Что такое правильное число в математике

Алгебра

План урока:

Натуральные числа

Ещё в далекие доисторические времена человек освоил такую математическую операцию, как счет. Можно было подсчитать количество соплеменников в племени или животных в стае, на которых велась охота. При этом человек ещё не осознавал понятие числа как некое отвлеченное понятие. Анализ языков народов, находящихся на самых низких стадиях развития, показывает, что они в словосочетаниях «три змеи», «три палки», «три камня» используют разные слова для числа 3. Однако со временем человек осознал, что количество предметов можно определять числом, которое не будет зависеть от природы подсчитываемых объектов. Числа, используемые для счета, сегодня называют натуральными числами. Долгое время человечество не знало никаких других чисел.

В качестве примера можно привести следующие натуральные числа: 1, 8, 10, 1000, 64141 и т.п. Если можно представить, что в каком-то множестве содержится N элементов, то N будет натуральным числом.

Вообще все натуральные числа являются частью так называемого натурального ряда чисел. Начинается этот ряд с единицы, а каждое следующее число больше предыдущего на 1.

Таким образом, можно дать ещё одно определение натуральных чисел – это числа, входящие в натуральный ряд. Традиционно ноль не является натуральным числом, ведь при подсчете предметов счет начинают с единицы. Такой подход используется в большинстве российских источников. Однако стоит отметить, что иногда в зарубежной литературе всё же предпочитают начинать натуральный ряд не с единицы, а с нуля. В этом случае 0 становится натуральным числом. Это деление весьма условно. Для обозначения множества натуральных чисел используется буква N. Очевидно, что натуральных чисел существует бесконечно много, а потому не существует наибольшего натурального числа.

Любые два натуральных числа можно складывать друг с другом и перемножать, при этом в результате будет снова получаться натуральное число. При вычитании может получиться ноль или отрицательное число, а при делении – дробное.

Простые и составные числа

Все натуральные числа можно разбить на три группы:

Единицу традиционно не считают ни простым, ни составным числом. Составным же называют натуральное число, делящееся не только на единицу и себя. Можно дать и другие определения, основанные на количестве делителей у числа. Так, единица имеет ровно 1 делитель. У простого числа всегда ровно 2 делителя, а у составного – 3 и более.

В качестве примера простых чисел можно привести: 2, 3, 5, 7, 31, 101, 163. Примерами составных чисел являются:

Среди делителей составного числа могут быть как другие составные, так и простые числа. Например, 50 имеет простые делители 2 и 5 и составные 10 и 25.

Заметим, что если число n делится на m, а m в свою очередь делится на k, то и n делится на k. Так, 45 делится на 9, а 9 делится на 3. Значит, и 45 делится на 3. Из этого свойства чисел вытекает следующее утверждение:

Любое составное число имеет хотя бы один простой делитель, причем им обязательно будет наименьший из всех делителей числа. Докажем это. Пусть число H – составное, и имеет наименьший делитель F. Предположим, что F – составное число. Тогда у него есть делитель L, который меньше его. Но тогда L должен быть делителем и для H. Так как L 1 1

Источник

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные

Натуральные числа

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

распределительное свойство умножения

Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:

Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.

Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:

Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.

Действительные числа

Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

Источник

Виды чисел.

У нас есть числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные, а также вещественные или действительные и еще есть другие, но в школьной программе в основном используют эти числа.

Натуральные числа ( N ) − это числа, используемые для счета предметов. Нуль не является натуральным числом.
Например: 1; 2; 3; 132; 168; 326; 548; 10050…

Целые числа ( Z ) — множество чисел, получающееся в результате арифметических операций сложения (+) и вычитания (−) натуральных чисел.
Например: …−3; −2; 1; 0; 548; 10050…

Рациональные числа ( Q ) – это положительные и отрицательные числа можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби вида:

где m−целое число (числитель), n – натуральное число (знаменатель).
Например:

Иррациональные числа ( I ) − числа, которые не представимыми в виде дроби вида

Например: √2; √5; π; e

Вещественные (действительные) числа ( R ).
Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Изобразим это множество чисел в виде рисунка:

Видно их вложенность друг в друга.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Источник

Разряды и классы чисел

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Названия классов многозначных чисел справа налево:

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Источник

Правильные числа

Младшие школьники любят сказки, их героев, с удовольствием путешествуют по страницам детских книг, переживают за своих любимцев. Марина ПАВЛЕНКО, учитель школы № 1 из п. Пролетарский Белгородской области, использовала это на уроке математики, пригласив в гости героев сказок «Гуси-лебеди», «Волк и семеро козлят» и др.

1-й класс

Тема. «Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц».

Цели. Формировать навыки составления и решения задач; развивать внимание, логическое мышление; воспитывать любовь к сказкам, доброту, сострадание, взаимопомощь.

