Что такое предельный переход

Предельный переход в равенстве и неравенстве

Предельный переход в равенстве и неравенстве

Предельный переход в равенстве и неравенстве. Объединение 2 переменных xn и yn с равенством или неравенством означает, что мы всегда говорим о каждом значении, то есть о значении одного и того же числа. 1) если 2 переменные xy, yn всех этих изменений равны: xn = yn, и каждая из них имеет конечный предел. Itxp = а, 11b_ul = ^、 Эти ограничения будут равны: a-b. Продолжим непосредственно от единственности предела[36, 4)]. Эта теорема обычно используется в виде перехода к пределам равенства. из xn= yn мы заключаем, что шдя = и=туп.

Эта теорема устанавливает допустимость перехода неравенства (связанного с равенством) к пределу. Людмила Фирмаль

Теоремы 1, 2 и 3 могут быть легко расширены в случае бесконечного предела. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Предельный переход

Средняя скорость представляет собой неполноценное описание быстроты моего движения при ходьбе. Скорость «3 км/час» ничего не говорит о темпе моего движения в каждой точке пути – это лишь усредненная скорость прохождения пути от начала до конца. Если я хочу иметь лучшее описание, мне нужно найти способ измерения моей скорости в каждой точке. Большинство из нас меньше интересует скорость, нежели опыт передвижения. Но физикам и полиции необходимо измерять скорость!

Лишь в 1650 г. западные ученые наконец открыли способ измерения скорости в любой точке пространства и времени. Ньютон и Лейбниц хотели измерять непостоянный мир изменений движения и предложили радикальную идею, которою они назвали предельным переходом. Идея предельного перехода составляет основу дифференциального исчисления и, поскольку вся физика основывается на дифференциальном исчислении, идея предельного перехода занимает центральное место во всей физике.

Я говорю своим слушателям, что для того, чтобы понять идею предельного перехода, нам следует вернуться к подробностям моей ходьбы. Допустим, что расстояние от стены до середины помещения составляет около 10 метров. Я говорю, что если мы используем общепринятый способ измерения времени, например по часам на стене аудитории, то сможем определить длительность моего движения. Затем я снова прохожу эти 10 метров и вместе со всеми присутствующими замечаю, что на это у меня уходит 5 секунд.

Имея эту новую информацию о времени, мы можем подсчитать мою скорость. Разделив расстояние 10 метров на время 5 секунд, мы получаем скорость 2 метра в секунду. Теперь у нас есть средняя скорость движения между двумя точками, но мы по-прежнему хотим знать больше. Чтобы иметь точные данные, нам нужно придумать, как измерять мою скорость в каждой отдельной точке. Это тот же вопрос, на который пришлось отвечать Ньютону.

Я представляю себе, что Ньютон использовал нечто вроде следующего эксперимента. Вероятно, он думал: «Пусть человек идет, а мы будем определять его скорость с помощью точных часов, измеряя, сколько он проходит, скажем, за пару секунд. Затем будем уменьшать время. Позволим ему двигаться только очень небольшое время, например полсекунды. Тогда мы снова можем находить его скорость в течение более коротких промежутков времени и на более коротких расстояниях. Нам нужно лишь разделить расстояние, которое он проходит за эти полсекунды и получить его среднюю скорость».

Рис. 11.1. Короткий путь

Потом Ньютона осенило. Он, должно быть, подумал: зачем ограничиваться тем, что мы можем измерять в настоящее время? Почему думать только о наших часах и линейках, которые не так уж точны? Предположим, что наши измерительные инструменты гораздо лучше и могут измерять очень маленькие расстояния и времена, вроде одной миллионной доли сантиметра и одной миллиардной доли секунды. Представьте себе прогулку длительностью в долю секунды!

Рис. 11.2. Очень маленькая прогулка

Зачем ограничиваться долей секунды? Почему не идти дальше в мысленном эксперименте, доводя его до предела? Давайте вообразим измерение расстояния, которое кто-то проходит за бесконечно малое время, приближающееся к нулю, поскольку в это микроскопическое количество времени мы чрезвычайно близко подходим к его скорости в данной точке пространства и времени, что и составляет нашу цель.

Рис. 11.3. Бесконечно короткий путь

В течение этого бесконечно малого времени человек продвинется очень ненамного. Хотя доля секунды коротка, мы все равно можем сказать, что он продвинулся на некоторое расстояние, и, коль скоро никто не пытается действительно точно измерять это расстояние, мы можем говорить, что измеряем расстояние и время в одной точке. Поскольку скорость – это расстояние, деленное на время, мы получаем скорость более или менее в одной данной точке.

