Что такое псевдообратная матрица

Псевдообратная матрица

Для любой матрицы A, A + является псевдообратной матрицей тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

(0)

Построение псевдообратной матрицы.

Пусть B m×r матрица, m>r и rank(B)=r. Тогда

Для произвольной матрицы A порядка m×n и ранга r, псевдообратная матрица A + можно получить следующим образом:

где B m×r матрица, rank(B)=r, C rxn матрица, rank(C)=r.

2. Строятся матрицы С + и B + :

3. Матрица A + вычисляется из следующего выражения:

Заметим, что если A n×n матрица и rank(A)=n, то

Пример вычисления псевдообратной матрицы

Для построения псевдообратной матрицы сделаем скелетное разложение:

Подставляя A и A + в уравнения (0), можно убедиться, что A + является псевдообратной к A матрицей.

Решение системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Пусть задана система линейных уравнений

Найдем решение системы (1), если оно существует.

Перепишем систему (1) в следующем виде:

(2)

где — векторы столбцы матрицы A, — координаты вектора x.

Из системы (2) следует, что для того, чтобы система (1) имела решение вектор b должен быть линейной комбинацией векторов столбцов матрицы A c коэффициентами . Таким образом, можно записать, что для совместности системы (1) должно выполняться условие

Подставим (4) в систему (1):

Если система совместна, т.е. если выполнено условие (3), то R(AA + )≡R(A) и, следовательно, справедливо равенство (5) и x’ является решением (1).

Онлайн нахождение псевдообратной матрицы

Источник

Псевдообратные матрицы

Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица.

1. Скелетное разложение матрицы.

Здесь ранги сомножителей В и С обязательно равны рангу произведения А, r_В = r_с = r. Действительно, r r_В, r_с. Но ранги r_В и r_с не могут превосходить r, так как r – один из размеров матриц В и С. Поэтому r_В = r_с = r.

Для того чтобы получить разложение (1), достаточно в качестве столбцов матрицы В взять любые r линейно независимых столбцов матрицы А, либо любые r линейно независимых столбцов, через которые линейно выражаются столбцы матрицы А. 2 Тогда произвольный j-й столбец матрицы А будет линейной комбинацией столбцов матрицы В с коэффициентами c₁_j, c₂_j, …, c_rj ; эти коэффициенты и образуют j-й столбец матрицы С ( j = 1, …, n ). 3

1) Определение псевдообратной матрицы было дано в 1920 г. Муром, указавшим на важные применения этого понятия. Позже независимо от Мура в несколько иной форме псевдообратная матрица определялась и исследовалась в работах Бьерхаммара, Пенроуза и других авторов.

2) Мы исходим из известного положения: в матрице А ранга r имеется r линейно независимых столбцов, через которые линейно (т. е. в виде линейных комбинаций с числовыми коэффициентами из данного поля) выражаются все остальные столбцы. Аналогичное утверждение имеет место и для строк.

3) Совершенно так же строками матрицы С могут быть любые r строк, через которые выражаются в виде линейных комбинаций все строки матрицы А. Тогда коэффициенты этих линейных комбинаций образуют строки матрицы В.

Поскольку матрицы В и С имеют максимально возможный ранг r, то квадратные матрицы В * В и СС * являются невырожденными:

Действительно, пусть столбец x – произвольное решение уравнения

Источник

Что такое псевдообратная матрица

P = pinv(A)
P = pinv(A, tol)

Функция P = pinv(A) вычисляет матрицу, псевдообратную матрице A, которая имеет такие же размеры, как и матрица A’, и удовлетворяет следующим условиям [1]:

A * P * A = A;
P * A * P = P.

Вычисление матрицы P основано на использовании функции svd(A) и приравнивании к нулю всех сингулярных чисел, меньших величины tol, которая по умолчанию принимается равной tol = max(size(A)) * norm(A) * eps.

Функция P = pinv(A, tol) позволяет пользователю самому назначить порог tol.

Если A имеет строк больше, чем столбцов, и не является матрицей полного ранга, то возникает переопределенная задача наименьших квадратов

Вектор x минимизирует указанную норму тогда и только тогда, когда x имеет вид

Выберем два из бесконечного множества решений:

x = pinv(A) * b;
y = A \ b.

Эти решения характеризуются следующими свойствами: решение x имеет норму norm(x), которая минимальна в сравнении с нормой любого другого решения; решение y имеет минимальное количество ненулевых компонентов.