Оборудование. Иллюстрации к сказкам «Гуси-Лебеди», «Маша и медведь», «Волк и семеро козлят», «Заюшкина избушка»; домики для состава числа; рисунок с изображением различных сказочных героев (на одном листе); индивидуальные доски (блокноты); задание на логическое мышление с геометрическими фигурами. Учительница одета в русский костюм.

I. Организационный момент

Учитель. Здравствуйте, ребята! Садитесь. Я, добрая сказочница, на урок к вам спешила, любимые сказки с собой пригласила. Ребята, а вы любите сказки?

У. Сказки мы любим за то,
Что в них побеждает добро,
Что звери лесные, болотные
Оказываются очень добрые,
Что лягушка царевною станет,
Лиса заюшку хоть и обманет,
Петушок всем на помощь придет.
Сивка-Бурка Ванюшку спасет.
Только вдруг приключилась беда,
Все перепутала Баба Яга.
В сказки зло напустила она
И сказала: «Так будет всегда».
Только мы сможем сказкам помочь,
Разогнать колдовство ее прочь.
Вы на доску скорей посмотрите!
Что же это за сказка, скажите?

II. Устный счет

На доске иллюстрация к сказке «Волк и семеро козлят».

У. Ребята, что за иллюстрация на доске?

Д. К сказке «Волк и семеро козлят».

У. Серый волк очень любит козлят,
Пересчитывать бедных ребят.
Только вечно он путает счет
И совсем ничего не поймет.
То ли 9 ему надо съесть, то ли 7.
Ох, запутался волк наш совсем.
Вы козленка спасете, ребятки,
Если считать будете по порядку.

Первый ряд, посчитайте от 10 до 15 вслух, второй – от 15 до 20, третий – от 20 до 10.

Дети выполняют задание.

– Вы, ребята, молодцы.
Козленка одного спасли.

Учитель переставляет одного козленка от волка к козе.

– Скажите быстрей без подсказки,
Какое число в названии сказки?

У. Это 7 – кочерга, у нее одна нога.

Назовите число, которое больше 7, но меньше 9.

У. Меньше 7, но больше 5.

У. Идут за числами 8, 6, 4.

У. Перед числами 5, 9, 7.

У. Молодцы! Справились и с этим заданием. Еще один козленок может бежать к маме.

Учитель переставляет второго козленка.

– Чтоб вернуть козлят в дома,
Нужно знать состав числа.

Дети заполняют числами домики. После выполнения работы три козленка бегут к маме.

– Серый волк решил проверить ваше внимание,
Приготовил для вас вот какое задание:
Я на секунду картинку вам покажу,
А потом у вас спрошу:
Каких сказочных героев вы успели запомнить?

Учитель показывает лист, на котором изображены различные сказочные герои. Дети, после того как лист убран, перечисляют их.

– Чтобы волка обхитрить,
Задачи нужно нам решить.

Ученики пишут только решение на индивидуальных досках-блокнотах.

– Вышла козочка гулять,
С козлятами поиграть.
Три бежали впереди,
Две остались позади.
Беспокоится их мать
И не может сосчитать.
Сосчитайте-ка, ребята,
Сколько было всех козлят?

Дети записывают ответ: пять.

– Коза на грядке
Капусту собирала.
Шесть сорвала,
Пока в дом донесла,
Две упало.
Коза капусту сосчитать не может,
Кто из вас, ребята, поможет?

Дети записывают решение и ответ: 6 – 2 = 4. Еще один козленок спасен.

– Серый волк очень вредной натуры
Перепутал геометрические фигуры.
Вы подумайте вначале,
А потом мне отвечайте.
Какой фигуры не хватает в строчках?

Д. Во втором ряду не хватает кружочка, а в третьем – треугольника.

Учитель переставляет последнего, седьмого, козленка к маме.

У. Вы отлично отвечали
И козлятам помогали.
Вас они благодарят,
Расслабляться не велят.

III. Тема урока. Составление и решение задач

На доске иллюстрация к сказке «Заюшкина избушка» – зайка плачет.

У. Кто может ответить на вопрос, какая еще сказка ждет помощи от нас?

Д. Сказка «Заюшкина избушка».

У. Стоял у лисы дом ледяной,
Который от солнца растаял весной.
Лисичка-сестричка хитрой была,
К зайке попросилась, его ж и выгнала.
Давайте поможем зайчишке. Вы согласны?

У. Чтобы справиться с лисой, мы должны научиться составлять и решать задачи. Откройте для этого книжки на с. 73.

Задач язык особый,
Разгадай, попробуй.
Из каких частей состоит задача?

У. Что такое условие задачи? Вопрос?

Д. Условие – это то, что известно, вопрос – то, что требуется узнать.

У. С какого слова начинается вопрос задачи?

У. Посмотрите на иллюстрацию в книге. Что нарисовано?