Но, возможно, вы очень придирчивый читатель или физик и говорите, что это невозможно. Одна миллиардная сантиметра – это все еще расстояние между двумя точками, а не одна точка. Я представляю себе, что Ньютон сказал бы: «Мы еще не закончили эксперимент. Доведем эксперимент до предела во времени, когда количество времени приближается к нулю. Когда мы подходим к нулевому времени движения, мы как раз и будем примерно в одной точке».

Математиков не беспокоит, можете ли вы на самом деле что-либо измерить; они просто стараются быть как можно более последовательными. Поэтому Ньютон разработал идею скорости в точке: скорость – это пройденное пространство, деленное на время, когда количество времени, требуемое для этого маленького путешествия, приближается к нулю. Повторим это еще раз:

В пределе, когда расстояние и время между двумя точками становятся очень малыми и приближаются к нулю, расстояние, деленное на время, представляет собой скорость в любой данной точке.

Это понятие предельного перехода позволяло Ньютону говорить, что скорость в данной точке можно определять путем деления расстояния на время, когда это время, в пределе, приближается к нулю (точное выражение Ньютона дано в примечании 2).

Возможно, вас интересует, почему я трачу так много времени, говоря об этих подробностях. Большинство физиков и математиков довольствуются тем, что сказано выше. Мы определили скорость в точке – это отношение расстояния ко времени, когда рассматриваемое время приближается к нулю. Мы дали некоторые советы относительно приблизительного измерения скорости – использовать точные линейку и часы и делать все, что в ваших силах. Чего же еще можно хотеть?

Но нам все еще есть, о чем задумываться. Я хочу знать больше о том, что в точности происходит, когда мы переходим от движения между двумя местами к плавному движению в данной точке. Сегодня нам известно, что измерение малых расстояний представляет собой проблему. Когда мы доходим до мгновенных и точных положений, нам приходится измерять вещи размером с атомы, которые даже невозможно увидеть. Когда вещи так малы, мы не можем измерять точно. Нам препятствует физическая реальность.

Иными словами, такой вещи, как точка, не существует! Точка – это понятие общепринятой реальности, плод математического воображения. В физической реальности не существует точек. То, что мы когда-то считали точкой, на самом деле содержит в себе миллионы атомов.

Тем не менее, чисто математическое мышление, в отличие от физики, не привязано к измерениям. Математика может свободно странствовать в сфере идей. И математика предполагает, что существует нечто вроде скорости в данной точке, даже хотя мы знаем, что в общепринятой реальности мы, в лучшем случае, можем получать среднюю скорость движения между двумя точками, когда время движения крайне мало. Понятие скорости в точке – это фантазия, а не реальность.

Позднее математики заменили термин Ньютона «флюксия» на «производную». Эта смена названия означает, что изучающие исчисление больше не слышат термин «флюксия» и рискуют забыть, что производные применяются к миру течения. Точнее говоря, флюксия или производная определяется в той таинственной точке, где мир постепенного движения сливается с миром непрерывного изменения.

Производная – это суть исчисления, математическое описание движения, имеющее решающее значение для всей науки и, в особенности, для физики. На этом этапе вы уже усвоили основы исчисления. Нам просто нужно помнить, что флюксия, позднее названная производной, представляет собой темп изменения чего-либо (например, расстояния) в данной точке в терминах чего-либо другого (например, времени).

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на ЛитРес

Читайте также

Переход

Переход Идеализация может быть названа качеством бесконечности; но первая есть по существу процесс становления и потому переход, подобный переходу становления в существование, на который теперь и нужно указать. Как снятие конечности, т. е. конечности, и как таковой, а

9. Переход к последующему

9. Переход к последующему После того как мы многому научились у Гегеля, а еще больше того, сумели его критически истолковать, мы можем говорить об отдельных периодах истории античной эстетики уже с употреблением нашей собственной терминологии и с использованием наших

6. Переход к терминологии

6. Переход к терминологии В дальнейшем нам предстоит сложная задача – изобразить античную эстетику не только в ее принципиально–сущностном виде, но и в ее терминологической системе. До сих пор в анализе принципов и проблем античной эстетики мы, конечно, не могли не

