Что такое постоянное число в математике
Три самые известные математические константы: как они появились и зачем нужны
В основе нашей Вселенной стоят числа, также известные как фундаментальные константы. Они показывают, как движутся галактики, как расширяется Вселенная, как вообще работает пространство и время. Рассказываем, кто их открыл и за что отвечает каждое число.
Читайте «Хайтек» в
Что такое математическая константа?
В противоположность переменным величинам существуют математические постоянные. Математическая постоянная, или константа — это величина, значение которой неизменно. Главной отличительной чертой математических констант является их независимость от физических измерений. Все математические константы имеют буквенный символ.
Число Пи
Число Пи (π) — это математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Десятичное представление числа никогда не заканчивается и является эталоном для высокопроизводительных вычислений.
Чему равно: 3,1415926535…
На сегодняшний день число Пи рассчитали с точностью до 62,8 трлн знаков после запятой — с помощью 32-ядерных процессоров AMD.
Если измерить веревкой длину окружности, получится, что она равна приблизительно трем ее диаметрам. Человечество выяснило это еще в древности. Кстати, это соотношение подходит для любой окружности — неважно, речь о часах или колесе обозрения. Иными словами, все окружности в мире связаны этой математической константой. Еще до нашей эры люди знали, что это число чуть больше трех. Вопрос в том, насколько. Столетия эта загадка не давала покоя мыслителям, поскольку имела большое значение и была почти высчитана. Но это «почти» растянулось на несколько тысяч лет.
Точное авторство числа Пи неизвестно. Вообще, открытие приписывается древним индийцам, грекам, китайцам и прочим хорошим людям. Впервые обозначил его греческой буквой π в начале XVIII века английский математик Уильям Джонс.
Числу π столько же лет, сколько всей математике: около 4 тыс. Старейшие шумерские таблички приводят для него цифру 25/8, или 3,125. Ошибка — меньше процента. Вавилоняне абстрактной математикой особо не увлекались, так что π вывели опытным путем, просто измеряя длину окружностей. Кстати, это первый эксперимент по численному моделированию мира.
Число Бога
Число Фи (φ) — число Бога, Золотое Сечение, Золотая Пропорция — у него много названий. Сам по себе это отношение одной части чего-либо к другой с коэффициентом 1,618 (это 61,8%), или 62% на 38%.
Чему равно: 1,6180339887…
Классическое определение Золотой Пропорции: меньшее относится к большему так, как большее относится к целому, с коэффициентом 1,618.
Принято считать, что впервые закономерности соотношения размеров тела человека и отдельных его частей обобщил и сформулировал в 1855 году немецкий исследователь Цейзинг в своем научном труде «Эстетические исследования». За основу своей теории он взял учение о Золотом Сечении.
Еще в VI веке до н. э. древнегреческий философ и математик Пифагор ввел в научный обиход понятие «золотое деление». «Золотое деление» — это пропорциональное деление отрезка на неравные части. При этом меньший отрезок так относится к большему, как больший отрезок относится ко всему отрезку. a : b = b : c или с : b = b : а.
История Золотого Сечения связана еще с одним известным итальянским математиком Фибоначчи. До наших времен дошел ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. д., известный как ряд Фибоначчи.
Особенность последовательности данных чисел заключается в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих (2+3=5, 3+5=8), а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению Золотого Сечения (21:34=0,617, а 34:55=0,618). Впоследствии все исследователи Золотого Сечения в растительном и животном мире, искусстве и анатомии приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Интересно, что свой закон Фибоначчи вывел, подсчитывая количество рожденных кроликов от пары кроликов за год.
Число Непера
Число е — своего рода двойник π. Если π отвечает за пространство, то е — за время, и тоже проявляет себя почти всюду. Скажем, радиоактивность полония-210 уменьшается в е раз за средний срок жизни одного атома, а раковина моллюска Nautilus — это график степеней е, обернутый вокруг оси.
Чему равно: 2,718281828…
е — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда его называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».
Иными словами, число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Оно участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов и других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.
Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).
Так что число е — это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.
Число открыл Джон Непер, шотландский математик, в 1618 году. Самого числа он не упоминал, зато выстроил на его основе свои таблицы логарифмов. Одновременно кандидатами в авторы константы считаются Якоб Бернулли, Лейбниц, Гюйгенс и Эйлер. Достоверно известно только то, что символ е взялся из фамилии последнего.
Как и π, е — трансцендентное число. Говоря проще, его нельзя выразить через дроби и корни. Есть гипотеза, что у таких чисел в бесконечном «хвосте» после запятой встречаются все комбинации цифр, какие только возможны.
Красота чисел. Математические константы в природе
3D-модель эндоплазматической сети эукариотической клетки с рампами Терасаки, которые соединяют плоские листы мембраны
В 2013 году группа молекулярных биологов из США исследовали очень интересную форму эндоплазматической сети — органоида внутри эукариотической клетки. Мембрана этого органоида состоит из плоских листов, соединённых спиральными «пандусами», словно рассчитанными в программе 3D-моделирования. Это так называемые рампы Терасаки. Спустя три года работу биологов заметили астрофизики. Они были поражены: ведь точно такие структуры присутствуют внутри нейтронных звёзд. Так называемая «ядерная паста» состоит из параллельных листов, соединённых спиральными формами.
