Арифметические действия в позиционных системах счисления
Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления.
Пятеричная система счисления
Сложение
Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при сложении чисел в «столбик»).
1
2
3
4
1
2
3
4
10
2
3
4
10
11
3
4
10
11
12
4
11
12
13
Вычитание
Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:
1
2
3
4
1
2
3
4
10
2
3
4
10
11
3
4
10
11
12
4
11
12
13
Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.
Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю, например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е. 5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.
Умножение
Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).
2
3
4
2
4
11
13
3
11
14
22
4
Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в пятеричной системе счисления. Сравните с «нашей» десятичной системой счисления: 10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!
Двоичная система счисления
Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в двоичном коде
Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.
Троичная система счисления
Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.
Сложение
Умножение
Для закрепления материала Вам предлагается поработать на испытательных полигонах, где Вы сможете сами составить примеры на сложение и вычитание в раличных системах счисления (от двоичной до шестнадцатеричной) и управлять процессом вычисления.
Испытатель 1 ( сложение чисел в различных системах счисления ).
Испытатель 2 ( вычитание чисел в различных системах счисления ).
Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем : двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
где a i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.
4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета [44]:
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.
4.3. Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?
4.4. Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
4.5. Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).
4.6. Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?
Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
4.7. Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?
Умножение пpоизводится до тех поp, пока дpобная часть пpоизведения не станет pавной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В пpотивном случае пеpевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.
Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
4.8. Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?
При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
4.9. Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую
Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую.
Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:
Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.
Сводная таблица переводов целых чисел
4.10. Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?
Сложение
Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.
Сложение в двоичной системе
Сложение в восьмеричной системе
Сложение в шестнадцатиричной системе
При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.
Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Умножение в двоичной системе
Умножение в восьмеричной системе
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
4.11. Как представляются в компьютере целые числа?
Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.
а) число 72 10 = 1001000 2 в однобайтовом формате:
б) это же число в двубайтовом формате:
в) число 65535 в двубайтовом формате:
В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.
Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией cложения.
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.
Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.
4.12. Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?
Сложение и вычитание
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:
1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Получен правильный результат.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
4. А и В отрицательные. Например:
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Умножение и деление
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.
4.13. Как представляются в компьютере вещественные числа?
Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.
Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:
Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе.
Примеры нормализованного представления:
Десятичная система Двоичная система
Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.
В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:
Форматы вещественных чисел
Размер в байтах
Примерный диапазон абсолютных значений
Количество значащих десятичных цифр
Одинарный
4
10 –45 … 10 38
7 или 8
Вещественный
6
10 –39 … 10 38
11 или 12
Двойной
8
10 –324 … 10 308
15 или 16
Расширенный
10
10 –4932 … 10 4932
19 или 20
При хранении числа с плавающей точкой отводятся разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:
· Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа.
· Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.
Покажем на примерах, как записываются некоторые числа в нормализованном виде в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка.
1. Число 6.25 10 = 110.01 2 = 0,11001•2 11 :
2. Число –0.125 10 = –0.0012 = –0.1*2 –10 (отрицательный порядок записан в дополнительном коде):
4.14. Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?
К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.
Сложение и вычитание
В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.
Умножение
При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:
Деление
При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.
Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:
Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.
4.15. Упражнения
4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?
4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:
4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:
4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:
4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:
4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):
4.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
4.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):
а) 31; б) –63; в) 65; г) –128.
4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):
а) –9; б) –15; в) –127; г) –128.
4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:
Презентация по дисциплине «Основы теории информации» на тему «Пятеричная система счисления»
Презентация по дисциплине «Основы теории информации» на тему «Пятеричная система счисления»
Выполнил: Студент гр. Кс117 Корешков Никита Николаевич Принял: Ситова Анна Алексеевна
Департамент образования Владимирской области Государственное автономное професиональное образовательное учреждение Владимирской области «Гусь-Хрустальный технологический колледж» им. Г.Ф. Чехлова
Гусь- Хрустальный, 2019
Содержание Определение Применение
Определение Применение Возможности перевода Арифметические действия Список источников
Применение Очевидна связь пятеричной системы со строением человеческой руки
Очевидна связь пятеричной системы со строением человеческой руки. По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались этой системой счисления и в Китае. Также пятеричная система использовалась в Древнем Риме.
Применение в римской сисчтеме счисления 5
Применение в римской сисчтеме счисления
Возможность перевода Перевод из пятеричной
Где ai – цифры СС n и m число целых и дробных разрядов Пример: 4405 перевести в десятеричную СС 4405=0*50+4*51+4*52= 0+20+100=12010 Ответ: 4405= 12010
Возможность перевода Перевод из десятеричной
Перевод из десятеричной СС в пятеричную СС производиться с помощью алгоритма перевода из десятичной системы в пятеричную: Выполнить деление исходного числа на 5. Если результат деления больше или равен 5, продолжать делить его на 5 до тех пор, пока результат деления не станет равен 1,2,3 или 4. Выписать результат последнего деления и все остатки от деления в обратном порядке в одну строку. Пример: 4610 переведем в пятеричную СС 46:5=9(остаток 1) 9:5=1(ост. 4) 1:5=0(ост. 1)
Арифметические действия Сложение и вычитание
4.Арифметические действия Сложение и вычитание
Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при сложении и вычитании чисел в «столбик»).
Арифметические действия Пример операции сложения:
Пример операции сложения: Найдем 2345 + 3125. Складываем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно справа налево.
Арифметические действия Пример операции вычитания:
Пример операции вычитания: Найдем 2035 – 345. Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно справа налево.
Арифметические действия Умножение
4.Арифметические действия Умножение
Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).
Арифметические действия Деление
4.Арифметические действия Деление
Рассмотрим так же пример деления: Разделим 124215 на 325
В непозиционной системе счисления цифры не меняют количественное значения при изменении их расположения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская.
В позиционной системе счисления количественное значения каждой цифры зависит от её расположения в числе. Примером позиционной системы счисления является арабская.
Алфавит системы счисления
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,C, D, E, F
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Смотрим по таблице, цифра 3 десятичной с/с соответствует 0011 в двоично-десятичной с/с,
Ответ: A2-10= 001101011000
Для этого над каждой цифрой числа 32 карандашом напишем порядковый номер начиная с 0.
Затем вычисляем A10=3*8 1 +2*8 0 =24+2=26
1 5 1 4 0 3 1 2 0 1 1 0
A10=1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =53
Полученные остатки от деления и последнее частное записываем в обратном порядке.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую
После каждого умножения целая часть произведения берется в виде очередной цифры в новой с/с.
Для перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную необходимо в двоичном числе выделить триады(тетрады) начиная от точки разделяющей целую часть от дробной.
Выделяем триады A2= 001101011,010101
Для перевода из восьмеричной(шестнадцатеричной) с/с в двоичную необходимо каждую цифру числа заменить триадой(тетрадой) соответствующих двоичных разрядов.
