Что такое предельная погрешность

что называется предельной, абсолютной и относительной погрешностью

1.4. Погрешности приближенных вычислений
Тема 1. Введение. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычислений

1.4. Погрешности приближенных вычислений
Понятие о погрешности приближения

Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.

При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.

При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – «дельта». А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.

В примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять Δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.

Погрешность действий над приближенными числами

Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.

Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.

Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.

Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.

Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.

Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.

Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!

Источник

Предельная погрешность измерения и ее составляющие

Когда решается вопрос выбора конкретных универсальных измерительных средств и оценивается ожидаемая погрешность измерения, необходимо руководствоваться двумя принципиальными положениями:

1. Измерительными средствами одного вида можно выполнять измерения с различной погрешностью в зависимости от методов и условий проведения измерений.

2. Для решения вопроса выбора конкретных видов измерительных средств и условий проведения измерений необходимо оценить возможные предельные погрешности измерения.

В общем можно сказать, что на погрешность измерения оказывает влияние погрешность средств измерения и те условия, в которых производятся измерения.

Ряд слагаемых погрешностей:

— погрешности, зависящие от средств измерения;

— погрешности, зависящие от установочных мер;

— погрешности, зависящие от измерительного усилия;

— погрешности, происходящие от температурных деформаций;

— погрешности, зависящие от отклонения геометрической формы установочных мер и измеряемых деталей.

1. Погрешности, зависящие от средств измерения.

Нормируемую допустимую погрешность измерительного средства следует рассматривать как погрешность измерения при одном из возможных вариантов использования этого измерительного средства.

2. Погрешности, зависящие от установочных мер.

Погрешность измерения будет меньше, если установочная мера будет максимально подобна измеряемой детали по конструкции, массе, материалу. Погрешности от концевых мер длины возникают из-за погрешности их изготовления, включая измерение (классы), или погрешности аттестации (разряды), а также из-за погрешности от притирки.

3. Погрешности, зависящие от измерительного усилия.

При оценке влияния измерительного усилия на погрешность измерения необходимо выделять упругие деформации установочного узла и деформации в зоне контакта измерительного наконечника с деталью.

4. Погрешности, происходящие от температурных деформаций.

Для оценки влияния температурных деформаций на погрешность измерения необходимо выделять упругие деформации установочного узла и деформации в зоне контакта измерительного наконечника с деталью.

Температурный режим есть условная, выраженная в градусах Цельсия разность температур объекта измерения и измерительного средства, которая при определенных идеальных условиях вызовет ту же температурную погрешность, что и весь комплекс реально существующих причин.

В соответствии с данными определения погрешность, зависящую от температурных деформаций, при известном температурном режиме определяют по формуле:

где — погрешность, зависящая от температурных деформаций;

l – измеряемый размер;

Q – температурный режим.

Если известна составляющая погрешности измерения, зависящая от температурных деформаций, то температурный режим в градусах можно определить по формуле:

Существуют два основных источника, обуславливающих погрешность от температурных деформаций:

— отклонение температуры воздуха от 20º С;

— кратковременные колебания температуры воздуха в процессе измерения.

Максимальное влияние отклонений температуры.

На погрешность измерения можно рассчитать по формуле:

где — отклонение температуры от 20º С;

– максимально возможная разность значений коэффициентов линейного расширения материала прибора и детали.

5. Погрешности субъективные.

Из перечисленных погрешностей представляется возможным учесть только субъективную погрешность отсчитывания.

Общие положения сводятся к тому, что во всех случаях, когда обеспечиваются погрешности измерения, не превышающие цены деления, необходимо принимать меры для уменьшения погрешностей отсчитывания от параллакса, т.е. более тщательно снимать отсчет и по возможности под одним углом к указателю.

Погрешность присутствия проявляется в виде влияния теплоизлучения оператора на температуру окружающей среды, а тем самым и на измерительное средство.

Погрешность действия – погрешности, вносимые оператором при настройке прибора, подготовке объекта измерения или установочных мер; погрешности от притирки концевых мер длины; при перемещении прибора относительно детали или детали относительно элементов прибора (при измерении внутренних размеров).

Профессиональные погрешности связаны с квалификацией оператора, с отношением его к процессу измерения. Профессия создает оператора определенный навык, ответственность за производимые измерения. Характер и точность выполняемых работ определяют тот объем информации, который оператор воспринимает от измерительных средств.

6. Определение предельной погрешности измерения.

Определяют числовое значение погрешности измерения от всех составляющих.

2.Влияние погрешности измерения на результаты разбраковки.

При приемочном контроле погрешность измерения «взаимодействует» с истинными размерами и оказывает качественное влияние на окончательные результаты измерения только тех деталей, у которых размеры находятся близко к границам поля допуска, т.е. оценивает брак или годен.

Таким образом, при приемочном контроле оказывает влияние на результаты не только погрешность измерения, но и фактический размер, который имела в этот момент контролируемая деталь.

Сочетание погрешности измерения и истинного размера контролируемой детали является событием случайным и определить результаты неправильной разбраковки при определенном сочетании можно только вероятностным путем.

