Правильный многогранник
Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Содержание
Определение
Многогранник называется правильным, если:
Список правильных многогранников
Существует всего пять правильных многогранников:
| Изображение | Правильный многогранник | Число сторон у грани | Число рёбер, примыкающих к вершине | Число вершин | Число рёбер | Число граней | Тип пространственной симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 | Тетраэдр | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | Th |
 | Октаэдр | 3 | 4 | 6 | 12 | 8 | Oh |
 | Икосаэдр | 3 | 5 | 12 | 30 | 20 | Ih |
 | Гексаэдр или куб | 4 | 3 | 8 | 12 | 6 | Oh |
 | Додекаэдр | 5 | 3 | 20 | 30 | 12 | Ih |
Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова «грань».
Комбинаторные свойства
Геометрические свойства
С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника
Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:
где 
принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.
Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект 
при любой вершине правильного многогранника:
По теореме Декарта, он равен 
делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен ).
Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:
Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ( стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.
Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа 
– золотое сечение.
| Многогранник | Двугранный угол θ |  | Плоский угол между рёбрами при вершине | Угловой дефект (δ) | Телесный угол при вершине (Ω) | Телесный угол, стягиваемый гранью | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | 70.53° |  | 60° | π |  |  | π |
| куб | 90° | 1 | 90° |  |  |  |  |
| октаэдр | 109.47° | √2 | 60°, 90° |  |  |  | |
| додекаэдр | 116.57° |  | 108° |  |  |  |  |
| икосаэдр | 138.19° |  | 60°, 108° | |  |  | |
Радиусы, площади и объёмы
С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
Радиусы описанной (
) и вписанной (
) сфер задаются формулами:
Площадь поверхности S правильного многогранника
Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:
Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.
| Многогранник (a = 2) | Радиус вписанной сферы (r) | Радиус срединной сферы (ρ) | Радиус описанной сферы (R) | Площадь поверхности (S) | Объём (V) |
|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр |  | |  |  |  |
| куб |  |  |  |  |  |
| октаэдр |  | | |  |  |
| додекаэдр |  |  |  |  |  |
| икосаэдр |  |  |  |  |  |
Константы φ и ξ задаются выражениями
Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.
История
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).
Правильный многогранник
Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Правильный гексаэдр (куб)
Содержание
Определение
Многогранник называется правильным, если:
Список правильных многогранников
Существует всего пять правильных многогранников:
| Изображение | Правильный многогранник | Число сторон у грани | Число рёбер, примыкающих к вершине | Число вершин | Число рёбер | Число граней | Тип пространственной симметрии |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 | Тетраэдр | 3 | 3 | 4 | 6 | 4 | Th |
 | Октаэдр | 3 | 4 | 6 | 12 | 8 | Oh |
 | Икосаэдр | 3 | 5 | 12 | 30 | 20 | Ih |
 | Гексаэдр или куб | 4 | 3 | 8 | 12 | 6 | Oh |
| | Додекаэдр | 5 | 3 | 20 | 30 | 12 | Ih |
Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова «грань».
Комбинаторные свойства
Геометрические свойства
Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс :
где принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.
Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект при любой вершине правильного многогранника:
По теореме Декарта, он равен делённым на число вершин (т.е. суммарный дефект при всех вершинах равен ).
Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:
Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы ( стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.
Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа – золотое сечение.
| Многогранник | Двугранный угол θ | | Плоский угол между рёбрами при вершине | Угловой дефект (δ) | Телесный угол при вершине (Ω) | Телесный угол, стягиваемый гранью | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | 70.53° | | 60° | | | | |
| куб | 90° | 1 | 90° | | | | |
| октаэдр | 109.47° | √2 | 60°, 90° | | | | |
| додекаэдр | 116.57° | | 108° | | | | |
| икосаэдр | 138.19° | | 60°, 108° | | | | |
Радиусы, площади и объёмы
С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
Радиусы описанной () и вписанной () сфер задаются формулами:
Площадь поверхности S правильного многогранника
Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:
Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.
| Многогранник (a = 2) | Радиус вписанной сферы (r) | Радиус срединной сферы (ρ) | Радиус описанной сферы (R) | Площадь поверхности (S) | Объём (V) |
|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | | | | | |
| куб | | | | | |
| октаэдр | | | | | |
| додекаэдр | | | | | |
| икосаэдр | | | | | |
Константы φ и ξ задаются выражениями
Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.
История
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).
