Репетитор по математике о порядке расположения множителей в произведении
Открываю серию публикаций, призванных помочь репетитору по математике для начальных классов проводить занятия с маленькими учениками. Существует множество проблем, корнями уходящих в начальную школу. От того, как ребенок занимается в 1 — 5 классе и какой репетитор по математике его ведет индивидуально зависит качество всего остального обучения в старших классах и в конечном итоге качество подготовки к ЕГЭ по математике.
Репетитор по математике, Александр Николаевич: Знаю о проблеме порядка множителей и восхищаюсь теми родителями, которые стремятся к максимальному баллу. Я не отношу себя к репетитора по математике для начальных классов, но я бы не снижал оценку за перестановку 5 и 7. 
Конечно, школьный преподаватель математики вправе диктовать требования и формально они имеют под собой основу, но вопрос спорный. И то, что лучше для школы — для репетитора по математике уже не является лучшей методикой.
Мне кажется, что если ребенок будет задумываться как ему правильнее умножать 5 на 7 или 7 на 5, он хуже усвоит ситуации, в которых это действие выполняется. Поэтому принуждение к порядку будет мешать развитию. Он начнет задумываться не над тем, в каких ситуация он может умножить, а в каких нет, а все внимание сконцентрирует на том, как ему оформить умножение.
Школьный преподаватель математики вынужден форматировать сознание группы учеников под единые стандарты и правила, дабы упростить слабым ученикам в классе (которых обычно большинство) соотнесение каждого конкретного множителя с его значением в практической задаче. Кроме этого при помощи введения порядка их следования в записи преподаватель математики упрощает систему наводящих вопросов (намеков) при поиске ошибки (ибо появляется определенность в том, что означает первый множитель, а что означает второй).
Преподавателю важно, чтобы весь класс решал задачи одинаково, с одинаковой моторикой и каждый ученик имел возможность контролировать свои ошибки самостоятельно. Поэтому математические правила формулируются классу максимально четко, без права на отклонение от предложенной формы. Поэтому и снижают оценку. Это, как минимум, дисциплинирует класс.
Репетитор по математике освобожден от подобной организации учебного процесса. У него ситуативное преподавание. Если ребенок что-нибудь не понимает, можно всегда это быстро выяснить и сразу же объяснить что к чему. В том числе и рассказать о произвольном порядке расположения множителей. Занятия с хорошим репетитором по математике увеличивают образное запоминание, смысловое запоминание, а не механическое, как в классе. Школа многое делает неправильно, но это издержки группового преподавания. Репетитор по математике иначе строит работу. Репетитору многое удается сделать из того, от чего школа отстраняется. В вашем случае не заостяйте внимание на расположении множителей. Тем более в 3 классе. Я еще понимаю, когда это происходит во 2-ом, но в 3-ем — это уже мешает развитию математического мышления на перспективу.
Заметка из серии: «Методики преподавания в начальной школе».
Репетитор по математике — Москва. Колпаков А.Н.
Профессиональный репетитор. Строгино.
Почему в задаче запись 2*9 правильна, а 9*2 нет?
Как часто при решении задач типа:
«Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал?» в начальной школе можно увидеть перечернутое ребенком решение
и правильную запись учителя 2*9=18 (л)
При этом ребенку снижается оценка и задача считается решенной неправильно.
В этой статье разберем почему так происходит и почему это считается ошибкой?
Почему учителя снижают оценку за неправильный порядок множителей в задаче?
Ключевым навыком, которому обучаются дети во втором классе, является понимание смысла умножения.
Согласно смыслу умножения, запись 2*9 обозначает следующее — по два взяли девять раз.
Запись 5*14 обозначает — по пять взяли 14 раз
100*3 обозначает — по сто взяли три раза
Тогда как 9*2 — по девять взяли два раза.
Вернемся к задаче.
Фермер продал 9-ти покупателям по 2 литра молока.
Иными словами, по 2 литра молока взяли 9 покупателей.
Если записать 9*2, то получится следующее: по девять покупателей взяли два раза. Кто взял? Зачем взял? Куда взял?))
В период формирования ребенком навыка самостоятельного решения задач, важно не оставлять его одного с задачей, а проговаривать вместе с ним этапы решения и смысл каждого действия.
Так же для правильного решения задач, потренируйте с ребенком смысл действия умножения
В школе 60 минут мы обязательно объясняем ребенку ЧТО такое умножение и его свойства.
Ученики школы 60 минут, которые посещают общеобразовательную школу, благодаря урокам Школы 60 минут легко могут понять темы, которые не поняли на уроке.
