Предикаты и кванторы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие предиката

Предикатом в программировании является функция, которая принимает один или более аргументов и возвращает значения булева типа.

Предикат называется тождественно-истинным, если на любом наборе аргументов он принимает истинное значение:

Предикат называется тождественно-ложным, если на любом наборе аргументов он принимает ложное значение:

Предикат называется выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает истинное значение.

Примеры предикатов

Таким образом, предикатом является все то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Готовые работы на аналогичную тему

Операции над предикатами

Рассмотрим применение операций алгебры логики к предикатам.

Логические операции:

Над предикатами помимо логических операций можно выполнять квантовые операции: применение квантора всеобщности, квантора существования и т.д.

Кванторы

Чаще всего используют кванторы:

В математической логике существует понятие связывание или квантификация, которые обозначают приписывание квантора к формуле.

Примеры применения кванторов

С помощью квантора всеобщности можно записать следующие ложные высказывания:

который будет иметь вид:

Для записи истинных высказываний используем квантор существования:

Запись будет иметь вид:

Таким образом, предикат можно превратить в высказывание, если поставить перед предикатом квантор.

Операции над кванторами

Для построения отрицания высказываний, которые содержат кванторы, применяется правило отрицания кванторов:

Рассмотрим предложения и выделим среди них предикаты, указав область истинности каждого из них:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата написания статьи: 07 04 2016

Источник

Предикат

Что такое предикат

Предикат (с латинского praedicatum означает «заявленное, упомянутое, сказанное») — понятие в логике, которым называют утверждение, высказанное о том или ином субъекте. Субъект высказывания — это та вещь или явление, о котором или которой делается утверждение.

Одна из важнейших особенности логики предикатов в том, что все общие имена (такие, как «цветок», «деревня»), знаки свойств («розовый», «большая») и знаки отношений («красивее», «роднее») рассматриваются как относящиеся к одной категории знаков: категории предикаторов (иначе говоря, предметно-истинных функторов).

Предикаторы, в свою очередь, показывают функции, у которых вероятные аргументы — это универсальные в рассмотрении объекты, а значения — истинные оценки. В классической логике они называются «истина» и «ложь». К примеру, возьмем предикатор «человек», который представляет функцию, определяемую как истина каждым отдельным человеком, а каждым отличным от человека существом — как ложь.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Другой пример : функция, которая соответствует предикатору «больше», сопоставляет истину каждой паре объектов или субъектов, один из которых больше. Например, такая пара, как «слон, мышь». Но всем остальным парам, по типу «мышь, слон» и «мышь, мышь», такая функци будет сопоставлять оценку «ложь».

Предикаторы могут быть:

Логические операции над предикатами

Так как предикаты принимают два значения, «истина» и «ложь» (1 и 0), к ним можно применить все операции алгебры логики.

Представим, что в неком множестве N определены два предиката P(x) и Q(x). Рассмотрим все операции с ними по-отдельности.

Область истины в этом случае — объединение областей истинности обоих утверждений.

Область истины здесь — дополнение множества истинности утверждения P(x) до множества N, иначе говоря \(I_overline

=N\I_P=CI_P.\)

Кванторные операции над предикатами

Прежде чем изучить квантовые операции, нужно разобраться, что из себя представляет сам квантор.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание.

Кванторы впервые были определены немецким математиком Готлобом Фреге. Он упомянул их в своей работе «Begriffsschrift» («Исчисление понятий», 1879 года). Однако сам термин был изобретен английским логиком Чарльзом Пирсом в 1885 году. Вместе со словом «квантор» он ввел также и термин «квантификация», который означает измерение качеств признаков.

Обозначение кванторов

Символическое обозначение кванторов придумал итальянский математик Дж. Пеано в 90-е годы XIX века. Выглядят эти символы так:

\(\forall\) — «для любого», «для каждого», «для всех»;

\(\exists\) — «существует», «найдётся».

! – «единственный»;

: – «такой, что»;

| – «такой, что».

Знак «:» обычно используется в формулировках определений или теорем, которые записываются с помощью кванторов. Знак «|» применяется в определениях множеств.

Виды кванторов

Квантор общности \(\forall\)

Оно истинно только в том случае, когда \(P(x)\) — тождественно истинен. В ином случае данное высказывание ложно.

Оно истинно только в том случае, когда одноместный предикат \(P(x, a_2, …, a_n)\) на множестве \(N_1\) тождественно истинен. В противном случае оно ложно.