§1. Переход от ума к душе

§1. Переход от ума к душе Все наше предыдущее исследование античного представления об уме везде подчеркивало обязательную неподвижность ума, его вечную устойчивость и независимость от всего прочего. Однако, рассмотрев ум в его неподвижности и вечной

§1. Переход к материи

§1. Переход к материи Если мы бросим общий взгляд на пройденный нами историко–терминологический путь, то нетрудно будет заметить, что все рассмотренные нами до сих пор термины в основном относятся к смысловой стороне действительности. Яснее всего это видно на терминах

§4. Переход к последующему

§4. Переход к последующему 1. Рассмотренные выше категории и общая сфера выражаемого Общий принцип античной эстетики, как известно, мы толкуем как принцип чувственно–материального космоса (выше, часть пятая, глава II, §5, п. 2) Но ведь во всем предыдущем изложении мы почти

3. Предельный характер понятий природы и искусства

3. Предельный характер понятий природы и искусства Что такое природа, которую мы обычно берем в ее фактическом состоянии? Природная вещь, если она берется фактически, только отчасти выражает свою идею. Идею вещи нельзя ощупать или понюхать, ее нельзя покрасить или разбить

в) Переход к единовластию

в) Переход к единовластию Конкрето абсолютной самодержавной власти одного человека вызывает во всякой душе, избравшей неведенье, такое искреннее восхищение и трепет, какого никогда не может вызвать группа правителей, делящих власть между собой. «Дай нам царя, чтобы он

Метасистемный переход

Метасистемный переход Этот раздел покажется странным в общем контексте. Однако читателю придется смириться с этим. Язык и понятия кибернетики становятся частью общего образования, как арифметика, и я думаю, что это очень многообещающее явление. Так как мне все-таки

Переход к социализму

Переход к социализму Капиталистическое общество подвергалось и подвергается интенсивной критике, в значительной мере вполне справедли­вой. Но если вдуматься в эту критику, то мы увидим, что она является критикой недостаточности капитализма, а не обличе­нием активного

Переход в ученичество

Переход в ученичество – Воин перестает быть Воином и ощущает уже не гармонию уединения, а полное одиночество, ощущение, что он – это ничто. На самом деле – Великое Ничто. Вся прежняя картина мира рушится, не остается абсолютно ничего;– И когда он понимает, что он – это

1. Вера как предельный интерес

1. Вера как предельный интерес Вера — это состояние предельной заинтересованности: динамика веры — это динамика предельного интереса человека. Человек, как и всякое живое существо, заинтересован во множестве вещей, прежде всего в тех, от которых зависит само его

80. В чем предельный смысл философии?

80. В чем предельный смысл философии? В принципе, философствование – роскошь. Человек может еще и философствовать! Да кто же он тогда, этот человек?! Человек философствует – и этим почти все сказано. И какое это удивительное и загадочное дело –

Источник

Что такое предельный переход

то она называется бесконечно малой последовательностью.

Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на последовательность, сходящуюся к нулю, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Из этой теоремы, в частности, следует, что произведение постоянной величины на бесконечно малую, так же как произведение нескольких бесконечно малых друг на друга, является бесконечно малой величиной. Действительно, постоянная величина всегда есть величина ограниченная. То же относится и к бесконечно малой. Поэтому, например, произведение двух бесконечно малых можно истолковать как произведение бесконечно малой на ограниченную.

Теорема 3. Частное от деления последовательности, сходящейся к нулю, на последовательность, имеющую предел, отличный от нуля, есть последовательность, сходящаяся к нулю.

Следующая теорема позволяет использовать бесконечно малые при доказательствах теорем о пределах (теоремы 6-8).

Теорема 4. Общий член последовательности, имеющей предел, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины.

Из определения предела следует:

а это и доказывает нашу теорему.

Теорема 5. Если общий член последовательности отличается от какой-либо постоянной величины на бесконечно малую величину, то эта постоянная является пределом данной последовательности.

Рекомендуем пользователю доказать эту теорему самостоятельно.

Теперь мы рассмотрим правила предельного перехода, сформулированные в следующих трех теоремах.

Теорема 6. Предел суммы двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен сумме этих пределов:

Тогда на основании теоремы 4 мы можем записать:

$u_ = a + \alpha_, v_ = b + \beta_$

$u_ + v_ = (a+b) + (\alpha_ + \beta_)$.

а это и нужно было доказать.

Доказательство, которое мы сейчас провели, можно без труда обобщить на случай алгебраической суммы любого числа заданных последовательностей.