Для тренировки вы можете написать ребенку много разных примеров, даже за пределами таблицы, например:
И предложить ребенку ПРОГОВОРИТЬ смысл действия умножения
111*154 = по 111 взяли 154 раза
1000*7 = по 1000 взяли 7 раз
25*2 = по 25 взяли 2 раза
2*25 = по 2 взяли 25 раз
А еще лучше, даже попробовать поиграть например, с карандашами.
Взять по 2 карандаша 4 раза (2 карандаша в четыре руки, в руки мамы и ребенка)
По 4 карандаша 2 раза (ребенок в каждую руку берет по 4 карандаша)
Тогда в задачах данного типа у вашего ребенка всегда будет оценка «отлично», а значит и желание учиться дальше не пропадет от непонятных исправлений педагога
Итак, скулхак № 2 по решению задач: Научите ребенка понимать смысл действия умножение в задачах.
В школе 60 минут ученики третьего класса научились этому благодаря видео и тренировке:
В следующих статьях мы раскроем другие важные аспекты решения задач по математике в начальной школе.
А сейчас вы можете получить уникальную систему занятий для ваших детей, которая полностью заменит репетитора по предметам и поможет ребенку легко овладеть школьной программой.
Успейте записаться сейчас, пока действует лучшая цена участия.
До встречи в школе 60 минут.
Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять
Похожее
Автор
Рената Кирилина
Эксперт №1 по эффективному обучению детей в школе, мама троих детей, прошла путь от учителя до директора школы Посмотреть все записи автора Рената Кирилина
Почему в задаче запись 2*9 правильна, а 9*2 нет?: 9 комментариев
Я как учитель математики старших классах вижу в этом подходе усложнение, потому что потом мы объясняем им, что от перемены мест множителей произведение не меняется. И тогда не понятно, за что ребенку ставили двойки и почему нельзя сказать, что 9 человек взяли по 2 литра, а истина в конечной инстанции заключается во фразе «по 2 литра взяли 9 человек», почему нельзя переставить слова? Лично я не понимаю.
Екатерина, я хоть и не учитель, и пока еще мама дошкольницы, тоже не понимаю смысла этого перечеркивания и не считаю логичным. При жтом же ребенок может отлично решать такие задачи, а этим перечеркиванием можно перечеркнуть и весь энтузиазм ребенка к учебе…
Екатерина, школа вообще одно сплошное усложнение:))) Я имею в виду систему образования в том виде, в котором она представлена сегодня. Тот же учебник математики в 6-м классе… Каждый мой вечер начинается с того, что я объясняю ребенку каждое математическое правило ПОНЯТНЫМ ребенку языком. Для этого мне, человеку с высшим филологическим образованием, иной раз приходится перечитать правило пару раз:))) НУ НЕПОНЯТНО, о чем это они:))) Учитель в восторге от того, как сделаны домашние задания… Только чего это стоит маме:)
[id55125188|Анна], как нормальный взрослый человек, я полностью согласна с высказываниями выше, но как учитель начальных классов, могу объяснить почему прогрмма по математике в начальной школе так серьезно относится к этому вопросу: во-первых, только единицы детей начальной школы легко и сразу могут решать задачи самостоятельно, без помощи взрослых, т.к. просто не понимают смысл задачи, не умеют вдумываться, о чем идет речь в задаче, во-вторых, тоже самое происходит и со смыслом умножения. Данное требование (о котором говорится в статье 2х9 или 9х2) как раз и заставляет ребенка задуматься о смысле самой задачи, т.к. в начальной школе — это и есть одна из целей (научить решать задачи). Просто не все учителя нач.классов делают на этом акцент при объяснении (почему так, а не иначе), не забывая проговаривать и о переместительном свойстве умножения, а просто зачеркнут решение — и все. Надеюсь, не запутала Вас.
Не могу понять. «Девяти покупателям продали по 2 литра молока». Ну девять на два ведь логичнее! Даже число «9» заявлено раньше. Как это может противоречить смыслу задачи? Девять покупателей получают по два литра каждый
В связи с тем, что некоторым детям (в связи со слабым знанием таблицы умножения) легче 9х2 ( удвоить девятку), чем 2х9- пусть пользуются тем, что лучше знают. В конечном итоге ответ один и тот же.. И переместительный закон умножения применят. А придать правильный смысл множителям можно в устном комментарии.