Для общих расчетов удобнее выражать погрешность измерения как часть от контролируемого допуска, т.к. принимать относительную величину:

где — относительная погрешность измерения (коэффициент точности измерения);

– среднее квадратическое отклонение погрешности измерения;

Т – допуск контролируемого параметра.

Влияние точности изготовления контролируемых объектов на результаты разбраковки удобнее выразить через относительную величину, связанных как с допуском контролируемых объектов, так и с характеристикой распределения погрешности изготовления, т.е.

На рисунке показана взаимосвязь распределения отклонений размеров изготовленных деталей, нормируемого допуска и погрешности измерения.

Если бы применяемый метод измерения совершения не обладал погрешностью, то на кривой распределения контролируемых деталей на границах поля допуска все действительно бракованные детали оказались бы забракованными, а все детали с размерами не выходящими за границу поля допуска, были бы признаны годными.

Распределение измеренных деталей графически можно изобразить в виде усеченной кривой распределения (заштрихованная площадь).

На рисунке показан характер искажения кривой распределения отклонений размеров деталей, измеренных с определенной погрешностью.

Для оценки влияния погрешности измерения на результаты разбраковки установлена связь между:

— погрешности измерения

— вероятностью неправильного принятия бракованных деталей m

— вероятностью забракования годных деталей n

— вероятностной величиной выхода размера за границу поля допуска c у неправильно принятых деталей

Значения m, n и c называются параметрами разбраковки.

Для того чтобы деталь, имеющая отклонения размера, выходящие за границу поля допуска, была признана по результатам измерения годной, необходимо, чтобы в тот момент, когда контролируется деталь с отклонениями, выходящими за границу поля допуска на величину х, погрешность измерения проявилась с обратным знаком и величиной большей, чем это отклонение.

Разработаны графики по определению параметров разбраковки при распределении контролируемых размеров по нормальному закону.

Анализ полученных данных о параметрах разбраковки дает возможность установить ряд особенностей, имеющих практическое и теоретическое значение.

1. При уменьшении относительной точности изготовления возрастет число неправильно принятых и неправильно забракованных деталей.

2. Для распределения погрешностей изготовления размеров по нормальному закону и закону существенно-положительных величин графики параметров m и n имеют экстремальное значение.

3. На параметры разбраковки оказывают влияние точность технологического процесса изготовления в большей мере, чем погрешность измерения.

4. Соотношение между числом неправильно принятых и неправильно забракованных деталей не значительно меняется с изменением погрешности измерения. Более существенное влияние оказывает точность изготовления. Чем точнее технологический процесс, тем меньше неправильно принятых деталей по сравнению с неправильно забракованными.

5. При симметричных законах распределения погрешности измерения значения параметров разбраковки практически одинаковы для разных законов при равенстве .

6. Систематические погрешности измерения во многих случаях оказывают на параметры разбраковки большее влияние, чем случайные.

3. Допускаемая погрешность измерения.

Существуют нормативные документы по нормированию погрешности, допускаемой при измерении линейных размеров от 1 до 500 мм.

В этих документах устанавливаются:

1 – значения пределов допускаемых погрешностей измерения;

2 – приемочные границы с учетом нормируемых пределов допускаемых погрешностей измерения.

Значения пределов допускаемых погрешностей измерения

Приняты равными от 20% (для грубых допусков)

Нормируемая погрешность измерения относится к предельной погрешности, т.е. с учетом влияния всех составляющих погрешности измерения.

Допускаемая погрешность относится к случайным и неучтенным систематическим погрешностям измерения. Случайная погрешность принимается равной 2 .

Приведенные в нормативных документах допускаемые погрешности измерения являются наибольшими значениями, которые можно допустить при измерении. Меньше этих величин погрешности могут быть сколько угодно малыми, даже практически нулевыми, если это не вызывает дополнительных затрат по сравнению с измерением с допускаемой погрешностью.

Приемочные границы с учетом нормируемых пределов допускаемых погрешностей измерения

Приемочными границами называются значения размеров, по которым производится приемка изделий.

Они должны устанавливаться с учетом возможного влияния предельной допускаемой погрешности измерения.

Допуск на размер следует рассматривать как допуск на сумму погрешностей технологического процесса, которые не дают возможности получить абсолютно точное значение размера, в том числе из-за погрешности измерения.

Для учета влияния погрешности измерения возможны 2 варианта.

При первом варианте приемочные границы устанавливают совпадающими с нормируемыми предельными значениями проверяемого изделия, т.е. возможное влияние погрешности измерения учитывается конструктором при выборе квалитета и вида посадок. Этот вариант можно считать основным, так как он принят в отечественной и зарубежной практике (без производственного допуска).

При втором варианте приемочные границы устанавливают с введением так называемого производственного допуска, т.е. нормируемые предельные значения размера смещают внутрь допуска с учетом возможного влияния погрешности измерения.

Смещение не должно превышать половины нормируемой допускаемой погрешности измерения. Этот вариант менее предпочтителен.

Рекомендуется при введении производственного допуска смещать приемочные границы на значение возможного выхода размера за границу поля допусков в зависимости от точности технологического процесса и погрешности измерения. Значения этих величин (вероятностный производственный допуск).