Квантор существования \( \exists\)

Примеры применения

Использование предикатов

Использование кванторов

Пусть предикат «x кратно 5». Тогда с помощью квантора общности можно записать ложные высказывания:

В этом случае решение будет выглядеть так:

Чтобы обозначить истинные высказывания, используем квантор существования:

В записи оно будет выглядеть так:

На множестве x простых чисел существует предикат: «Простое число является нечетным». Если мы поставим перед предикатом слово «любое», то получим ложное высказывание «Любое простое число является нечетным». Если мы поставим перед предикатом слово «существует», то получим истинное высказывание «Существует простое число, которое является нечетным».

Так, предикат можно превратить в высказывание, если поставить перед ним квантор.

Источник

ПРЕДИКАТ

Полезное

Смотреть что такое «ПРЕДИКАТ» в других словарях:

ПРЕДИКАТ — (лат.). Сказуемое в предложении; то, что говорится о предмете. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРЕДИКАТ 1) сказуемое; 2) титул, почетное звание. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка

предикат — свойство, отношение, сказуемое Словарь русских синонимов. предикат сущ. • сказуемое Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012 … Словарь синонимов

предикат — а, м. prédicat m. сказуемое. един. Титул после имени венценосной особы. Король в своеручной грамоте после отъезда маркиза Лопиталя неоднократно ея Величеству предикат Императорский писал. О сей ошибке в титулятуре не оставлено будет здесь и у вас … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Предикат — (лат.). То же, что̀ сказуемое. Литературная энциклопедия: Словарь литературных терминов: В 2 х т. / Под редакцией Н. Бродского, А. Лаврецкого, Э. Лунина, В. Львова Рогачевского, М. Розанова, В. Чешихина Ветринского. М.; Л.: Изд во Л. Д. Френкель … Литературная энциклопедия

предикат — Лингвистический объект, аналогичный глаголу, сообщающий что либо о сущностях, обозначенных термами. [ГОСТ 34.320 96] предикат Функция, возвращающая логическое значение. [http://www.morepc.ru/dict/] Тематики базы данныхинформационные технологии в… … Справочник технического переводчика

ПРЕДИКАТ — в грамматике сказуемое … Большой Энциклопедический словарь

ПРЕДИКАТ — (от лат. praedicatum сказуемое) в узком смысле то же, что свойство; в широком смысле отношение, т. е. свойство нескольких предметов. В логике пропозициональная функция, т. е. выражение с неопределенными терминами (переменными), при выборе… … Большой Энциклопедический словарь

ПРЕДИКАТ — ПРЕДИКАТ, предиката, муж. (лат. praedicatum сказуемое) (научн.). 1. В логике понятие, определяющее предмет суждения субъект и раскрывающее его содержание (филос.). 2. То же, что сказуемое (грам.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ПРЕДИКАТ — ПРЕДИКАТ, а, муж. 1. В логике: понятие, определяющее предмет суждения (субъект). 2. В грамматике: член предложения, обозначающий отнесённый ко времени признак (действие или состояние). | прил. предикатный, ая, ое и предикативный, ая, ое (ко 2… … Толковый словарь Ожегова

Предикат — ПРЕДИКАТ (лат.). То же, что̀ сказуемое … Словарь литературных терминов

Источник

Логика предикатов

Понятие «предикат» обобщает понятие «высказывание». Неформально говоря, предикат – это высказывание, в которое можно подставлять аргументы. Если аргумент один – то предикат выражает свойство аргумента, если больше – то отношение между аргументами.

Возьмём высказывание: « расстояние от Иркутска до Москвы 5 тысяч километров ». Вместо него мы можем записать предикат « расстояние » (означающий, что первый и второй аргумент этого предиката находятся на расстоянии, равном третьему аргументу) для аргументов « Иркутск », « Москва » и « 5 тысяч километров ».

Язык логики высказываний не вполне подходит для выражения логических рассуждений, проводимых людьми, более удобен для этого язык логики предикатов.

Это рассуждение на языке логики высказываний можно записать тремя отдельными высказываниями. Однако никакой связи между ними установить не удастся. На языке логики предикатов эти предложения можно выразить с помощью двух предикатов: « быть человеком » и « быть смертным ». Первое предложение устанавливает связь между этими предикатами.

Перейдём теперь к формальному изложению логики предикатов.

Язык логики предикатов

«Предикатные формулы» обобщают понятие пропозициональной формулы, определённое в части 2.

3.1 Является ли » x формулой?

Как и в логике высказываний можно доказать, что множество формул замкнуто относительно правил построения. Теоремы возможности и единственности разбора подобны соответствующим теоремам для пропозициональных формул.

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных * формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Представление предложений русского языка предикатными формулами

Перед тем как мы продолжим изучение синтаксиса логики предикатов, полезно потренироваться в переводе предложений с русского языка в язык предикатных формул. *

В каждой из следующих задач представьте данное предложение русского языка предикатной формулой.