Фокус в том, что для того, чтобы ребенок легко считал в уме, ему надо сначала посчитать «на пальцах». Для того, чтобы ребенок легко в средней школе учился, в начальной надо отрабатывать простые алгоритмы, которые взрослому кажутся бессмысленными или мешающими.
чушь какая то…русским языком написано…фермер продал девяти покупателям по два литра….
Вздумай учитель математики моему ребенку такое снизить, я бы после школы с ним поговорил, раз этак 9 на 2 глаза, что бы этот дятел не портил ребенку понимание коммутативности сомножителей.
Порядок действий в математике
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!
Почему в начальной школе важен порядок множителей. Подробное объяснение.
На прошлой неделе мы разобрали две статьи (раз, два), в которых авторы рассуждают об одной математической задаче из начальной школы.
Это задание вызвало многочисленные споры в сети. Хотя подобные фото —простейшая задача на умножение и зачеркнутое решение с переставленными множителями — появляются довольно часто, все дискуссии с их обсуждением чаще всего становятся бесплодными. Даже в нашей небольшой группе возникли яростные споры на тему “А почему же нельзя переставить множители? Результат же правильный!”, и стороны не смогли прийти к какому-то соглашению.
Однако, давайте всё же вооружимся здравым смыслом, методичками учителей начальной школы и знаниями о детской психологии и попробуем разобраться, почему же при знакомстве с умножением важно писать множители именно в указанном порядке.
Сразу сделаем небольшую оговорку.
В педагогике на данный момент нет окончательного понимания, как правильно подавать школьный материал в начальной школе. Даже по поводу предметного содержания ведутся ожесточенные споры. Есть различные математические, психологические и методические школы, которые в зависимости от своего авторитета по-разному влияют на школьное образование. Был Колмогоров в зените — некоторые его идеи проникли в школу и частично там закрепились. Развалился Советский Союз, появился запрос на новую свободную и якобы гуманную педагогику — пришли психологи со своим развивающим обучением и под шумок проникли в образовательные стандарты. Поэтому то, что сейчас изучается в школе, в том числе и в начальной школе, является некой солянкой, пока устраивающей основных игроков. То есть нет некой единой выверенной методики, есть лишь некий временный компромисс между основными группами влияния. Бесполезно ссылаться на науку — каждая группа может привести свои аргументы и найти такие исследования, которые подтвердят их методический подход. Сейчас углубляться в эти дебри мы не будем. Возможно, как-нибудь позже поговорим и про священные методические войны.
Ниже мы будем описывать собственный опыт и опыт коллег-учителей математики, работающих по традиционной методике, где одной из главных целей обучения детей в начальной школе является эффективное обучение счёту.
И сначала давайте поговорим о том, как маленькие дети учатся складывать числа.
Как дети складывают и умножают
Максимально упрощенно это можно представить в следующем виде.
Сначала перед ребенком кладут четыре палочки. Спрашивают: “Сколько здесь палочек?”. Он медленно их пересчитывает и понимает, что их ровно четыре штучки. Потом рядом справа кладут ещё три палочки, и спрашивают: “А здесь сколько палочек?”. После аккуратного пересчитывания он отвечает, что их три.
“А сколько же их тут вместе?”. Ребёнок, пока не знакомый со сложением, не говорит мгновенно ответ. И тем более не пытается угадать, как это требуют в некоторых альтернативных методиках. Он просто берёт и заново пересчитывает все палочки из получившейся кучки: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь.
Далее ребенку говорят, что не обязательно считать всё с самого начала. Ведь есть способ проще. Можно взять первые четыре палочки, а следующие три просто досчитать: пять, шесть, семь. И так в конечном счёте дети переходят от действия пересчитывания к арифметическому действию сложения двух чисел через промежуточную запись 4 + 1 + 1 + 1. Именно эту запись раскритиковала Женя Кац в статье с первым разбором. Хотя на самом деле эта запись очень важна. Во-первых, как переход к сложению двух чисел, а во-вторых, для того, чтобы дети учились работать с выражениями, содержащими более одного знака действия.
Похожим образом в первом классе происходят и другие открытия. Например, если взять из ящичка сначала пять кубиков, а потом три, то вместе мы получим восемь кубиков. Но если это сделать в другом порядке — сначала три, а потом пять, — то получится тоже ровно восемь кубиков. Невероятное совпадение! Нам это кажется очевидным, но для малыша это величайшее открытие, сравнимое с открытием Америки Колумбом.