Пример:

Рассмотрим прямоугольную матрицу, которая генерируется следующим образом:

Эта матрица размером 8 х 6 имеет ранг, равный 3.

Сформируем вектор b = 260 * ones(8, 1).

Тогда получим следующие решения

1.1538

1.4615

1.3846

1.4615

1.1538

norm(x) = 3.2817 y = A \ b

Warning: Rank deficient, rank = 3 tol = 1.8829e-013
Предупреждение: Ранг неполный, rank = 3 tol = 1.8829e-013

3.0000

4.0000

1.0000

z’ = [ 5.7517 9.6751 4.6404 5.8559 7.8906 1.5362 ]

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание: Пер. с англ. М.:Наука, 1977. 224 с.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Псевдообратные матрицы

«Псевдообращение можно понимать как наилучшую апроксимацию решения соответствующей системы линейных уравнений. Псевдообращение определено для любых матриц над действительными числами.»

Вопрос получится не очень точным, но именно его формулирование и будет нашей задачей.

Заслуженный участник

Псевдорешением системы называется решение системы (оно всегда существует, в т.ч. и для неквадратных матриц ).

Есле псевдорешение не единственно, то нормальным псевдорешением называется псевдорешение, минимальное по евклидовой норме (оно всегда существует и единственно).

Псевдообратной матрицей называется матрица, сопоставляющая (умножением на себя) каждой правой части нормальное псевдорешение .

Система будет иметь решение не при любой правой части, и если будет,
то не единственное.

Тут надо считать ранг матрицы.

: Решение всегда будет неединственное независимо от ранга. Если ранг равен — решение будет при любой правой части, если меньше не при любой.

Система будет иметь решение не при любой правой части, и если будет,
то не единственное.

Тут надо считать ранг матрицы.

Заслуженный участник

Т.е. Вас интересует переопределённая система, когда слишком много уравнений, т.е. когда матрица исходной системы вытянута по вертикали.

В этой ситуации, как правило, исходная система решений не имеет. Поэтому и вводят понятие псевдорешения.

Когда оно сразу же единственно (т.е. когда его не надо дополнительно нормализовывать)? Для этого нужна невырожденность матрицы , а это будет ровно тогда, когда исходная матрица — полного ранга, т.е.все её столбцы линейно независимы.

Модератор

Существование решения невозможно гарантировать. Максимальная размерность линейной
оболочки столбцов матрицы равна (это если матрица полного ранга). В то время как векторы
правой части принадлежат -мерному пространству (n$» title=»$m>n$»/>).Кроме того, ранг такой
системы всегда не меньше . Просто, если он равен , то решение, если оно существует, единственно.

Заслуженный участник

Угу, это небезызвестные уравнения Пенроуза для псевдообратной матрицы :

Только я никогда не мог врубиться в глубокий практически-пхилософский смысл этих уравнений. Мало того, что они занудны, так истчо и нелинейны.

1. Т.е. Вас интересует переопределённая система, когда слишком много уравнений

2. В этой ситуации, как правило, исходная система решений не имеет. Поэтому и вводят понятие псевдорешения.

«Really
2. Существование решения невозможно гарантировать.»

Добавлено спустя 19 минут 38 секунд:

Модератор

Заслуженный участник

1) Только не на просто транспонированную, а на эрмитово сопряжённую (комплексные задачи в природе тоже вполне встречаются).

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Что такое псевдообратная матрица

2.1. Скелетное разложение прямоугольной матрицы

Определение. Представление произвольной прямоугольной m*n-матрицы A=BC и называется скелетным разложением.

Первая теорема Мура-Пенроуза. Псевдообратная матрица существует и единственна.

Вторая теорема Мура-Пенроуза. Псевдообратная матрица минимизирует не только невязку, но и норму, то есть x₀=A + y.

Пример. Найти псевдообратную матрицу A + для матрицы Так как rangA=2, положим Тогда

Пример. Рассмотрим уравнение αx=β. α ≠0⇒x= β /_α, α=0⇒0x=β⇒β=0. Результат тот же, как если бы x= β /_α доопределили в нуле. В общем случае то же самое: псевдорешение не является непрерывной функцией от элементов матрицы и свободных членов. Рассмотрим матрицу размера m*n.

1. Если m=n, detA≠0. Решение теоретически всегда существует. Обратная матрица существует. Точность решения сильно зависит от числа обусловленности: точность вычислений можно увеличить, если condA 1000 то нельзя гарантировать никакой точности.

Источник