Теорема 7. Предел произведения двух или нескольких последовательностей, имеющих предел, равен произведению пределов этих последовательностей:

$u_ = a + \alpha_, v_ = b + \beta_$,

что и требовалось доказать.

Доказательство в случае большего числа сомножителей проводится аналогичио.

Из теоремы 7 вытекает

Следствие. Постоянный множитель выносится за знак предела:

(можно рассматривать постоянный множитель как член постоянной последовательности и применить теорему 7 и положение о том, что предел постоянной последовательности равен ее членам).

Теорема 8. Предел частного двух последовательностей, имеющих предел, равен частному от деления этих пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.

Записать утверждение этой теоремы можно так: если

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Процесс предельного перехода (3.4), с помощью которого определяется производная, называется дифференцированием. Понятие производной широко используется в механике и во всех других разделах физики. [2]

При этом надо твердо помнить, что в процессе предельного перехода обе величины х и у рассматриваются как постоянные ( ср. [5]

Смысл подобных выражений состоит в том, что в них каждый раз подразумевается тот процесс предельного перехода ( от конечных сумм к интегралам), который нам встречался в каждой из рассмотренных выше задач. [7]

Успех доказательства определился тем, что столбцы Т ( е), оставаясь в процессе предельного перехода взаимно ортогональными, не могли стать линейно зависимыми, как это могло бы случиться в общей ситуации. [8]

Уже со средней школы читателю знаком тот, по существу восходящий к классической древности, процесс предельного перехода ( принадлежащий Архимеду), при помощи которого определяется число я. Однако это определение мало чем помогает, если мы хотим действительно получить это число с известной точностью. Чтобы произвести подобное вычисление, мы не можем поступить иначе, как представить число л посредством некоторого предельного процесса, именно рассматривая его как предел последовательности хорошо известных и легко определимых чисел. [9]

Поскольку два взаимодействующих тела вызывают не только результирующие силы, но также и результирующие моменты, то представляется необходимым удостовериться в том, что обобщенный закон тяготения (91.2) приводится к начальному исходному и не сопровождается какими-либо не обращающимися в нуль парами, когда тела TI и Т2 в процессе предельного перехода обращаются в точку. [12]

Источник

П. 6.1. Предельный переход

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.

Пример 17.Решить в классе непрерывных функций уравнение

(6.1)

где х R.

Решение. Заменив х на , получим

(6.2)

Используя ту же замену, из уравнения (6.2) последовательно получим

,

,

Методом математической индукции можно доказать, что

(6.3)

Сложив все уравнения, начиная с (6.2), получим

(6.4)

Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х

Здесь . Из (6.1) . Тогда

Левая часть равенства (6.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n → ∞. Переходя к пределу в равенстве (6.4), при n → ∞ имеем

(6.5)

Правая часть (6.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий

Итак, , что и подтверждается проверкой.

Пример 18.Функция f: R→R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда

Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой.

Пример 19. Доказать, что уравнение

, (6.6)

не имеет непрерывных решений.

Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения (6.6). Подставим в исходное уравнения вместо x выражение

ведь если x ≥ 0, то и

(6.7)

Теперь сделаем такую же замену

(6.8)

Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем:

Сложим все получившиеся выражения, начиная с (6.6) (всего будет n выражений), и приведем подобные слагаемые:

(6.9)

Равенство (6.9) верно для любого натурального n. Зафиксируем x, а n устремим к ∞. Ввиду непрерывности f(x) в точке x = 0, находим

(6.10)

В левой части (6.10) при конкретном (фиксированном) x стоит некоторая константа, т.е. при данном x ряд в правой части (6.10) сходится к этой константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значения x > 0, таким образом, придём к противоречию.

Для любого натурального k и x > 0 верно неравенство

неограниченно возрастает при увеличении n (известный факт), следовательно,

расходится к ∞. Что и требовалось доказать.

Пример 20. Найти f(x), ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению:

Решение. x = 0 f(0) = 0;

переходя к lim при x → ∞ используя непрерывность f(x) и f(0) = 0 получаем, что

.

Пример 21. Решить функциональное уравнение

(6.11)

в классе непрерывных функций.

Решение. Выполнив замену , получим

(6.12)

Складывая (6.11) с уравнением (6.12), умноженным на , получим

Это уравнение решается аналогично уравнению (6.1). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим . Отсюда . Выполнив n раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим

, или ,

Источник