Примерно так происходит знакомство и с другими свойствами сложения как арифметического действия. Обратите внимание, что это именно действие. Вся деятельность ребёнка сначала проводится не с какими-то виртуальными или нарисованными объектами, а с реальными физическими объектами вроде палочек, кубиков или вырезанных из картона кружочков. Именно их собирают в кучки, вытаскивают из мешочка, кладут рядом или друг на друга, убирают в сторону и т.д. А в случае с палочками их вообще можно собирать в пучки и продуктивно работать уже с пучками. И лишь потом дети привыкают работать с более абстрактными объектами.
Когда же сложение будет освоено, может появиться такая задача: взять из кучки три кубика, потом ещё три кубика, потом ещё три, ещё три, ещё три, и, наконец, ещё три. Сколько всего мы взяли кубиков? Каждый раз мы брали именно по три кубика. Это ребенок понимает хорошо и, самое главное, в первую очередь. Он может сбиться, сколько раз опускал руку в ящичек, но по сколько кубиков брал каждый раз, он твёрдо знает. Ведь ребёнок внимательно пересчитывает кубики, когда берёт новую кучку-тройку. Он в первую очередь сконцентрирован на том, чтобы взять правильное количество.
Так вот когда ученик берёт каждую следующую порцию, он записывает в тетрадь три вещи: сколько он взял, что он взял и действие сложения. Получается вот такая запись: 3 к. + 3 к. + 3 к. + 3 к. + 3 к. + 3 к. Из этой записи он может увидеть, если ранее не запомнил, что брал кубики ровно 6 раз. По три кубика взял шесть раз.
На первых порах вообще не говорят про умножение. Фразы вроде “мы взяли по три кубика шесть раз” или “мы взяли по две тетради три раза” поначалу проще, понятнее и естественнее для маленького ребёнка.
Потом внезапно оказывается, что нашу громоздкую сумму 3 к. + 3 к. + 3 к. + 3 к. + 3 к. + 3 к. можно заменить на короткую запись 3к. × 6.
И в итоге именно такое действие называют умножением. То есть повторяющееся сложение реальных предметов, которое для удобства записали сокращенно. Дети легко принимают такую запись, так как она для них прямо вытекает из того, что они только что делали. И всегда радуются, что теперь можно писать не громоздкую сумму, а ёмкое умножение.
Параллельно с этим дети убеждаются, что не важно, какие именно предметы мы складываем, а после умножаем. Можно ведь работать с отвлеченными числами. Тогда появляются записи вроде 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 6. Но в задачах всё равно пишут именно в таком порядке 3к.×6.
А после этого в задачах могут писать и 3×6 = 18 (к.). Тут уже зависит от конкретного преподавателя и методических рекомендаций к используемому учебному комплексу.
Ключевая мысль же этого короткого описания методики в том, что предметы и их количество первичны, а сколько именно раз мы их берём вторично. Поэтому-то их выписывают в качестве слагаемых и потом ставят на первое место при умножении.
Обыденная логика против методики
Это, конечно, расходится с нашей бытовой логикой. В обычной жизни мы скорее скажем: “Возьмём два раза по пять тетрадей”. То есть вроде было бы логично записать так же: 2×5т. Но если отталкиваться от реальных действий с предметами, от складывания их в кучки, то только фраза “взять по пять тетрадей два раза” является естественной для детского мышления.
Но почему именно взятое число кубиков первично?
Давайте проведём эксперимент. Ещё раз выпишем условие задачи. Перечитайте его:
Взять из кучки три кубика, потом ещё три кубика, потом ещё три, ещё три, ещё три, ещё три, и, наконец, ещё три.
Наверняка, читая текст этого задания, вы концентрировались на количестве кубиков, а не на том, сколько раз вы брали кубики. Скорее всего, ПО СКОЛЬКО кубиков вы запомнили. А количество раз запомнили? Точно?
Попробуйте перечитать это условие.
Чтобы на самом деле понять взрослому, что происходит в голове у детей, бесполезно читать эти или подобные описания. Нужно сесть и повторить все те же действия, которые делает ребёнок. Только тогда может появиться понимание того, о чём говорят методисты. В некоторых ситуациях педагоги явно показывают сомневающимся родителям действия с кубиками, вплоть до того, что проводят часть урока математики на родительском собрании.
Видеть контекст
Теперь вернёмся к исходной задаче с литрами.
Основная проблема не в том, что читатели не знают методики преподавания и поэтому не видят разницы. В методике можно лишь прочесть сухую рекомендацию учителям, что нужно делать так, а не иначе. И что согласно ей нужно взять именно по 2 литра 9 раз.
