Что такое правильный тетраэдр

28.10.202323.04.2022 admin 0 Comments

Тетраэдр

Тетраэдр имеет следующие характеристики:

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Является ли тетраэдр пирамидой? Да, тетраэдр это треугольная пирамида у которой все стороны равны.

Может ли пирамида быть тетраэдром? Только если это пирамида с треугольным основанием и каждая из её сторон равносторонний треугольник.

Отметим, что очень редко, но встречаются геометрические тела, составленные не из правильных треугольников, и их тоже называют тетраэдры, так как они имеют четыре грани.

Математические характеристики тетраэдра

Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.

Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности тетраэдра

Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:

Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:

Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:

Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:

Вариант развертки

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с «земным» элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Видео. Тетраэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель тетраэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение всех правильных многогранников

Тетраэдр.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Типы тетраэдров.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Источник

Исследовательская работа в 10-м классе при изучении темы «Свойства правильного тетраэдра»

Разделы: Математика

План подготовки и проведения занятия:

Свойства 1-4 доказываются устно с использованием Слайда1.

Свойство 1: Все ребра равны.

Свойство 2: Все плоские углы равны 60°.

Свойство 3: Суммы плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 180°.

Свойство 4: Если тетраэдр правильный, то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани.

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр

H –ортоцентр

Доказательство:

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Рассмотрим ABH, BCH, ADH

AD – общая => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD т. H – является ортоцентром ABC

Каждая группа получает своё домашнее задание:

Доказать одно из свойств.

Подготовить обоснование с презентацией.

III. Заключительный этап (1-2 урока):

Представление и защита гипотезы с использование презентаций.

При подготовке материала к заключительному уроку учащиеся приходят к выводу об особенности точки пересечения высот, мы договариваемся называть её “удивительной” точкой.

Свойство 5: Центры описанной и вписанной сфер совпадают.

Дано:

DABC –правильный тетраэдр

О₁— центр описанной сферы

N – точка касания вписанной сферы с гранью АВС

Доказательство:

Пусть OA = OB =OD = OC – радиусы описанной окружности

Из п. 1 CON COM => ON =OM

ОN + (ABC) => ON,OM – радиусы вписанной окружности.

Для правильного тетраэдра существует возможность его взаимного расположения со сферой – касание с некоторой сферой всеми своими ребрами. Такую сферу иногда называют “полувписанной”.

Свойство 6: Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы.

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр;

OLAB, OKAC,

OSAD, ONCD,

OMBD, OPBC,

BP=CP, BM = DM, CN = DN.

Доказать:

LO = OK = OS = OM = ON =OP

Доказательство.

Тетраэдр ABCD – правильный => AO= BO = CO =DO

Рассмотрим треугольники AOB, AOC, COD, BOD,BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – равнобедренный =>
OL – медиана, высота, биссектриса
AO=CO=>?AOC– равнобедренный =>
ОK– медиана, высота, биссектриса
CO=DO=>?COD– равнобедренный =>
ON– медиана, высота, биссектриса AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– равнобедренный => BOD= BOC= AOD
OM– медиана, высота, биссектриса
AO=DO=>?AOD– равнобедренный =>
OS– медиана, высота, биссектриса
BO=CO=>?BOC– равнобедренный =>
OP– медиана, высота, биссектриса
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

равнобедренных треугольниках сферы

Следствие:

В правильном тетраэдре можно провести полувписанную сферу.

Свойство 7: если тетраэдр правильный, то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Дано:

DABC – правильный тетраэдр;

AB CD,

AD BC,

AC BD.

Доказательство:

DABC – правильный тетраэдр =>?ADB – равносторонний

ED – высота ADB => ED +AB,

CE (EDC)

Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер.

Свойство 8: Шесть плоскостей симметрии пересекаются в одной точке. В точке О пересекаются четыре прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и точка О является центром описанной сферы.

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр

Доказать:

О – центр описанной сферы;

6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О;

Доказательство.

BG = GD, т.к. AG – медиана ABD

GO (BOD)

ABD (ABD) =>?AOB – равнобедренный =>BO=AO

OE (AOB)

ON + (ABC) OF + AC ( по теореме о трёх

OF (AOC)

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – радиусы сферы,

AO = CO описанной около тетраэдра ABCD

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

BD + (BDF)

Точка О является центром описанной сферы,

6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О.

Свойство 9: Тупой угол между перпендикулярами, проходящими через вершины тетраэдра к ортоцентрам, равен 109°28′

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр;

O – центр описанной сферы;

Доказать:

Доказательство:

ASB = 90 o OSB прямоугольный

2)(по свойству правильного тетраэдра)

3)AO=BO – радиусы описанной сферы

4) 70°32′

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

(по свойству правильного тетраэдра)

=>AOD=AOC=AOD=COD=BOD=BOC=109°28′

Это и требовалось доказать.

Интересен тот факт, что именно такой угол имеют некоторые органические вещества: силикаты и углеводороды.

В результате работы над свойствами правильного тетраэдра учащимся пришла мысль назвать работу “Удивительная точка в тетраэдре”. Были предложения рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров. Таким образом, работа вышла за рамки урока.

Выводы:

( Учитель и учащиеся подводят итоги занятия. С кратким сообщением о тетраэдрах, как структурной единице химических элементов, выступает один из учащихся.)

Изучены свойства правильного тетраэдра и его “удивительная” точка.

