Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).
Свойства правильной треугольной пирамиды:
Формулы для правильной треугольной пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды:
Примеры решения задач:
Тетраэдр
Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1)Если все боковые ребра равны,то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Виды пирамид
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.
Правильная пирамида обладает следующими свойствами:
Формулы для правильной пирамиды.
Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:
Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:
где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB,SC,SD либо SE),
n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),
h — высота правильной пирамиды (OS).
Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.
Правильная треугольная пирамида.
Формулы для правильной треугольной пирамиды.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.
В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.
Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.
Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.
Объем пирамиды — коротко о главном
Определение пирамиды:
Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершинапирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.
Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Свойства правильной пирамиды:
Объем пирамиды:
Что такое пирамида
Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:
Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).
У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.
Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:
Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.
Вот, например, совсем «косая» пирамида.
И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.
Высота пирамиды
Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.
Обрати внимание, что в «кривых» пирамидахвысота может вообще оказаться вне пирамиды.
И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.
Правильная пирамида
Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Много сложный слов?
Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.
А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.
Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.
Шестиугольная правильная пирамида
В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.
Четырехугольная правильная пирамида
В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
Треугольная правильная пирамида
В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.
Очень важные свойства правильной пирамиды
В правильной пирамиде:
Объем пирамиды
Главная формула объема пирамиды
Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?
Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Объем правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).
\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).
У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)
Теперь найдем \( \displaystyle H\).
По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)
Чему же равно \( \displaystyle OC\)?
Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)
Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).
\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.
\( \displaystyle C<^<2>>=A<^<2>>-A<^<2>>\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))
Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:
Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).
Здесь \( \displaystyle <_>\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle <_>=<^<2>>\).
Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)
Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:
Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):
А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_>\) подставляем в формулу объема.
Объем правильной шестиугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).
Как найти \( \displaystyle <_>\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.
Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).
По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)
Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.
Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
А теперь попробуй ты!
Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!
Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»
А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?
Напиши нам ниже в комментариях!
А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.
Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников.
Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.
Рассмотрим основные элементы пирамиды:
Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.
На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.
Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды.
Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.
Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.
Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды.
На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.
Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:
Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:
Правильная треугольная пирамида
Хотелось бы обратить особое внимание на правильную треугольную пирамиду.
Пирамида, её свойства