Дело в том, что для читателей это задание вырвано из учебного контекста. Ведь до этого была проведена серьёзная работа с детьми. Учитель аккуратно и последовательно вёл группу, начиная с кубиков и кончая этими злополучными литрами. Родитель же видит только вершину айсберга. Рассматривает только эту запись, которая по всем математическим канонам имеет право выглядеть и по-другому. Хотя то, что остаётся за кадром, гораздо важнее этих переставленных множителей. Только изучив всё, что делали ученики до этого, можно будет понять, что именно требует учитель и почему.
А дальше начинаются бесконечные споры.
Уставшие преподаватели начальной школы банально советуют родителям читать методички. Родители же считают, что от них просто отмахиваются и часто воспринимают подобный совет как оскорбление. Действительно, вряд ли у взрослого человека есть время для того, чтобы разбираться в такой мелочи. В самих же методических книгах порой пишут слишком умно, читать их довольно трудно. Порой они просто уводят от сути. Если взять какие-то формальные правила, то действительно ничего полезного для понимания из них не выцепить.
Вот первое попавшееся описание:
Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых. Умножение есть сложение равных слагаемых. Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.
Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.
Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.
Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых. “Руководство к арифметике“ (Бугаев, 1898)
Но сразу возникают вопросы: а почему именно так определяем? Почему не “взять второе число слагаемым столько раз, сколько в первом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых”? Зачем нам сейчас эти странные традиции царской/советской арифметики? Множимое и множитель — зачем их вообще определять, если они в старших классах отпадают? И как в конкретной задаче можно физически взять литры? И главное, зачем?
Таких вопросов и неясных моментов обычно возникает очень много. Поясним самые распространённые из них.
“Математически порядок множителей не важен”
Да, это так. Все мы прекрасно помним со школы, что от перестановки множителей произведение не меняется. Но опасно давать детям это знание сразу. Оно не будет вырастать органично из детского опыта. А это прямой путь к тому, что ученики и в дальнейшем будут воспринимать математику, как нечто оторванное от реального мира. И просто заучивать или угадывать какие-то закономерности, пытаясь понять, что от них хочет учитель.
Сюда можно отнести и различные объяснения того, что такое размерность, и попытки как-то переубедить оппонентов с помощью неё. В итоге через различные шаманские пляски и монструозные словесные конструкции вроде корзинояблок и яблококорзин некоторые взрослые пытаются доказать ту же самую коммутативность. Но это снова попытка отказаться от умножения как многократного сложения, как действия с первоначально физическими объектами, в пользу работы с какими-то формальными объектами.
В итоге читатели смотрят на порядок слов в фразе, смотрят на коммутативность операции, но не смотрят на самое главное — на те действия, которые привели к подобной записи. Игнорируя тот факт, что вся математика выросла из реального действительного мира вокруг нас, а не из нашей головы.
“Давайте преподавать сразу правильную математику”
Некоторые математически подкованные люди сразу предлагают начинать чуть ли с аксиом Пеано. Или вообще как-то иначе переопределить умножение. У нас на мехмате преподаватели в шутку давали такие задания. А потом просили доказать основные свойства и эквивалентность всех представленных определений. И среди них были жутко громоздкие. Прелесть серьёзной математики и состоит в том числе и вот в таком эффектном жонглировании абстрактными понятиями.
Но мы сейчас говорим о маленьких детях, которые пока не умеют так строго рассуждать. Их действия конкретны. Подобные конструкции детей просто запутают.
Да, они могут как стишок выучить определения, могут привыкнуть, к примеру, к записям вроде 2-5=-3. Но это никак не даст им понимания того, что такое вычитание. Действительно, как из двух кубиков вычесть пять? Что это ещё за магия?
Первоклассников на самом деле просто научить действиям с отрицательными числами. Они легко выполняют формальные преобразования. Мозг детей в этом возрасте очень пластичен. Автор этой статьи даже видел, как маленьким детям давали основы алгебры: несколько детей-второклассников могли на доске написать что-то вроде 2а+3а=5а или 2а×5b=10ab. Но сути того, что написано, они даже близко не понимали.
Нечто похожее описывал академик В.И.Арнольд в одной из своих статей. Когда французского школьника спрашивали: «Сколько будет 2+3?», он отвечал: «3+2, ибо сложение коммутативно». А сосчитать, что это 5, он не мог. И такая математика без последовательного изложения на основе реального опыта, в детских мозгах останется лишь схоластикой.