Выяснено, что форму только такого тетраэдра, имеющего все выше перечисленные свойства, а также “идеальную” точку, могут иметь молекулы силикатов и углеводородов. Или же молекулы могут состоять из нескольких правильных тетраэдров. В настоящее время тетраэдр известен не только как представитель древних цивилизации, математики, но и как основа строения веществ.

Силикаты – солеобразные вещества, содержащие соединения кремния с кислородом. Их название происходит от латинского слова “силекс” – “кремень”. Основу молекул силикатов составляет атомные радикалы , имеющие форму тетраэдров.

Силикаты – это и песок, и глина, и кирпич, и стекло, и цемент, и эмаль, и тальк, и асбест, и изумруд, и топаз.

Силикаты слагают более 75 % земной коры (а вместе с кварцем около 87%) и более 95% изверженных горных пород.

Важной особенностью силикатов является способность к взаимному сочетанию (полимеризации) двух или нескольких кремнекислородных тетраэдров через общий атом кислорода.

Такую же форму молекул имеют предельные углеводороды, но состоят они, в отличии от силикатов, из углерода и водорода. Общая формула молекул

К углеводородам можно отнести природный газ.

Предстоит рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров.

Источник

Тетраэдр. Тетраэдр вокруг нас

В данной работе рассмотрено понятие тетраэдра и его применение в жизни

Просмотр содержимого документа
«Тетраэдр. Тетраэдр вокруг нас»

Тетраэдры в живой природе

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в строительстве

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.

Тетраэдры в микромире

Тетраэдры в производстве

Форму тетраэдра нельзя назвать удобной, но и у нее есть применение, например, при изготовлении пакетов для молока. Оказалось, что на конвейере удобно склеивать подобные тетраэдры, отрезая заготовки для них от картонного “шланга”.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Правильный тетраэдр

В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), и все ребра имеют одинаковую длину.

Координаты правильного тетраэдра

Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:

Тетраэдр: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1) Двойственный тетраэдр: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)

Углы и расстояния

Для правильного тетраэдра с длиной ребра а :

Изометрии правильного тетраэдра

Ортогональные проекции правильного тетраэдра

Ортографическая проекция

В центре	Лицо / вершина	Край
Изображение
Проективная симметрия	[3]	[4]

Поперечное сечение правильного тетраэдра

Это свойство также применяется к тетрагональным дифеноидам при применении к двум специальным парам ребер.

Сферическая черепица

Спиральная укладка

Другие особые случаи

Что такое правильный тетраэдр. Смотреть фото Что такое правильный тетраэдр. Смотреть картинку Что такое правильный тетраэдр. Картинка про Что такое правильный тетраэдр. Фото Что такое правильный тетраэдр

Отношения подгруппы тетраэдрической симметрии

Тетраэдрические симметрии показаны на тетраэдрических диаграммах

Изометрии неправильных тетраэдров

Общие свойства

Объем

Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:

Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:

Если мы не требуем, чтобы d = 0, то

Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью определителя Кэли-Менгера :

В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Делитель объема

Неевклидово произведение

Расстояние между краями

Свойства, аналогичные свойствам треугольника

Тетраэдр обладает многими свойствами, аналогичными свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и внешние сферы. У него есть соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентриситет, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако обычно нет ортоцентра в смысле пересечения высот.

Ортогональная линия, проведенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентром этой грани и основанием высоты, опущенной из противоположной вершины.

Радиус двенадцатигранной сферы составляет одну треть описанного радиуса контрольного тетраэдра.

Существует соотношение между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определяемое выражением

Геометрические отношения

Включение тетраэдров внутрь правильного соединения пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.

Обычные тетраэдры не могут замощить пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра могут быть объединены с октаэдром, давая ромбоэдр, который может замостить пространство.

Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры были одинаковой формы, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)

Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.

Закон синусов для тетраэдров и пространство всех форм тетраэдров

Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Если поставить любую из четырех вершин в роли O, мы получим четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми: если стороны трех из них умножаются по часовой стрелке, и получается, что произведение равно произведению «против часовой стрелки» стороны одних и тех же трех тождеств, а затем общие множители отменяются с обеих сторон, в результате получается четвертая идентичность.

Закон косинусов для тетраэдров

Закон косинусов для этого тетраэдра, который относится к области граней тетраэдра к двугранным углам вокруг вершины, определяются следующим соотношением:

Внутренняя точка

Inradius

Обозначая внутренний радиус тетраэдра как r, а внутренние радиусы его треугольных граней как r _i для i = 1, 2, 3, 4, имеем

с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.

Circumradius

Кругоцентр

В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, у тупого тетраэдра центр описанной окружности находится вне объекта.

Центроид

Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани.

Целочисленные тетраэдры

Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48.

Родственные многогранники и соединения

Имя тетраэдра				Край Эквивалентность диаграмма	Описание
Симметрия
Schön.	Кокс.	Сфера.	Ord.
Правильный тетраэдр
Название антипризмы	Дигональная антипризма	(Тригональная) Треугольная антипризма	(Тетрагональная) Квадратная антипризма		Пятиугольная антипризма	Шестиугольная антипризма	Семиугольная антипризма	Восьмиугольная антипризма	Эннеагональная антипризма	Десятиугольная антипризма	Хендекагональная антипризма	Додекагональная антипризма	.	Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника												.
Сферическое мозаичное изображение								Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	.	∞.3.3.3

* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: <3, n >
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Paraco.	Некомпактный гиперболический

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i