Полигон и гистограмма
ni — частоты;
wi — относительные частоты;
n — объём выборки;
| Номер интервала | Абсолютная частота, ni | Частотный интервал |
| 1. | 3 | [11;13) |
| 2. | 6 | [13;15) |
| 3. | 4 | [15;17) |
| 4. | 5 | [17;19) |
| 5. | 2 | [19;21) |
Таблица относительных частот и эмпирическая плотность распределения частоты
| Частотный интервал | Относительная частота, wi=ni/n | Эмпирическая плотность распределения частоты ni/ Δ |
| [11;13) | 0.15 | 1.5 |
| [13;15) | 0.3 | 3 |
| [15;17) | 0.2 | 2 |
| [17;19) | 0.25 | 0.25 |
| [19;21) | 0.1 | 0.1 |
График гистограммы абсолютных частот
График гистограммы относительных частот
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат — соответствующие им частоты ni и соединяют точки.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.9 / 5. Количество оценок: 13
Полигон и гистограмма
Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (xi, ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат wi. Точки (xi, wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:
| x | 1,5 | 3,5 | 5,5 | 7,5 |
| w | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
Рис. 6. Полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.
Рис. 7. Гистограмма частот.
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии 
.
Площадь i-го частичного прямоугольника равна 
= 
— сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.
На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n =100, приведенного в таблице 1.
| Частичный интервал, длиною h=5 | Сумма частот вариант частичного интервала | Плотность частоты  |
| 5 – 10 | 0,8 | |
| 10 – 15 | 1,2 | |
| 15 – 20 | 3,2 | |
| 20 – 25 | 7,2 | |
| 25 – 30 | 4,8 | |
| 30 – 35 | 2,0 | |
| 34 – 40 | 0,8 |
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии 
. Площадь i-го частичного прямоугольника равна 
= 
— относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.
 |
|
Построить полигоны частот и относительных частот распределения.
Для начала построим полигон частот.
Рис. 8. Полигон частот.
Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.
.
| |||
 | 0,15 | 0,50 | 0,35 |
Построим полигон относительных частот.
Рис. 9. Полигон относительных частот.
2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.
Найдем плотность частоты 
:
| Частичный интервал, длиною h = 3 | Сумма частот вариант частичного интервала | Плотность частоты  |
| 2 – 5 | ||
| 5 – 8 | 3,3 | |
| 8 – 11 | 8,3 | |
| 11 – 14 |
Построим гистограмму частот.
Рис. 10. Гистограмма частот.
Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.
.
Теперь найдем относительные частоты 
:
| Частичный интервал | Сумма относительных частот | Плотность частоты |
| 2 – 5 | 0,18 | 0,06 |
| 5 – 8 | 0,2 | 0,07 |
| 8 – 11 | 0,5 | 0,16 |
| 11 – 14 | 0,12 | 0,04 |
Плотности частот 
нужно вычислить. При этом h = 3.
Полигон частот и гистограмма частот
Вы будете перенаправлены на Автор24
Полигон частот
Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 2. Полигон частот.
Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.
Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:
То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:
Рисунок 4. Полигон относительных частот.
Гистограмма частот
Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.
Рисунок 5. Гистограмма частот.
Готовые работы на аналогичную тему
Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.
Примеры задачи на построение полигона и гистограммы
Пусть распределение частот имеет вид:
Построить полигон относительных частот.
Получим следующий полигон относительных частот.
Дан ряд непрерывного распределения частот:
Получаем следующую гистограмму частот:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 02 2021
Постройка полигона и гистограммы частот
Что такое полигон и гистограмма частот
Для наглядного представления ряда распределения используют полигон и гистограмму частот.
Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (x1, n1), (x2, n2). (xk, nk), где xi – это варианты или наблюдаемые значения, а ni – частота вариантов.
Существует также полигон относительных частот, представляющий собой ломаную, которая образуется при соединении точек (x1, W1), (x2, W2). (xk, Wk). Величина W является отношением частоты данного варианта к объему выборочной совокупности и имеет вид:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
где n – это объем выборки.
Гистограмму используют в случае непрерывного признака.
Гистограмма частот – это фигура в виде ступеней – прямоугольников, в основании которых лежат частичные интервалы длины h, а высотами служат Wi.
Для гистограммы относительных частот основанием прямоугольников ступенчатой фигуры служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношение Wi/h.
Как построить полигон частот
Полигон частот строится следующим образом. На оси абсцисс отмечают наблюдения значения x, на оси ординат откладывают соответствующие xi частоты ni. Точки с координатами (xi, ni), соединенные прямыми отрезками, составляют ломаную – полигон частот.
Пример
Полигон частот для выборки со следующими значениями:
xi 92, 94, 95, 96, 97, 98.