То есть необходимо понимать, что более взрослая математика, как и её преподавание, отличается от того, что происходит в начальной школе. Да даже если в средней школе сказать, что вектор, это направленный отрезок — это приемлемо и целесообразно. А если сказать такое на уважающей себя математической кафедре, с вами могут просто перестать разговаривать.
Про неважность перестановки множителей иногда говорят даже учителя средней школы, испорченные работой со старшими учениками и игнорирующие особенности становления детского мышления. До тех пор, пока преподаватели сами не придут в первый или второй класс и не попробуют объяснить детям какие-то базовые вещи, они не увидят трудностей, с которыми сталкивается учитель начальной школы. Порой достаточно просто месяц-другой походить на занятия грамотного педагога, чтобы тот объяснил тонкости своей работы. Пока учитель сам не увидит, как после просьбы взять “4 раза по три кубика” часть детей упорно переспрашивает “а сколько раз брать?”, он также будет думать о неважности порядка множителей для первоклассников.
Подчеркнем, что подобный опыт можно получить только при работе с основной программой, а не на кружках дополнительного математического образования. Только это сможет поменять картину мира преподавателя.
“А если ребенок уже знает про перестановку множителей?”
Коммутативность умножения не является тайной за семью печатями. Школьник мог узнать про это из дополнительных курсов, из книг или от заботливых родителей. Однако, такое не вовремя полученное знание может сыграть злую шутку с учеником. Тут возможно два варианта.
Первый случай: когда у ребенка не до конца сформировалось правильное понимание умножения, а он уже вовсю пользуется его свойствами. Здесь есть опасность того, что он и дальше будет просто выцеплять из текста числа и бездумно перемножать. Забывая про суть этого действия.
Второй случай: когда ученик понимает про умножение, осознал перестановку множителей, знает всю таблицу умножения и вообще уже умеет перемножать столбиком трехзначные числа. Тогда правильная с методической точки зрения запись будет казаться ему дурью школьного учителя. И это тоже может отвернуть его от школьной математики. К тому же ближайшая программная математика в школе будет даваться ему слишком легко, и он может отвыкнуть работать на уроке и дома. А потом, когда уже пойдут более сложные темы, ученик будет не готов плодотворно ими заниматься.
Каждая из таких ситуаций должна как-то разруливаться преподавателем с применением его педагогического таланта и методических знаний. В любом случае, это неприятный для любого учителя момент, поэтому грамотные учителя заранее просят родителей очень аккуратно подходить к различным развивающим кружкам и рекомендуют не делать с детьми домашних заданий.
Хотя надо признать, что если ребенок пару раз переставил множители без понимания, это вряд ли сильно затормозит его математическое развитие. Главное потом всё же вернуться на методически выверенную траекторию обучения.
“Почему снижена оценка?”
В указанном выше конкретном примере с фермером и литрами оценка не проставлена. Однако, во многие других случаях её всё-таки снижают.
И если с методическим обоснованием правильного порядка множителей ещё можно согласиться, то следом может возникнуть такой вопрос: “Снижать ли ученику оценку за то, что он не понимает реальный смысл умножения или понимает его по-своему, не так, как предполагают органичные действия с предметами?”.
Вступая на этот путь, сама дискуссия часто в итоге сворачивается к вопросам “ставить ли вообще оценки в начальной школе? насколько это педагогично?”, которые ещё более сложны. Поэтому мы воздержимся от комментариев по этому поводу. Однако, будем считать, что оценки в каком-то виде всё-таки должны быть.
Теперь давайте представим себя в роли учителя, который видит подобную рабочую тетрадь. Согласно методическим руководствам в этом задании проверяется, как именно младший школьник на текущем этапе понимает суть умножения. Он понимает его как повторяющееся сложение или ему на курсах-развивайках через игры по-разному вдолбили таблицу умножения и рассказали про перестановку? Но чтобы разобраться с этим вопросом для конкретного ученика нужно потратить время на работу именно с ним. А учителю совсем некогда.
В итоге преподаватель идёт по пути наименьшего сопротивления и просто самым простым способом сигнализирует, что это неправильно. То есть через снижение оценки.
Думаем, что это больше вопрос методической целесообразности для конкретного учителя, конкретного класса и даже конкретного ученика.
Есть ещё вариант вообще не ставить оценки. Но тут уже взбунтуется другая часть родителей. Мол, мой сын решал дома задачи, а вы никак этого не оценили.
