Что такое поверхность фигуры

Что такое поверхность фигуры

Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими основными способами: а) уравнением; б) каркасом; в) определи гелем; г) очерком.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида F (х,у, z) = 0.

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем, очерком.

Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже может быть задана определителем поверхности.

Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур и связей между ними. позволяющих однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в просфанстве линией называют кинематическим.

Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность называют образующей (производящей).

Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии называются направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример образования поверхности кинематическим способом показан на рис. 96.

В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения образующей задан двумя направляющими m и n и плоскостью а. Образующая а скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости a.

Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или се основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована четырьмя способами (рис. 97):

а) как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,а).

б) как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,6).

в) как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном перемещении ее центра О вдоль оси m. при этом плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 97,в).

г) как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис.97,г).

Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф ( а,m ) [ A₁].

Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

По известному уравнению поверхности или се определителю, или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей, образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:

Поверхности нелинейчатые

Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей переменного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность образуется перемещением образующей переменного вида а по криволинейной направляющей т (рис. 98).

2. Каналовая поверхность. Эта поверхность образуется движением плоской замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 99).

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения но направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок, соединяющий два трубопровода разной формы.

Примером циклической поверхности может быть корпус духового музыкального инструмента.

Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность может быть образована движением произвольной кривой линии а по направляющей m (рис. 101).

2. Трубчатая поверхность. Образующей трубчатой поверхности является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной к направляющей (рис. 102).

Примером трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого сечения.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности образуются движением прямой (образующей) по заданному закону. В зависимости от закона движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся:

1. Поверхность косого цилиндра. Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим (рис. 103).

P e ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки, воспользуемся признаком принадлежности ее поверхности: точка принадлежит поверхности; если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную проекцию точки A’ проводим проекцию образующей а’₂, определяем ее фронтальную проекцию а₂«, на которой по линии связи найдем искомую фронтальную проекцию точки A».

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки В’ выполним следующие построения:

1. Построим ряд образующих заданной поверхности a₁,a₂,a₃,a₄ .

2. На фронтальной плоскости проекций через известную проекцию точки В» проведем проекцию вспомогательной линии b’ принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.

3. По известным фронтальным проекциям точек пересечения проекции линии b» с образующими а₁«, а₂«, а₃«, а₄« найдем горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии b’ на которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В’.

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся, например, поверхности гребных винтов судов и пропеллеров самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К линейчатым поверхностями с двумя направляющими плоскостью параллелизма относятся:

a( n ⊥ a) (рис. 108). Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы)

1. Поверхность с ребром возврата. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касательной к пространственной кривой, называемой ребром возврата.

2. Цилиндрическая поверхность. Данная поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и остающейся параллельной своему исходному состоянию (рис.110).

3. Коническая поверхность. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и ту же неподвижную точку S (рис. 111).

Источник

Лекция 7. Поверхности

7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных систем автоматизированного проектирования.

Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)— многочлен n-ой степени и трансцендентные (F(x,y,z)— трансцендентная функция.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l₁,l₂… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону (Рисунок 7.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму — изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в виде одной линии или целого семейства линий (m, n, p…).

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий конгруэнтных профилю резца.

Рисунок 7.1 — Кинематическая поверхность

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Такие поверхности носят название циклические (Рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 — Циклическая поверхность

Если группировать поверхности по закону движения образующей линии, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

Например, циклическая поверхность, каркас которой состоит из восьмиугольников (Рисунок 7.3), может быть задан следующим образом:

Рисунок 7.3 –Образование циклической поверхности

7.2. Поверхности вращения

Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).

Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.

Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.

Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения

Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π₁ сплошной зелёной линией – на плоскости проекции π₂ видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π₃.

Пусть точка А на π₂ видима (Рисунок 7.7). Тогда на π₁ она будет видима, а на π₃ невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового цилиндра не требуется дополнительных построений. На горизонтальной плоскости проекций точки пересечения (1 и 2) находятся сразу. Фронтальные проекции строим по линиям связи.

Но в общем случае, алгоритм решения рассмотрим на следующем упражнении.

Рисунок 7.8 – Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Упражнение

Заданы: прямой круговой цилиндр с осью вращения, перпендикулярной плоскости проекций π₁ и прямая а общего положения (Рисунок 7.8).

Построить точки пересечения прямой а с поверхностью цилиндра.

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

Прямая а пересекается со сторонами сечения в двух точках – 1 и 2.

Определим видимость участков прямой: очевидно, что между точками 1-2 прямая невидима, а на плоскости проекций π₂ будет ещё невидим участок прямой от точки 1 до левой крайней образующей.

7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра

Упражнение

Заданы : наклонный круговой цилиндр с осью вращения, наклонной к плоскости проекций π₁ и прямая mобщего положения (Рисунок 7.9).

Построить точки пересечения прямой mс поверхностью цилиндра.
Решение :

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

Рисунок 7.9 – Пересечение прямой с наклонным цилиндром

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с наклонным цилиндром.

7.6. Сферическая поверхность

Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.

Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.

Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).

Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.

Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.

Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности

Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек

Упражнение

Заданы: сферическая поверхность тремя проекциями (Рисунок 7.11) и фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4.

Необходимо построить горизонтальные и профильные проекции заданных точек.

7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы

Упражнение

Заданы: сфера и прямая общего положения АВ.

Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).

Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:

Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы

7.8. Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).

Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности

Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.
Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое, (σ=SM∩m).

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

7.11. Пересечение сферы плоскостью

Плоскость пересекает поверхность сферы всегда по окружности. Задачу пересечения плоскости со сферой мы рассматривали при решении задачи построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы (см. выше).

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π₂ (Рисунок 7.16).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π₂ (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

7.13. Задачи для самостоятельной работы

1. Достроить проекции сферы с заданным вырезом (Рисунок 7.20).

Рисунок 7.20
2-3. Построить три проекции конуса с призматическим отверстием (Рисунки 7.21, 7.22).

Рисунок 7.21

Рисунок 7.22
4. Построить точки «входа» и «выхода» прямой при пересечении её с поверхностью полусферы (Рисунок 7.23).

Рисунок 7.23

Источник