Что такое расстояние между двумя точками

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Расстояние между точками на плоскости

— если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

— если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

Расстояние между точками в пространстве

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

— лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Решение

Решение

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Решение

Источник

Как найти расстояние между двумя точками?

Расстоянием между точками также называют прямую,
у которой одна из точек это начало, а соответственно
другая конец. Найти расстояние между этими
двумя точками, значит найти длину прямой,
связывающей точки.

Есть много разных способов найти расстояние между
двумя точками, но самый универсальный, на мой взгляд,
это найти расстояние взяв за основу Теорему Пифагора.
Исходя из этой теоремы, можно сказать, что в нашем
случае расстоянием(прямой), является гипотенуза,
а чем тогда являются точки, сейчас разберемся.

Формулировка великой Теоремы Пифагора звучит так:
в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов. Или же кратко, формулой:
\( c^2 = a^2 + b^2 \) где c — это гипотенуза, a и b — катеты.

Формулировка этой теоремы применяется почти всегда и везде,
где нужно найти расстояние от чего-то до чего-то. Сейчас, мы
используя эту теорему найдем расстояние между точками.

На рисунке 1 мы изобразили для наглядности
прямоугольный треугольник, с координатами
которые мы взяли для примера. На рисунке 2
тот же самый прямоугольный треугольник,
только без координат! Эти два прямоугольных
треугольника идентичные, поэтому вернемся
к Теореме Пифагора.

Заменяем длины катетов a и b, из Теоремы Пифагора,
на разность координат точек. ​Взгляните на формулу,
которая получилась:

Подставляем наши координаты:

В итоге получилось, что расстояние в нашем примере
равно 5(корень из 25). Как видите все просто, и вы можете
смело применять эту формулу, решая не только задачи,
но и на практике, находя расстояние зная только две точки.

Источник

Расстояние между двумя точками онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между точками по известным координатам этих точек. Дается решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между точками задайте размерность (2-если задача рассматривается в двухмерном пространстве, 3- если задача рассматривается в трехмерном пространстве), введите координаты точек в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Расстояние между двумя точками на прямой

Пусть заданы на оси OX точки A с координатой x_a и B с координатой x_b (Рис.1). Найдем расстояние между точками A и B.

Расстояние между точками A и В равно:

Поскольку расстояние от O до В равна x_b, а расстояние от O до A равна x_a, получим:

На рисунке 2 точки A и В находятся по разные стороны начала координат O. B этом случае рассояние между точками A и B равно:

Поскольку координата точки A отрицательна а координата точки B положительна, то (2) можно записать так:

На рисунке 3 точки A и В находятся c левой стороны начала координат O.

B этом случае рассояние между точками A и B равно:

Из формул (2),(4),(6) следует, что независимо от расположения точек отностительно начала координат рассояние этих точек равна разности координат этих точек, причем от большего значения вычитается меньшее (так как расстояние не может быть отрицательным числом).

Формулы (2),(4),(6) можно записать и так:

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (7):

Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат XOY и пусть на плоскости заданы точки A и B, где A имеет координаты (x_a,y_a), а B имеет координаты (x_b,y_b) (Рис.4).

Учитывая результаты предыдующего параграфа, можем найти расстояние между точками A и M, а также расстояние между точками B и M:

ABM является прямоугольным треугольником, где AB гипотенуза, а AM и BM катеты. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, имеем:

Тогда, учитывая (8), получим:

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (9). Подставляя координаты точек A и B в формулу (9), получим:

,

Ответ: .

Расстояние между двумя точками в пространстве

Рассмотрим в пространстве, в декартовой прямоугольной системе координат точки A и B, где A имеет координаты (x_a,y_a,z_a), а B имеет координаты (x_b,y_b,z_b) (Рис.5).

AB является диагональю параллелепипеда, грани которго параллельны координатным плоскостьям и проходят через точки A и B. Но AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, а AM и BM являются катетами этого прямоугольного треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

Учитывая, что BM равно разности третьих координат точек B и A, получим:

Из предыдующего параграфа следует, что:

Но AM=A’B’. Тогда из (10) и (11) следует:

Пример 3. В пространстве задана декартова прямоугольная система координат XOY и точки \( \small A(x_a; \ y_a ;\ z_a)=A(5;1;0) \) и \( \small B(x_b, \ y_b, \ z_b)=B(-8,-4;21). \) Найти рассояние между этими точками.

Решение. Для нахождения расстояния между точками A и B воспользуемся формулой (12). Подставляя координаты точек A и B в формулу (12), получим:

,

Ответ: .

Источник

Расчет евклидова расстояния с помощью NumPy

В этом руководстве мы рассмотрим, как рассчитать евклидово расстояние между двумя точками в Python с помощью Numpy.

Что такое евклидово расстояние?

Евклидово расстояние — кратчайшая прямая между двумя точками в евклидовом пространстве.

Название происходит от Евклида, который широко известен как «отец геометрии», так как это было единственное пространство, которое люди в то время обычно задумывали. Со временем в физике и математике наблюдались различные типы пространства, такие как пространство Аффин.