В общем вопрос сложный. Здесь можно найти доводы за и против подобного оценивания, но подобная дискуссия лишь уводит нас от того факта, что сам порядок множителей всё-таки важен с методической точки зрения.
“Пусть часть детей пишет так, другая так”
Некоторые родители допускают, что методически это может быть и оправданно. Но нужно давать детям выбор. И раз результат правильный, не важно как он достигнут. Часто ссылаются на вариативный подход, на свободное творчество детей, на гуманизацию образования. Вплоть до отрицания каких-либо предметных методик.
Но здесь ситуация схожая с курсом лечения. Пить разные наборы таблеток — не самая лучшая стратегия. Какими бы эффективными они ни были по отдельности.
Повторимся: все грамотные преподаватели, системно работающие по разным методикам просят родителей не вмешиваться в учебный процесс и не делать ДЗ за ребенка. Родители, не понимая назначения или смысла упражнений, будут делать неверно. При всём нашем скептическом отношении к линейке учебников Петерсон — мы прекрасно понимаем какие методические принципы лежат в основе данного УМК, знаем слабые и сильные стороны этой системы и как они отражаются потом на старшеклассниках. Но как бы мы не критиковали основные гипотезы, на которые опирается эта методика, она довольно цельная. И очень опасно пытаться обмануть систему и, допустим, в школе учиться по Питерсон, а дома нагружать дополнительно какими-то заданиями из других систем. В принципе это может делать только очень грамотный преподаватель. Иначе в голове у ребёнка будет каша.
И ещё про вариативность обучения. Все эти “идите за интересом ребенка”, “пусть он сам выбирает”, “а вы замотивируйте его сначала, а потом что-то предлагайте”, “раз получилось правильно, какая разница как” чаще ломают системное обучение. С такой логикой лучше сразу дать детям калькуляторы и смартфоны. Какая разница, в самом деле, если результат получен. Заодно и цифровую компетенцию им разовьёте.
“В методичках написано так!”
Здесь уже другая крайность. Есть учителя, которые не понимают границ применимости методики и требую правильно писать даже в совсем старших классах. Имея в руках молоток, им всё вокруг кажется гвоздями. В итоге они настаивают на подобной записи чуть ли не для физики и химии. И несмотря на их правоту для начального ознакомления с умножением, позже подобный подход может отпугнуть учеников и родителей, которые думают, что попали в какую-то секту, где правит каста учителей-жрецов с идиотскими правилами-ритуалами. И идут к тем, кто весело и вкусно занимается разного рода мышематикой.
По нашему опыту с определённого момента в более старших классах уже поздно формировать правильное понимание умножения. У учеников меняется ведущий образ деятельности. Часть старших детей может не знать, сколько будет 6×7. Но практически все знают к определённому возрасту, что 6×7 и 7×6 дают один тот же результат. Поэтому нет смысла требовать от них такой фиксированной записи. Так же, как и требовать отступать по 4 клеточки для записей на полях. Или системно править почерк. Всё-таки уже поздновато, здесь нужно строить работу иначе.
Более того, по опыту работы с крайне отстающими старшими учениками (8-11 классы, которые не могут правильно сложить два однозначных числа), можем сказать, что для них даже вредно настаивать на подобных формальностях. Это убивает все зачатки мотивации. Мы ещё будем много говорить о подобных случаях в следующих статьях, т.к. наш проект ориентирован именно на старшие классы с разным уровнем понимания математики.
“Есть методики, где это не важно”
Да, это так. Где-то делают упор на многократное пересчитывание клеточек. Где-то не считают нужным подробно учить детей считать, а начинают с измерений. Где-то по максимуму дают детям буквенную символику и сначала учат оперировать формальными объектами, идя от абстрактного к конкретному. Где-то учат таблицу умножения с конца, с больших значений. Здесь нет смысла спорить о том, кто более прав этих вещах. Для грамотной дискуссии на эти темы от оппонентов нужны знания детской психологии, понимание особенностей различных программ, сами предметные знания, а также философии и история развития математики. Вплоть вопроса о месте математики в нашем обществе.
“Всё равно учителя не правы, а я прав!”
Многие родители проецируют себя и свои проблемы на ребёнка и воспринимают подобную зачёркнутую запись как личный упрёк. Мол, мы старались, решали с сыном задачи. А в итоге мне ему поставили двойку.