Удивительное структурное сходство живых клеток и нейтронных звёзд — откуда оно взялось? Очевидно же, что между живыми клетками и нейтронными звёздами нет прямой связи. Просто совпадение?
Модель спиральных соединений между плоскими листами мембраны в эукариотической клетке
Есть предположение, что законы природы действуют на все объекты микро- и макромира таким образом, что некоторые наиболее оптимальные формы и конфигурации проявляются как будто сами собой. Другими словами, объекты физического мира подчиняются скрытым математическим законам, лежащем в основе всего мироздания.
Посмотрим ещё на несколько примеров, которые подтверждают эту теорию. Это примеры, когда разные по сути материальные объекты проявляют схожие свойства.
Например, впервые наблюдаемые в 2011 году акустические чёрные дыры проявляют такие же свойства, какими в теории должны обладать настоящие чёрные дыры. В первой экспериментальной акустической чёрной дыре бозе-эйнштейновский конденсат из 100 тыс. атомов рубидия раскрутили до сверхзвуковой скорости таким образом, что отдельные части конденсата преодолели звуковой барьер, а соседние — нет. Граница этих частей конденсата моделировала горизонт событий чёрной дыры, где скорость потока в точности равна скорости звука. При температурах около абсолютного нуля звук начинает вести себя как квантовые частицы — фононы (вымышленная квазичастица олицетворяет собой квант колебательного движения атомов кристалла). Оказалось, что «звуковая» чёрная дыра поглощает частицы точно так же, как настоящая чёрная дыра поглощает фотоны. Таким образом, поток жидкости действует на звук так же, как настоящая чёрная дыра действует на свет. В принципе, звуковую чёрную дыру с фононами можно рассматривать как своеобразную модель настоящего искривления в пространстве-времени.
Если посмотреть шире на структурные сходства в различных физических явлениях, то можно увидеть в природном хаосе удивительный порядок. Все разнообразные природные феномены, по сути, описываются простыми базовыми правилами. Математическими правилами.
Взять фракталы. Это самоподобные геометрические формы, которые можно поделить на части так, что каждая часть хотя бы приблизительно является уменьшенной копией целого. Один из примеров — знаменитый папоротник Барнсли.
Папоротник Барнсли строится при помощи четырёх аффинных преобразований вида:
Данный конкретный лист сгенерирован со следующими коэффициентами:
В окружающей нас природе такие математические формулы встречаются повсеместно — в тучах, деревьях, горных грядах, кристалликах льда, мерцающем пламени, в морском побережье. Это примеры фракталов, структура которых описывается относительно простыми математическими вычислениями.
Галилео Галилей ещё в 1623 году говорил: «Вся наука записана в этой великой книге — я имею в виду Вселенную, — которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и её буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного её слова; без них он подобен блуждающему во тьме».
На самом деле математические правила проявляют себя не только в геометрии и визуальных очертаниях природных объектов, но и в других законах. Например, в нелинейной динамике численности популяции, скорость прироста которой динамически снижается при приближению к естественному пределу экологической ниши. Или в квантовой физике.
Что касается самых известных математических констант — например, числа пи, — то вполне естественно, что оно широко встречается в природе, потому что соответствующие геометрические формы являются наиболее рациональными и подходящими для многих природных объектов. В частности, фундаментальной физической константой стало число 2π. Оно показывает, чему равен угол поворота в радианах, содержащийся в одном полном обороте при вращении тела. Соответствено, данная константа повсеместно встречается в описании вращательной формы движения и угла поворота, а также при математической интерпретации колебаний и волн.
Например, период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
В условиях вращения Земли плоскость колебаний маятника будет медленно поворачиваться в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Скорость вращения плоскости колебаний маятника зависит от его географической широты.
Число пи является составной частью постоянной Дирака — редуцированной постоянной Планка, основной константы квантовой физики, которая связывает две системы единиц — квантовую и традиционную. Она связывает величину кванта энергии любой линейной колебательной физической системы с её частотой.
Соответственно, число пи входит в фундаментальный постулат квантовой механики — принцип неопределённости Гейзенберга.
Число пи используется в формуле постоянной тонкой структуры — ещё одной фундаментальной физической постоянной, характеризующей силу электромагнитного взаимодействия, а также в формулах гидромеханики и т.д.
В природном мире можно встретить и другие математические константы. Например, число e, основание натурального логарифма. Эта константа входит в формулу нормального распределения вероятностей, которое задаётся функцией плотности вероятности:
Нормальному распределению подчиняется множество природных явлений, в том числе многие характеристики живых организмов в популяции. Например, распределение размеров организмов в популяции: длина, рост, площадь поверхности, вес, артериальное давление у людей и многое другое.
Пристальное наблюдение за окружающим миром показывает, что математика — вовсе не сухая абстрактная наука, как может показаться на первый взгляд. Совсем наоборот. Математика — это основа всего живого и неживого мира вокруг. Как верно заметил Галилео Галилей, математика — это язык, на котором с нами говорит природа.