Что такое пучность и узел стоячей волны

Узлы стоячей волны

Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A_ст = 0). Это точки среды, для которых

(m = 0,1, 2. ).

(m = 0,1, 2. ).

Расстояния пучность—пучность и узел—узел равны λ/2, а расстояние пучность—узел равно λ/4.

Образование стоячих волн наблюдают при

интерференции бегущей и отраженной волн. Например, если конец веревки закрепить неподвижно, то отраженная в месте закрепления веревки волна будет интерферировать с бегущей волной и образует стоячую волну. На границе, где происходит отражение волны, в данном случае получается узел. Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность, если более плотная — узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений, в результате чего получается узел. Если волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит, и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами — получается пучность.

Уравнение стоячей волны и его анализ

Частным случаем интерференции волн, являются стоячие волны.

Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию.

Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в колебательное движение.

При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида

и где α-разность фаз волн в точках плоскости x=0, образуется плоская синусоидальная стоячая волна, описываемая уравнением

Амплитуда стоячей волны в отличие от амплитуды бегущих волн является периодической функцией координаты x.

Положение узлов и пучностей находится из условий

Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины волны λ бегущих волн.

В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты x рассматриваемой точки. В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), так как аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты x. При переходе через узел фаза колебаний изменяется скачком на π,так как при этом cos(k*x+α/2) изменяет свой знак на противоположный.

Источник

Что такое пучность и узел стоячей волны

Если в среде распространяется несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Волны накладываются друг на друга, не возмущая (не искажая друг друга). Это и есть принцип суперпозиции волн.

Если две волны, приходящие в какую-либо точку пространства, обладают постоянной разностью фаз, такие волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (начальная фаза ):

Сложим уравнения и преобразуем по формуле суммы косинусов (5.4.3):

.

Т.к. , то можно записать:

.

Учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:

В выражении для фазы не входит координата, поэтому можно записать:

где суммарная амплитуда .

В точках, где координаты удовлетворяют условию (n = 1, 2, 3, …), , суммарная амплитуда равна максимальному значению: , – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (n = 0, 1, 2,…), и суммарная амплитуда колебаний равна нулю , – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (рис. 5.5, а), и узел – если более плотная (рис. 5.5, б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Источник

Уроки по электрическим цепям — линии передачи, часть 2

Эта статья — перевод. Начало здесь.
Источник.

В программе:
1) Провода болтаются в воздухе, но источник тока/напряжения видит короткое замыкание.
2) На одном конце провода амплитуда равна 0 Вольт, а на другом — 1 Вольт. Как это возможно?
3) Согласование 75 Ом источника сигнала с 300 Ом нагрузкой при помощи правильно подобранного кабеля.

Стоячие волны и резонанс

Всегда, когда есть несоотвествие между сопротивлением линии передачи и нагрузкой, происходит отражение. Если падающий сигнал имеет одну частоту, то этот сигнал будет накладываться на отражённые волны, и возникнет стоячая волна.

На рисунке показано, как треугольная падающая волна зеркально отражается от открытого конца линии. Для простоты, линия передачи в этом примере показана как единая жирная линия, а не как пара проводов. Падающая волна идёт слева направо, а отражённая – справа налево.

Если мы сложим эти два сигнала, то увидим что третий, стационарный сигнал, создаётся по всей длине линии: красная линия на рисунке ниже – сумма падающей и отражённой волн:

Эта третья волна является суммой падающей и отражённой волны. Она не распространяется по кабелю, как падающая или отражённая волна. Обратите внимание на точки вдоль линии, где падающая и отражённая волна всегда гасят друг друга: эти точки никогда не меняют позицию.

Стоячие волны распространены и в физическом мире. Рассмотрим верёвку, привязанную за один конец, и потрясём её:

Узлы (с точками где нет вибрации) и пучности (точки максимальной вибрации) остаются неизменными по всей длине верёвки. Струнные инструменты также создают стоячую волну, с узлами максимальной и минимальной вибрации вдоль их длины. Основное отличие между верёвкой и струнным инструментом в том, что инструмент уже настроен на правильную частоту вибрации:

Ветер, дующий через открытые трубы, также производит стоячие волны. В этом случае, колеблются молекулы воздуха в трубе, а не твёрдое тело. Стоячая волна может заканчиваться в узле (минимальная амплитуда) или в пучности(максимальная амплитуда) и это зависит от того, открыт или закрыт другой конец трубки:

Закрытый конец трубы создаёт узел, а открытый – пучность. По аналогии, якорь струны – это узел, а свободный конец (если он есть) – пучность.