Как построить гистограмму частот
Алгоритм построения гистограммы частот такой: на оси OX отмечаются частичные интервалы h, затем над отложенными значениями проводятся отрезки, параллельные оси OY, на расстоянии отношения плотности частоты ni/h.
Пример гистограммы частот при частичном интервале h, равном 3.
Сумма частот вариант h: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.
Плотность частоты ni/h: 3,3; 8,3.
Чему равна площадь гистограммы частот
Площадь отдельного прямоугольника гистограммы равна сумме частот интервала i и имеет вид:
Площадь всей гистограммы складывается из всех частот, значит, она равна объему выборки.
Примеры создания полигона и гистограммы в задачах
Задача 1
Успеваемость студентов по дисциплине «Высшая математика» представлена в виде баллов:
Баллы, x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Количество студентов, n: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 3, 2, 1.
Нужно построить полигон частот по этим данным.
Решение
На основе представленной информации строим точки и соединяем их отрезками прямой. Следует заметить, что точки с координатами (0; 0) и (13; 0), которые располагаются на оси OX, имеют своими абсциссами числа на 1 меньшее и большее, чем абсциссы наиболее левой и наиболее правой точек соответственно. Полигон частот выглядит так:
Задача 2
По итогам контрольной работы по биологии среди учеников 9-го класса получена информация о доступности вопросов тестирования (отношение количества учеников, верно ответивших на вопросы, к общему числу учащихся, написавших данную работу). Результаты:
Доступность вопросов, x (%): 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 75–85, 85–95.
Количество вопросов, n: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1.
Всего в контрольной работе было 25 вопросов.
Необходимо построить гистограмму по этому ряду распределения.
Решение
Отмечаем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. Эти отрезки будут основанием прямоугольников с высотами 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Ступенчатая фигура, полученная в результате перечисленных действий, является искомой гистограммой.
ПОЛИГОН И ГИСТОГРАММА
Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.
Определение 1. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки 
.
Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты 
, а на оси ординат – соответствующие им частоты 
. Точки 
соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Определение 2. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки 
.
Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты 
, а на оси ординат относительные частоты 
. Точки 
соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.
Пример. Дано распределение относительных частот:
 | 1,5 | 3,5 | 5,5 | 7,5 |
 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
Построим полигон относительных частот (рис. 6).
Рис. 6. Полигон относительных частот.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длины 
и находят для каждого частичного интервала 
– сумму частот вариант, попавших в 
— ый интервал.
Определение 3. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины 
, а высоты равны отношению 
(плотность частоты).
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии 
и строят соответствующие прямоугольники.
Площадь 
— го частичного прямоугольника равна 
─ сумме частот вариант 
— го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки 
.
Пример 1. Дано распределение частот непрерывного признака.
Частичный интервал, длиною  | Сумма частот вариант частичного интервала  | Плотность частоты  |
| 5 – 10 | 4 | 0,8 |
| 10 – 15 | 6 | 1,2 |
| 15 – 20 | 16 | 3,2 |
| 20 – 25 | 36 | 7,2 |
| 25 – 30 | 24 | 4,8 |
| 30 – 35 | 10 | 2,0 |
| 34 – 40 | 4 | 0,8 |
На рисунке 7 изображена гистограмма частот распределения объема 
, приведенного в таблице 2.
Рис. 7. Гистограмма частот.
Определение 4. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины 
, а высоты равны отношению 
(плотность относительной частоты).
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь 
— го частичного прямоугольника равна 
─ относительной частоте вариант, попавших в 
— й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.
Пример 2. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.
 | 2 | 6 | 12 |
 | 3 | 10 | 7 |
Требуется построить полигоны частот и относительных частот распределения.
Для начала построим полигон частот.
Рис. 8. Полигон частот.
Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.
.
.
| | 2 | 6 | 12 |
 | 0,15 | 0,50 | 0,35 |
Построим полигон относительных частот.
Рис. 9. Полигон относительных частот.
Пример 3. Требуется построить гистограммы частот и относительных частот данного непрерывного распределения (таблица 3).
Частичный интервал длины  | Сумма частот вариант частичного интервала  | Плотность частоты  |
| 2 – 5 | 9 | 3 |
| 5 – 8 | 10 | 3,3 |
| 8 – 11 | 25 | 8,3 |
| 11 – 14 | 6 | 2 |
Построим гистограмму частот.
Рис. 10. Гистограмма частот.
Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки 
.
.
Теперь найдем относительные частоты по формуле 
:
Вычислим плотности частот 
, учитывая, что шаг 
:
Получаем результат, таблица 4:
| Частичный интервал | Сумма относительных частот | Плотность частоты  |
| 2 – 5 | 0,18 | 0,06 |
| 5 – 8 | 0,2 | 0,07 |
| 8 – 11 | 0,5 | 0,17 |
| 11 – 14 | 0,12 | 0,04 |
Построим гистограмму относительных частот.
Рис.11. Гистограмма относительных частот.