– Давайте составим задачу. «Было 6 конвертов. Стало на 2 меньше. Сколько стало конвертов?» Повторите условие, вопрос.

Д. Условие: было 6 конвертов, стало на 2 меньше.

– Вопрос: сколько стало конвертов?

У. Подумайте, как решить задачу. Каким действием узнаем, сколько же стало?

Дети на индивидуальных досках записывают решение: 6 – 2 = 4.

– Что значит число 6 в записи решения?

Д. Сколько конвертов было.

Д. На сколько стало меньше.

Д. Сколько стало конвертов.

У. Ответим на вопрос задачи.

Д. Стало 4 конверта.

Аналогично разбирается и вторая задача.

У. Послушайте, что я составила. «Алена любила собирать открытки. У нее было много разных открыток. Но больше всех ей нравились новогодние открытки, их было 6». Это задача?

Д. Не хватает данных в условии, нет вопроса.

У. Ах, хитрющая лиса,
Не коси на нас глаза.
Мы задачи все решили,
Домик для заюшки освободили.
Учитель убирает лису с рисунка.

IV. Физкультминутка

Нас ждет другая сказка впереди,
Но чтобы справиться с заданьем,
Отдохнуть мы все должны.
Девочки и мальчики,
Представьте, что вы зайчики.
Раз, два, три, четыре, пять, –
Начал заинька скакать.
Лапки вверх и лапки вниз,
На носочках подтянись,
Влево-вправо повернись,
Наклонись и поднимись.
Зайке холодно сидеть,
Надо лапочки погреть.
Зайке холодно стоять,
Надо зайке поскакать.
Кто-то зайку испугал,
Зайка прыг – и ускакал.

V. Решение примеров

На доске иллюстрация к сказке «Маша и медведь».

У. Ответьте мне, ребята, сами:
Что за сказка перед вами?

Д. Сказка «Маша и медведь».

У. Машенька в лес за грибами пошла,
От подружек отстала, заблудилась она.
Михайло Потапыч бедняжку нашел,
Пожалел, приютил, пустил ее в дом.
Маша печку топила, пекла пироги,
Но очень скучала от дома вдали.
По дедушке-бабушке тосковала,
Сбежать от медведя втайне мечтала.
Вы, ребята, помогите,
Тропку Маше укажите,
И примеры все решите.

5 + 3 =
7 + 3 =
5 – 3 =
4 + 3 – 1 =
7 – 2 =
6 – 3 =
8 + 1 =
6 – 3 – 2 =

Дети записывают ответы на индивидуальных карточках.

– А тропинка ведет от большего числа к меньшему. Назовите-ка ответы в порядке убывания.

Д. 10, 9, 8, 6, 5, 3, 2, 1.

У. Вы, ребята, молодцы,
Машу к дому привели.

VI. Самостоятельная работа в тетради

У. Но помощи ждет еще сказка одна,
В которой всем навредила Баба Яга.
Что это за сказка?
На доске иллюстрация к сказке «Гуси-лебеди».

Д. Сказка «Гуси-лебеди».

У. – Гуси-гуси?!
– Га-га-га!
– А летите вы куда?
Вы Иванушку украли,
Злой Бабе Яге отдали?!
Чтоб Аленушке помочь
Братца милого найти,
Вам в тетрадках ваших нужно
Все в порядок привести.

Дети выполняют упражнение с с. 6.

– Цифру 5 вы уже умеете писать.
Я же буду проверять.

Дети пишут цифру 5 внизу на свободных клеточках.

– А теперь решим примеры,
Они очень трудные на самом деле.

4 + 2 – 1
8 – 3 + 4
9 – 2 + 1
6 – 3 + 2
3 + 3 – 1
4 + 3 – 2
7 – 3 + 1
8 – 2 + 3
5 + 3 – 2

После выполнения задания следует проверка.

– Повторим последний раз
Мы решение задач.

Дети составляют задачу по рисунку в тетради и решают ее.

Д. У белочки было 7 яблок, 2 она отдала зайчонку. Сколько яблок осталось у белочки?

У. Вы отлично написали,
Аленушке помогали:
Гусей-лебедей прогнали долой.
Аленушку с братцем вернули домой.

Учитель убирает гусей с иллюстрации.

VII. Итог урока

У. Скоро мы услышим звонок,
Пора заканчивать нам урок.

Оцените свою работу: кому на уроке все понравилось, кто не испытывал затруднений, хорошо отвечал? А кто испытывал трудности, чувствовал себя неуверенно?

Дети показывают карточки с изображением улыбающегося человека или грустного.

– За отличную работу сказки всех благодарят
И в подарок всему классу книжку подарить велят.
Вы эту книжку читайте,
О добре, уме, дружбе, смекалке, честности
Никогда не забывайте.

Источник