Обратите внимание, что внутри трубы могут возникать стоячие волны разных частот. Есть несколько резонансных частот для любой системы, поддерживающей стоячие волны.

Более высокие частоты должны быть кратны базовой частоте.

Фактические частоты для любой из этих гармоник (обертонов) зависят от физического размера трубы и скорости распространения волн (в данном случае — скорости распространения звука).

В линиях связи также возможно создать стоячие волны, и их частота будет зависеть от типа нагрузки на конце линии, от скорости распространения и физической длины. Резонанс в линиях передачи более сложен, чем резонанс струн или воздуха в трубах, потому что мы должны учитывать напряжение и ток волн.

Резонанс в линиях передачи легче понять, используя компьютерное моделирование. Для начала, рассмотрим согласованную линию на 75 Ом:

Используя SPICE для имитации схемы, мы укажем для линии T1 волновое сопротивление 75 Ом(z0 = 75) и задержку распространения 1 мкс. Это удобный способ для выражения физической длины линии передачи – количество времени на распространение сигнала. Для реального кабеля RG-59B/U это будет длина 198 метров. 1 мкс соответствует частоте 1МГц. Я буду выбирать частоты от нуля до этой частоты, чтобы показать, как система реагирует на разные частоты.
Вот SPICE модель:

Выполним это моделирование и построим график падения напряжения на сопротивлении источника (Zsource) – это будет индикатор тока, и график напряжения на конце линии (напряжение на нагрузке). Мы увидим, что источник напряжения – на графике показано как vm(1) (величина напряжения между узлом 1 и точкой заземления 0) ровно 1 Вольт. Напряжения в точке 2 и 3 будут 0,5Вольт. Напряжение на резисторе – как индикатор тока – будет 0,5 Вольт:

В системе, где все сопротивления идеально согласованы, не может быть никаких стоячих волн, и нет резонансов на графике Боде.
Теперь давайте изменим сопротивление на 999 МОм, чтобы имитировать открытую линию передачи. Мы определённо должны получить отражённые волны на каких то частотах, от 1мГц до 1МГц:

Здесь напряжение питания линии vm(1) и напряжение на нагрузке остаются на прежнем уровне – 1Вольт. Другие падения напряжения зависят от частоты(так же от 1мГц до 1 МГц). Есть пять примечательных частот вдоль горизонтальной линии: 0Гц, 250кГц, 500кГц, 750кГц, 1МГц. Изучим каждую точку с учётом напряжения и тока в различных точках схемы.

• 0Гц (на самом деле 1мГц) – сигнал практически постоянного тока, и цепь ведёт себя так же, как если бы было подано 1Вольт постоянного тока. Ток не течёт, так как указано нулевое падение напряжения на резисторе Zsource, график vm(1,2), и напряжение на источнике равно напряжение в конце линии vm(2) (напряжение между точкой 2 и точкой 0).

• На 250кГц мы видим нулевое напряжение в точке 2, максимальный ток от источника и полное напряжение на конце линии.

Вы можете быть удивлены, как это может быть? Как мы можем получить полное напряжение на открытом конце линии, если на входе нулевое напряжение? Ответ можно найти в парадоксе стоячей волны. На частоте 250кГц длина линии точно равна ¼ длины волны. Так как конец линии разомкнут, то не может быть никакого тока, но напряжение – будет. Таким образом, на конце провода будет узел для тока (ток равен нулю) и пучность для напряжения(максимальная амплитуда):

• На частоте 500кГц в линию укладывается ровно половина волны, и здесь мы видим ещё одну точку в которой ток равен нулю, а напряжение вновь имеет полную амплитуду:

• На частоте 750 кГц картина похожа на частоту 250кГц: напряжение на источнике равно нулю, и максимальный ток. ¾ волны укладывается в линии, в результате чего источник видит короткое замыкание в точке подключения к линии передачи даже не смотря на то, что на другом конце линии обрыв:

• Когда частота доходит до 1МГц, в линии укладывается один полный период волны. На данный момент, и ток, и напряжение в начале линии равны таковым в конце линии. И если в конце линии ток равен нулю (сопротивление равно 999 МОм), то и в начале линии ток тоже равен нулю. Напряжение на источнике равно напряжению на нагрузке. Фактически, источник видит разомкнутую цепь.

