Математический анализ
Записки лекций
Илья Щуров (НИУ ВШЭ)
9 Подпоследовательности, предельные точки и теорема Больцано — Вейерштрасса
9.1 Подпоследовательности и предельные точки
9.1.1 Подпоследовательности
Доказательство первых двух пунктов этого утверждения простое и я советую его провести самостоятельно. Третий пункт вынесен в качестве задачи на семинары. Обратное неверно: если подпоследовательность обладает каким-нибудь из этих свойств (скажем, ограничена), это ничего не говорит про аналогичное свойство исходной последовательности (приведите примеры).
Неверный ответ. Попробуйте доказать 🙂
9.1.2 Предельные точки
При решении некоторых задач удобным оказывается другое определение предельной точки.
Сравните это определение с определением предела — в чём ключевое различие?
Есть ли последовательности, не имеющие предельных точек? Тут легко привести пример — скажем, последовательность a n = n обладает таким свойством: она посещает каждое натуральное число ровно один раз, а потом уходит от него на расстояние как минимум 1.
Заметим, что последовательсноть a n = n неограничена. Бывают ли ограниченные последовательности без предельных точек? Прежде, чем читать дальше, попробуйте придумать такую.
9.2 Теорема Больцано — Вейерштрасса
Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательная лемма, которая представляет и самостоятельный интерес — она пригодится нам ещё несколько раз.
9.2.1 Лемма о вложенных отрезках
Потребуем также, чтобы длины отрезков стремились к нулю:
Неверный ответ. Какие же это?
9.2.2 Деление отрезка пополам
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА
Лит.:[1] Александров II. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Xаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937.
Смотреть что такое «ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА» в других словарях:
предельная точка — точка накопления Словарь русских синонимов … Словарь синонимов
Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия
предельная точка — ribinis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limit point; limiting point vok. Grenzpunkt, m rus. граничная точка, f; предельная точка, f pranc. point limite, m … Fizikos terminų žodynas
Предельная точка — множества А, такая точка ξ пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от ξ точки множества А, т. е. в любой окрестности (См. Окрестность) которой содержится бесконечное множество точек из А. Характеристическим свойством … Большая советская энциклопедия
предельная точка — Syn: точка накопления … Тезаурус русской деловой лексики
предельная точка профиля зуба — предельная точка профиля Точка пересечения теоретического профиля зуба с предельной линией его теоретической поверхности. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы… … Справочник технического переводчика
предельная точка действующей линии теоретической поверхности зуба — предельная точка действующей линии Каждая из точек, ограничивающих действующую линию теоретической поверхности зуба. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины объемные элементы и поверхности зубапонятия, относящиеся к… … Справочник технического переводчика
предельная точка линии зацепления — Каждая из точек, ограничивающих линию зацепления зубчатой передачи и соответствующих предельным точкам действующей линии теоретической поверхности зуба, которая при линейном контакте является точкой пересечения линии зацепления с предельной… … Справочник технического переводчика
Точка (матем.) — Точка (математическая), одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии Т. обычно принимается за одно из исходных понятий. В современной математике Т. называются элементы весьма различной природы, из которых состоят… … Большая советская энциклопедия
Предельная точка
Смотреть что такое «Предельная точка» в других словарях:
предельная точка — точка накопления Словарь русских синонимов … Словарь синонимов
Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия
предельная точка — ribinis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limit point; limiting point vok. Grenzpunkt, m rus. граничная точка, f; предельная точка, f pranc. point limite, m … Fizikos terminų žodynas
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА — множества точка, в любой окрестности к рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек рому топологич. пространству. Множество, содержащее все … Математическая энциклопедия
предельная точка — Syn: точка накопления … Тезаурус русской деловой лексики
предельная точка профиля зуба — предельная точка профиля Точка пересечения теоретического профиля зуба с предельной линией его теоретической поверхности. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы… … Справочник технического переводчика
предельная точка действующей линии теоретической поверхности зуба — предельная точка действующей линии Каждая из точек, ограничивающих действующую линию теоретической поверхности зуба. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины объемные элементы и поверхности зубапонятия, относящиеся к… … Справочник технического переводчика
предельная точка линии зацепления — Каждая из точек, ограничивающих линию зацепления зубчатой передачи и соответствующих предельным точкам действующей линии теоретической поверхности зуба, которая при линейном контакте является точкой пересечения линии зацепления с предельной… … Справочник технического переводчика
Точка (матем.) — Точка (математическая), одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии Т. обычно принимается за одно из исходных понятий. В современной математике Т. называются элементы весьма различной природы, из которых состоят… … Большая советская энциклопедия
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА
(1) (a-предельная точка) или
(2)
(w-предельная точка), где <t k >, k
N,- последовательность такая, что 
при 
в (1) или 
при 
в (2) и пределы (1) или (2) существуют.
Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М., 1949. В. М. Миллионщиков.
Смотреть что такое «ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА» в других словарях:
предельная точка — точка накопления Словарь русских синонимов … Словарь синонимов
Предельная точка — множества в общей топологии это такая точка, любая проколотая окрестность которой пересекается с этим множеством. Содержание 1 Определение 2 Связанные понятия и свойства … Википедия
предельная точка — ribinis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. limit point; limiting point vok. Grenzpunkt, m rus. граничная точка, f; предельная точка, f pranc. point limite, m … Fizikos terminų žodynas
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА — множества точка, в любой окрестности к рой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от нее самой. Рассматриваемые множества и точка предполагаются принадлежащими нек рому топологич. пространству. Множество, содержащее все … Математическая энциклопедия
Предельная точка — множества А, такая точка ξ пространства, сколь угодно близко от которой имеются отличные от ξ точки множества А, т. е. в любой окрестности (См. Окрестность) которой содержится бесконечное множество точек из А. Характеристическим свойством … Большая советская энциклопедия
предельная точка — Syn: точка накопления … Тезаурус русской деловой лексики
предельная точка профиля зуба — предельная точка профиля Точка пересечения теоретического профиля зуба с предельной линией его теоретической поверхности. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины понятия, относящиеся к зубчатому колесупрофиль зуба Синонимы… … Справочник технического переводчика
предельная точка действующей линии теоретической поверхности зуба — предельная точка действующей линии Каждая из точек, ограничивающих действующую линию теоретической поверхности зуба. [ГОСТ 16530 83] Тематики передачи зубчатые Обобщающие термины объемные элементы и поверхности зубапонятия, относящиеся к… … Справочник технического переводчика
предельная точка линии зацепления — Каждая из точек, ограничивающих линию зацепления зубчатой передачи и соответствующих предельным точкам действующей линии теоретической поверхности зуба, которая при линейном контакте является точкой пересечения линии зацепления с предельной… … Справочник технического переводчика
Точка (матем.) — Точка (математическая), одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии Т. обычно принимается за одно из исходных понятий. В современной математике Т. называются элементы весьма различной природы, из которых состоят… … Большая советская энциклопедия
Точечные множества
Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.
Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел — множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.
Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.
Введем обозначения для простейших множеств на прямой.
Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.
Ограниченные и неограниченные множества
Нетрудно видеть, что если — фиксированная точка на прямой, то множество будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.
Множества, ограниченные сверху и снизу
Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.
Верхняя и нижняя грань множества
Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой
Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.
Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами
Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.
Теорема Больцано-Вейерштрасса
Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.
