительная вероятность 0,95.

Дано: I₁=0.3 мА U₁=10.5 мВ I₂=0.3 мА U₂=10.5 мВ I₃=0.4 мА U₃=9.5 мВ I₄=0.3 мА U₄=9.5 мВ I₅=0.4 мА U₅=10.10 мВ I₆=0.4 мА U₆=10.00 мВ I₇=0.5 мА U₇=9.55 мВ I₈=0.5 мА U₈=10.00 мВ I₉=0.4 мА U₉=9.50 мВ I₁₀=0.4 мА U₁₀=10.00 мВ Р_Д=0,95	Решение: См. последовательность действий стр.15 1.Вычисление средних арифметических 2. Вычисление W=U∙I W=0.39∙9.9=3.86 мВт 3. Вычисление оценок СКО результатов измерений величин
Найти: W±Δ

4. Вычисление оценки среднеквадратического отклонения измерения величины

5. Вычисление числа степеней свободы К_эф по формуле К_эф =n-1

6. Принятие значений доверительной вероятности p_Д=0,95

7. Определение коэффициента t в зависимости от p_Д и к_эф по таблице распределения Стьюдента

8. Определение доверительной границы случайной погрешности по формуле

10. Запись результата измерения с использованием правил округления в виде:

мВт (р_д=0,95; k_эф=9; n=10)

Ответ: мВт (р_д=0,95; k_эф=9; n=10)

Определить значение потребленной мощности в цепи, оценить погрешность ее измерения и записать результат, если ток в цепи равен (0,39 ± 0,02) мА; напряжение составляет (9,9 ± 0,12) мВ. Границы погрешности указаны для вероятности 0,95 при нормальных условиях измерения.

Источник