Аналогично короткое замыкание на конце линии генерирует стоячие волны, хотя узлы и пучности по току и напряжению меняются местами: На короткозамкнутом конце линии не будет напряжения (узел), но будет максимальный ток (пучность). Далее идёт моделирование SPICE и иллюстрации того, что происходит на всех интересных частотах: 0Гц, 250 кГц, 500кГц, 750кГц, 1 МГц. Короткое замыкание моделируется сопротивлением нагрузки 0 мкОм.

В обоих примерах(разомкнутая и короткозамкнутая линия) отражается вся энергия. 100 процентов падающей волны достигает конца линии и отражается обратно к источнику. Если, однако, линия передачи нагружена каким-то сопротивлением, будет разница между максимальными и минимальными значениями напряжения и тока вдоль линии.

Предположим, что мы нагрузили линию резистором 100 Ом вместо 75:

Построим модель для этого случая:

Если мы запустим другой SPICE анализ с выводом текстовых значений вместо графика мы можем обнаружить, что все интересные частоты остались теми же самими (Постоянный ток, 250кГц, 500кГц, 750кГц, и 1МГц):

На всех частотах напряжение на источнике в точке 1 равно 1Вольт, как и положено. Напряжение на нагрузке также остаётся постоянным, но имеет меньшую амплитуду (0,5714 Вольт). Однако, напряжение питания линии (точка 2, график v(2)) и ток (график v(1,2)) указывает, что ток от источника меняется в зависимости от частоты.

На нечётных гармониках основной частоты(250кГц и 750кГц) мы видим разные уровни напряжения в начале и конце линии, поскольку на этих частотах стоячие волны создают узел с одной стороны линии и пучность – с другой. В отличие от разомкнутой и короткозамкнутой линии, максимальные значения не достигают ни нуля, ни 100% от исходного сигнала. Но мы всё так же имеем точки с минимумом и максимумом напряжения. То же самое справедливо и для тока. Если нагрузочное сопротивление линии не соответствует волновому сопротивлению линии, мы будем иметь точки максимального и минимального тока на некоторых фиксированных точках линии передачи, соответствующие узлам и пучностям.

Один из способов выражения уровня стоячих волн – отношение максимальной амплитуды (в точке пучности) к минимальной амплитуде для напряжения или тока. Это отношение называется КСВ – коэффициент стоячей волны. Если на линии обрыв или короткое замыкание, то КСВ равен бесконечности, так как минимальная амплитуда будет равна нулю. В примере 75 Ом линии с нагрузкой 100 Ом КСВ будет равен 1,333: максимальное напряжение линии на 250 или 750кГц(0,5714 В) делённое на минимальное напряжение линии (0,4286 В).

КСВ также можно рассчитать, зная нагрузочное сопротивление и волновое сопротивление линии, делением большего значения на меньшее. В нашем примере 100Ω /75Ω = 1,333.

Линия с идеально согласованной нагрузкой будет иметь КСВ равный 1. Это считается идеалом не только из-за того, что отражённые волны – это энергия не достигшая нагрузки, но из-за высоких значений напряжения и тока: высокое напряжение может создать пробой в изоляции, а высокий ток повредить проводники.

Также, линия с плохим КСВ выступает в качестве антенны. Это нежелательно: такая антенна может навести помехи на близлежащие провода. Интересно, что антенны – это открытые линии передач, и работают они при КСВ как можно ближе к 1. Это значит, что вся энергия излучается.

Следующая фотография показывает точку соединения в линии связи радиопередатчика. Большие медные трубы с керамическим изолятором представляют из себя жёсткую коаксиальную линию с волновым сопротивлением 50 Ом.