При нормировании допускаемой погрешности измерения устанавливаются требования к так называемой арбитражной препроверке, которая должна осуществляться с погрешностью измерения, не превышающей 30% предельной погрешности измерения, допускаемой при приемке.

При этом разрешается обнаружение среди годных определенного числа деталей, размеры которых выходят за границы поля допуска, но не более чем на половину значения допускаемых погрешностей измерения.

Методика выбора измерительных средств

В выборе измерительных средств должны участвовать: конструкторская, технологическая, метрологическая службы в пределах выполняемых ими служебных обязанностей.

Источник

Погрешность измерений

Неотъемлемой частью любого измерения является погрешность измерений. С развитием приборостроения и методик измерений человечество стремиться снизить влияние данного явления на конечный результат измерений. Предлагаю более детально разобраться в вопросе, что же это такое погрешность измерений.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму погрешностей, каждая из которых имеет свою причину.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяются на абсолютные и относительные

Абсолютная погрешность – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. Она определяется выражением.

(1.2), где X — результат измерения; Х₀ — истинное значение этой величины.

Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике пользуются лишь приближенной оценкой абсолютной погрешности измерения, определяемой выражением

(1.3), где Х_д — действительное значение этой измеряемой величины, которое с погрешностью ее определения принимают за истинное значение.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:

(1.4)

По закономерности появления погрешности измерения подразделяются на систематические, прогрессирующие, и случайные .

Систематическая погрешность – это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессирующая погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.

Систематические и прогрессирующие погрешности средств измерений вызываются:

Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяющейся при многократных измерениях одной и той же величины. Особенность систематической погрешности состоит в том, что она может быть полностью устранена введением поправок. Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы только в данный момент времени. Они требуют непрерывной коррекции.

Случайная погрешность – это погрешность измерения изменяется случайным образом. При повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях. В отличии от систематических погрешностей случайные нельзя устранить из результатов измерений.

По происхождению различают инструментальные и методические погрешности средств измерений.

Инструментальные погрешности — это погрешности, вызываемые особенностями свойств средств измерений. Они возникают вследствие недостаточно высокого качества элементов средств измерений. К данным погрешностям можно отнести изготовление и сборку элементов средств измерений; погрешности из-за трения в механизме прибора, недостаточной жесткости его элементов и деталей и др. Подчеркнем, что инструментальная погрешность индивидуальна для каждого средства измерений.

Методическая погрешность — это погрешность средства измерения, возникающая из-за несовершенства метода измерения, неточности соотношения, используемого для оценки измеряемой величины.

Погрешности средств измерений.

Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным ее значением и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины:

(1.5), где X_н – номинальное значение меры; Х_д – действительное значение меры

Абсолютная погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины:

(1.6), где X_п – показания прибора; Х_д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность меры или измерительного прибора – это отношение абсолютной погрешности меры или измерительного прибора к истинному

(действительному) значению воспроизводимой или измеряемой величины. Относительная погрешность меры или измерительного прибора может быть выражена в ( % ).

(1.7)

Приведенная погрешность измерительного прибора – отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующие значение XN – это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы. Приведенная погрешность обычно выражается в ( % ).

(1.8)

Основная – это погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях, которые обычно определены в нормативно-технических документах на данное средство измерений.

Дополнительная – это изменение погрешности средства измерений вследствии отклонения влияющих величин от нормальных значений.

Статическая – это погрешность средства измерений, используемого для измерения постоянной величины. Если измеряемая величина является функцией времени, то вследствие инерционности средств измерений возникает составляющая общей погрешности, называется динамической погрешностью средств измерений.

Также существуют систематические и случайные погрешности средств измерений они аналогичны с такими же погрешностями измерений.

Факторы влияющие на погрешность измерений.

Погрешности возникают по разным причинам: это могут быть ошибки экспериментатора или ошибки из-за применения прибора не по назначению и т.д. Существует ряд понятий которые определяют факторы влияющие на погрешность измерений

Вариация показаний прибора – это наибольшая разность показаний полученных при прямом и обратном ходе при одном и том же действительном значении измеряемой величины и неизменных внешних условиях.

Класс точности прибора – это обобщенная характеристика средств измерений (прибора), определяемая пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность, значение которой устанавливаются на отдельные виды средств измерений.

Классы точности прибора устанавливают при выпуске, градуируя его по образцовому прибору в нормальных условиях.

Прецизионность — показывает, как точно или отчетливо можно произвести отсчет. Она определяется, тем насколько близки друг к другу результаты двух идентичных измерений.

Разрешение прибора — это наименьшее изменение измеряемого значения, на которое прибор будет реагировать.

Диапазон прибора — определяется минимальным и максимальным значением входного сигнала, для которого он предназначен.

Полоса пропускания прибора — это разность между минимальной и максимальной частотой, для которых он предназначен.

Чувствительность прибора — определяется, как отношение выходного сигнала или показания прибора к входному сигналу или измеряемой величине.

Шумы — любой сигнал не несущий полезной информации.

Источник