Хотя чаще это не показатель того, что конкретный ученик плохо понял. Это скорее сигнал учителю, чтобы он мог дальше строить работу с этим классом. Ведь если в классе массово так стали писать, значит что-то ранее пошло не так и надо как-то на это реагировать с методической точки зрения…
“Это лишняя информация”
Нет ничего страшного, что дети получат сначала избыток информации, которая в дальнейшем им в учёбе и в жизни не понадобится. В старших классах действительно никто не будет их спрашивать про множимое и множители. А также про состав числа, про десятки и сотни, про счётные единицы, про разрядный состав, про делимое и частное и т.д. Даже такое фундаментальное для науки математики понятие как число трансформируется по мере того, как дети знакомятся с отрицательными, дробными, а потом и иррациональными числами. И в начальной школе оно должно являться детям не как чисто понятийная сущность, а как эмпирически богатая реальность.
Поэтому не нужно относиться ко всем этим определениям и терминам как к какой-то ненужной информации. На самом деле это строительные леса, благодаря которым дети строят у себя в голове огромное и неисчерпаемое здание математики.
“Это отучает школьников думать самостоятельно”
Некоторые родители, обычно с хорошим профильным образованием или те, кто имеют отношение к кружковому олимпиадному движению, опасаются, что подобный рамочный подход слишком стесняет полёт мысли учеников. Мол, они становятся нелюбопытными, т.к. от них требуют единственно правильный путь решения, а действия по правилам и скучным алгоритмам отбивает в дальнейшем охоту учиться. И что лучше детям дать какое-нибудь проблемное или опережающее обучение, чтобы массово воспитать настоящих думающих людей или даже учёных.
Такие аргументы на первый взгляд кажутся обоснованными. Зачем школьников так назойливо учить нормально считать, ведь есть калькуляторы? Зачем так много текстовых задач? Давайте разгрузим программу, уберём лишнее, заменим это на какие-нибудь хитрые логические задачи, ребусы или игры. Или вообще через математику будем учить эмоциональному интеллекту и мягким навыкам.
Но это иллюзия. Умение думать и тем более умение думать независимо и критически возможно лишь тогда, когда для этого есть крепкий фундамент. Когда есть на что опереться, тогда и полезно выходить за пределы. Но если сразу вытягивать из детей последовательные рассуждения, то велика вероятность, что без базы эти рассуждения останутся на крайне низком уровне. Автор этих строк видел много объективно сообразительных 5-6-классников, которые могли решать крепкие логические задачи, но из-за того, что плохо умели считать и понимать прочитанное, в последующих классах так и не смогли подняться выше, оставшись в рядах подававших надежды.
Кстати, обратите внимание на характер заданий вступительных экзаменов в различные матшколы. При поступлении в 7 класс от детей обычно нужно не столько умение решать кружковую математику, сколько счётные и алгоритмические навыки высокого уровня. В приёмных комиссиях таких школ сидят далеко не дураки. Они понимают, что гораздо важнее в этом возрасте не знать теорию множеств или уметь решать какие-то нестандартные задачи, например, на те же графы. Гораздо важнее математическая выносливость в разных областях арифметики. И что потом намного проще из подобных школьников сделать олимпиадников по специальным программам, чем учить “не боящихся думать” эффективным навыкам счёта. Ведь так называемые нестандарные задачи обычно имеют довольно стандартные решения. Просто круг используемых инструментов шире.
“А почему тогда не все учителя так делают?”
Если традиционная методика настолько природосообразна, естественна и эффективна, то почему она не внедрена повсеместно?
Помимо естественного соперничества различных методик есть более приземлённые проблемы. Например, дисциплина.
Для подобной системной работы нужно хорошо поставленное чёткое взаимодействие учителя и учеников. Иначе на уроке дети банально начнут кидаться в друг друга кубиками или палочками. И потом просто так детей не утихомирить. Ведь согласно современным модным тенденциям они так проявляют свою индивидуальность. И их нужно как-то внутренне мотивировать и каждому объяснять, как лично в их жизни пригодится аккуратное вытаскивание кубиков из ящичка.
Сейчас гораздо проще дать детям рабочую тетрадь на печатной основе или какую-нибудь цифровую онлайн-поделку, чтобы они хоть чем-то занимались.
И наконец, самый убийственный аргумент:
“Не знаю. Не убедили…”
Друзья, мы не собираемся никого убеждать. У нас нет такой цели.
Главная аудитория нашего проекта — это старшеклассники и преподаватели, которые с ними работают. Именно для них мы хотим показать важность методики преподавания. А также то, что математика должна изучаться последовательно с учётом возрастных особенностей учеников.
Родители скорее всего просто останутся при своём мнении. А преподаватели начальной школы и так всё это уже давно знают.