Гибкий коаксиальный кабель с волновым сопротивлением 50 Ом. Белая пластиковая труба соединяет газ внутри труб: они запечатаны для защиты от влаги. Обратите внимание на плоские провода для соединения линий. Почему они не круглые? Это сделано из-за скин-эффекта, который делает бесполезной большую площадь поперечного сечения на больших частотах.

Как и многие линии связи, они работают на низком КСВ. Как мы увидим в следующем разделе, явление стоячих волн в линиях связи не всегда вредны, так как они могут быть использованы для полезной функции: преобразования импеданса.

Преобразование импеданса

Стоячие волны в резонансных точках короткозамкнутых или открытых линиях могут производить необычные эффекты. При длине линии ½ длины волны (и в кратное число раз больше) источник видит нагрузку как есть. На следующих иллюстрациях это показано:

В обоих случаях на концах линии пучность для напряжения и узел для тока. Линия имитирует нагрузку – бесконечное сопротивление, источник видит обрыв.
То же верно, если на линии короткое замыкание: в точке подключения источника будет минимум напряжения и максимум тока.

Однако, если длина линии равна четверти длины волны, источник при коротком замыкании на конце линии увидит обрыв, а оборванную линию будет видеть как короткозамкнутую.

Линия разомкнута, а источник видит короткое замыкание:

Линия замкнута, а источник видит обрыв:

На этих частотах линия передачи ведёт себя как трансформатор сопротивления, превращая бесконечное сопротивление в нуль и наоборот. Это происходит только в резонансных точках, когда в линию укладывается четверть волны и кратно больше(3/4, 5/4, 7/4, 9/4 …), но если частота известна и неизменна, то это явление может быть использовано для согласования разных волновых сопротивлений друг с другом.
Возьмём в качестве примера линию передачи 75Ω с нагрузкой 100Ω. Из численного моделирования SPICE определим какое сопротивление видит источник:

Простое уравнение связывает волновое сопротивление линии(Z0), импеданс нагрузки(Zload) и входной импеданс(Zinput) для несогласованной линии на нечётной гармоники:

Рассмотрим практический пример, когда надо согласовать нагрузку 300Ω и источник 75Ω. Всё, что нам нужно сделать, так это вычислить правильное волновое сопротивление линии и длину для четверти длины волны на 50МГц.
Во-первых, рассчитаем сопротивление линии. Z0 = Sqrt(75*300) = 150Ω.

Во-вторых, надо рассчитать длину линии. Предположим, коэффициент укорочения 0,85, скорость света 300 тысяч км/сек, скорость сигнала будет 255 тысяч км/сек. Делим эту скорость на частоту сигнала и получаем длину волны 5,1 метр. Нам нужно четверть длину волны – это будет 1,275м.

Вот схема для SPICE анализа:

Мы можем указать длину линии по задержке сигнала. При частоте 50МГц период будет 20нс. Время задержки на четверть длины волны будет 5нс.

На частоте 50МГц в точке 1-2 падает ровно половина – 0,5В, а вторая половина напряжения падает на линии связи в цепи 2-0. Это означает, что источник видит в нагрузке 75Ω. Нагрузка, однако, получает не половину, а 1 Вольт (напряжение v(3)). На сопротивлении 75Ω падает 0,5В или 3,333мВт – столько же, сколько и на нагрузке 300 Ом при напряжении 1В. В соответствии с теоремой максимальной мощности (теоремой Якоби) на нагрузке рассеивается максимальная возможная мощность. Линия передачи длиной в четверть волны, волновым сопротивлением 150Ω и нагрузкой 300Ω ведёт себя как 75Ωнагрузка.

Конечно, это всё будет работать лишь на 50МГц и нечётных гармониках. Для других частот линию передачи придётся удлинять или укорачивать.

Как ни странно, линия той же длины будет согласовывать 300Ω источник и 75Ω нагрузку. Это показывает, что явление преобразования импеданса в корне отличается от принципа работы трансформатора с двумя обмотками.

В этом случае на внутреннем сопротивлении источника упадёт 0,5В, или 833мкВт. На нагрузке будет 0,25В – те же 833мкВт.

Этот метод часто используется для согласования линий передачи и антенны в радиопередачиках, так как там частота часто известна и неизменна. Минимальная длина преобразователь импеданса соответствует ¼ длины волны.

Источник