3.5 Все простые числа больше чем x.

Ответ: » y ( P ( y ) Й Q ( x, y )).

3.6 Существует простое число, которое меньше чем 10.

3.9 Существует бесконечно много простых чисел.

Подстановка

3.10 Найдите результат подстановки константы a вместо x в формулу из задачи 3.4.

3.12 Терм, не содержащий ни одной связанной переменной формулы F, является подстановочным в F для любой переменной.

Семантика

Выполнимость

Логическое следование

Выводы в логике предикатов

В логике предикатов вывод определяется так же, как и в исчислении высказываний и секвенции имеют тот же синтаксис. Аксиомы тоже определяются так же, как в логике высказываний. Все правила вывода логики высказываний – правила введения и удаления для пропозициональных связок, правила противоречия и сведения к противоречию – включены в множество правил вывода логики предикатов, с метапеременными для формул понимаемыми теперь как предикатные формулы. В дополнение, есть четыре новых правил вывода: правила введения и удаления для кванторов.

Правила для кванторов всеобщности

В каждой из следующих задач выведите данную формулу из пустого множества посылок.

3.19 ( P ( a ) & » x ( P ( x ) Й Q ( x ))) Й Q ( a ).

3.20 » xy P ( x, y ) Й » x P ( x, x ).

Правила для кванторов существования

В каждой из следующих задач выведите данную формулу из пустого множества посылок.

Корректность и полнота логики предикатов

Множество правил вывода для логики предикатов обладает свойством корректности и полноты подобно свойствам пропозициональных выводов.

Полнота логики предикатов для случая счётного G и для другого множества правил вывода была доказана Куртом Гёделем в 1930 году.

Функциональные символы и равенство: синтаксис

Логика предикатов, определённая выше немного более ограничена, чем что обыкновенно называется «логикой первого порядка», и наша следующая цель – удалить эти ограничения. Во-первых, мы обобщим понятие терма. В дополнение к объектным константам и объектным переменным, мы разрешим построение термов с использованием символов для функций, «функциональных констант». Во-вторых, мы добавим к языку знак равенства, и уравнения будут включены как новый тип атомарных формул.

Наше наиболее общее понятие сигнатуры определяется следующим образом.

Функциональные символы и равенство: семантика

Выводы в логике первого порядка

Определение вывода в логике предикатов с функциональными константами и равенством включает новый тип аксиом и два новых правила вывода. Правила, как и раньше, содержат метапеременные, служащие для обозначения формул и термов.

Для каждой из следующих формул найдите вывод из пустого множества посылок.

3.27 x = y Й f ( x, y ) = f ( y, x ).

Теории первого порядка

Однако, добавление правил вывода для кванторов второго порядка ведёт к формальной системе которая корректна, но не полна.

Пример: Теория линейного порядка

Арифметика первого порядка

Интерпретация (7) является моделью этой теории. Арифметика первого порядка имеет также другие модели, и некоторые из них совсем не похожи на систему натуральных чисел (задача 3.40).

В каждой из следующих задач найдите доказательство данной формулы в арифметике первого порядка.

Нестандартные модели арифметики

3.38 Модель арифметики первого порядка (7) стандартна.

3.39 G непротиворечива.

3.40 Арифметика первого порядка имеет нестандартную модель.

Существование нестандартных моделей арифметики следует из теоремы Сколема (1920), который обобщил раннюю работу Леопольда Лёвенхейма (1915). Возможность таких моделей резко контрастирует с результатом задачи 1.41. Разница связана с тем, что язык арифметики первого порядка является слишком ограниченным для выражения аксиомы индукции. «Арифметика второго порядка», в которой схема индукции заменяется по аксиоме (8), не имеет нестандартных моделей.

Источник

Предикат

Содержание

Определение

Предика́т (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если (m1,m2. mn) принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д

Примеры

Например, обозначим предикатом EQ(x, y) отношение равенства («x = y»), где x и y принадлежат множеству вещественных чисел. В этом случае предикат EQ будет принимать истинное значение для всех равных x и y.

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x, y, z) для отношения «x проживает в городе y на улице z» или ЛЮБИТ(x, y) для «x любит y», где множество M — это множество всех людей.

Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Логические операции

Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х – четное число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) – «х – четное число и х кратно 3». Т.е. предикат «х делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката А(х) В(х) является объединение областей истинности предикатов А(х) В(х).

Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х) В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т, при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Читают: «Если А(х), то В(х)». Например. А(х): «Натуральное число х делится на 3». В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение множества Т2 – истинности предиката В(х) и дополнения к множеству Т1 истинности предиката А(х).

Кванторные операции

Квантор (все-)общности

Квантор существования

Квантор существования по переменной ₁

Источник