Что такое погрешность в математике

Относительная и абсолютная погрешность – формула определения, как рассчитать погрешность измерения

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Источник

Приближённые вычисления в математике

Содержание:

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись

3. Если

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10 3 — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть

Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:

Число называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа

Решение: Имеем

Следовательно

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .

Решение:

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Чтобы оценить степень отклонения, используется показатель абсолютной и относительной погрешности.

В математике, физике и метрологии этот коэффициент может быть использован для округления полученных результатов.

Показатель бывает нескольких видов. Для его определения применяют разные методы.

Понятие и классификация

Под термином погрешность принято понимать степень отклонения реальной величины от вычисленной. Этот показатель служит мерой точности измерения.

Существует несколько разновидностей погрешности:

Выделяют также отклонения прямых или косвенных измерений. Вторая разновидность учитывается в тех случаях, когда измерить величину напрямую невозможно и ее можно посчитать по формулам исходя из других данных.

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность величины — это разница между ней и принятым точным значением. Чтобы определить этот показатель, из большего числа вычитают меньшее. Единицы обозначения такие же, как и для основной величины. В формулах обозначается греческой буквой дельта и исследуемой величиной.

Пример: В пакете находится 478 граммов сахара. Это число можно округлить до 500. В этом случае абсолютная погрешность приближения будет 500 — 478 =22 г

Для вычислений разработана специальная формула: Δа=А-а,

где А — это точная величина,

а — приближенная, это число, которое немного отличается от точного.

Результаты вычисления записывают со знаком ±. Например, длина бумажного рулона составляет 25 м ± 5 см. Наибольшее значение абсолютной погрешности принято называть ее пределом.

Относительная погрешность — условная величина, равная отношению абсолютной к самому числу.

Пример: количество сахара в пакете равно 478 граммов, абсолютная погрешность составляет 22 грамма, относительная равняется 22: 478 = 0, 046. Если перевести в проценты, получается 4,6%. Для отрезка длиной 10 см погрешность в 1 см будет составлять 10%, а для отрезка в 1 м такая же абсолютная величина составит всего 1%. Относительная оценка считается наиболее точной.

Относительная погрешность может быть случайной, возникающей под действием внешних факторов. Ее размер зависит от способа нахождения.

Методики расчета

Существует несколько методов определения отклонения. Наиболее простой и доступный способ:

Для определения предельного отклонения выбирают наибольшее значение из всех полученных.

Чтобы получить наиболее точные показатели дискретности цифровых приборов, пользуются средним квадратическим отклонением. Вычислить его можно следующим способом:

Чтобы вычислить, чему равна относительная погрешность измерения, важно придерживаться некоторых правил. Складывая или вычитая числа, учитывают абсолютные отклонения. Если числа нужно разделить или перемножить, прибегают к относительным показателям. Возведение числа в степень требует умножить относительную погрешность на показатель этой степени.

Результаты фиксируются в виде десятичных дробей. Точное значение может быть очень длинным, вплоть до бесконечного. Для удобства используют только среднее значение. При этом важно помнить о существовании верных и сомнительных цифр. У первой категории цифр разряд бывает выше допустимой погрешности, у второй — ниже.

При расчете относительной погрешности измерения времени формула включает в себя отношение среднего отклонения к среднему значению времени, умноженное на 100%. Эта же закономерность применяется для оценки температуры и других физических величин.

Произвести необходимые расчеты можно с помощью онлайн-калькулятора. В окошки вносятся необходимые данные, после чего программа выдает результат.

Методы Корнфельда и Стьюдента

Некоторые экспериментальные исследования требуют многократного измерения одного и того же показателя с помощью аппаратуры или приспособлений. В этом случае высока вероятность возникновения отклонений разброса. Определить ее величины можно разными способами. Самый распространенный и доступный из них называется по автору — методом Корнфельда.

Он применяется в ситуации, когда какая-либо физическая величина была измерена n раз. В этом случае рекомендован следующий порядок действий:

Метод Корнфельда имеет существенный недостаток. Чтобы определить вероятность приведенного результата, необходимо провести большое количество измерений. При этом нет возможности изменить границы доверительного интервала. Более точные данные можно получить, используя метод расчета Стьюдента. Для этого используют специальные таблицы, где отражены так называемые коэффициенты Стьюдента.

Эти показатели вычисляются на основе доверительной вероятности и большого количества измерений.

Источник

Материал по математике на тему «Абсолютная и относительная погрешность»

Описание разработки

Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.

— Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.

— Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.

— Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = |а-х|, где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = |4/9-0,44| = |4/9-11/25|=|100-99/225| = 1/225

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Пример. 1/225=0,004444 → x = 0,30

3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.

0, 583; 38,57; 38,507; 29,830

Содержимое разработки

Тема: Абсолютная и относительная погрешность.

Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.

— Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.

— Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.

— Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.

Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = , где Δ – абсолютная погрешность

a – точное значение величины

x – приближенное значение

Δ = a — x= Δ a = x Δ

Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = =

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Δ = h

Пример. 0,0045

x — Δ – Нижняя граница (Н.Г.)

x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)

Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей. Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.

Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Пример. x = 3,7412 0,002

Определить верные и сомнительные цифры.

В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432

Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.

В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7

Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.

x = 0,301 0,001

В.Г. = 0,302 Н.Г. = 0, 300 x = 0,30

3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.

0, 583; 38,57; 38,507; 29,830

Правило округления чисел: Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.

Пример. 5,739 (с точностью до 0,01) 5,74

3, 53 (с точностью до целых) 4

30253 (с точностью до 1000) 30000

Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения.

Если измерять расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое измерение.

Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.

ω = ; ω% =

Т.о. для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.

d = 4 0,3; H = 600 0,3

ω(d) =

ω(H) =

Источник