В 3-мерном евклидовом пространстве кратчайшая прямая между двумя точками всегда будет прямой линией между ними.

Учитывая этот факт, евклидово расстояние не всегда является наиболее полезной метрикой для отслеживания при работе со многими размерностями, мы сосредоточимся на 2D и 3D евклидовом пространстве для расчета евклидова расстояния.

Вообще говоря, евклидова расстояние широко используется в разработке 3D-миров, а также алгоритмов машинного обучения, которые включают в себя метрики расстояния, такие как K-ближайшие соседи. Как правило, евклидово расстояние будет представлять, насколько похожи две точки данных, предполагая, что некоторая кластеризация на основе других данных уже была выполнена.

Математическая формула

Математическая формула расчета евклидова расстояния между 2 точками в 2D пространстве:

Формула легко адаптируется к 3D-пространство, а также к любому размеру:

Общая формула может быть упрощена до:

Острый глаз может заметить сходство между евклидовым расстоянием и теоремой Пифагора:

Из-за этого евклидова расстояние иногда называют расстоянием Пифагора, хотя прежнее название гораздо более известно.

Примечание: Две точки являются векторами, но выход должен быть скалярным.

Мы будем использовать NumPy для расчета этого расстояния для двух точек, и один и тот же подход используется для 2D и 3D пространств:

Расчет евклидова расстояния в Python с помощью NumPy

Во-первых, нам нужно будет установить библиотеку NumPy:

Теперь давайте импортируем его и настроим две наши точки с декартовыми координатами (0, 0, 0) и (3, 3, 3):

Вместо того, чтобы выполнять расчет вручную, мы будем использовать вспомогательные методы NumPy, чтобы сделать его еще проще!

Операции и математические функции, необходимые для расчета евклидова расстояния, довольно просты: сложение, вычитание, а также функция квадратного корня. Несколько слагаемых также можно заменить суммой:

NumPy предоставляет нам функцию np.sqrt(), представляющую функцию квадратного корня, а также функцию np.sum(), которая представляет собой сумму. При этом расчет евклидова расстояния в Python прост и интуитивно понятен:

Данная формула дает нам довольно простой результат:

Что равно 27. Осталось все, что получить квадратный корень из этого числа:

В истинном питоновом духе это можно сократить до одной строки:

Этот подход, однако, интуитивно больше похож на формулу, которую мы использовали раньше:

Это также приводит к:

np.linalg.norm()

Если бы вы установили для параметра ord какое-то другое значение p, вы бы рассчитали другие p-нормы. Например, норма L1 вектора-это расстояние Манхэттена!

Имея это в виду, мы можем использовать функцию np.linalg.norm() для легкого и гораздо более чистого вычисления евклидова расстояния, чем использование других функций:

Это приводит к печати расстояния L2/евклида:

Нормализация L2 и нормализация L1 широко используются в машинном обучении для нормализации входных данных.

Для расчета точечного произведения между 2 векторами вы можете использовать следующую формулу:

С помощью NumPy мы можем использовать функцию np.dot(), передавая два вектора.

Конечно, вы также можете сократить это до однострочного:

Использование встроенной системы math.dist()

В Python есть встроенный метод в математическом модуле, который вычисляет расстояние между 2 точками в трехмерном пространстве. Однако это работает только с Python 3.8 или более поздней версии.

math.dist()принимает два параметра, которые являются двумя точками, и возвращает евклидово расстояние между этими точками.

Примечание: Обратите внимание, что две точки должны иметь одинаковые размеры (т.е. оба в 2d или 3d пространстве).

Теперь, чтобы вычислить Евклидово расстояние между этими двумя точками, мы просто заправляем их в метод thedistdist():

Заключение

Данная метрика используется во многих контекстах в интеллектуальном анализе данных, машинном обучении и ряде других областей и является одной из фундаментальных метрик расстояния.

Источник

Формула расстояния между точками на координатной плоскости является основным инструментом, применяемым при решении ряда задач в двумерном пространстве.

Система координат

Прежде чем говорить о расстоянии между точками по координатам, следует ввести систему отчета, в которой каждый геометрический объект можно будет однозначно определять. Для этой цели часто используют декартову систему координат. Она представляет собой взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых отмечены единичные отрезки. Именно в них определяется положение тел в пространстве, на плоскости или на прямой линии.

Для названных трех случаев декартова система координат отличается количеством осей:

Единичные отрезки на координатных осях в общем случае могут иметь разную длину.

Однако ввиду симметричности пространства и для удобства выполнения практических расчетов применяют, как правило, единичные отрезки равной длины. Каждому из них соответствует единичный вектор.

Понятие о векторе

Чтобы уметь вычислять расстояние от точки до точки по координатам, удобно пользоваться понятием вектора.

Из школьного курса геометрии известно, что под ним принято понимать отрезок, имеющий некоторое определенное направление. Обозначают его в виде прямой линии конечной длины, на конце которой изображена стрелка.

Пользу использования указанного геометрического объекта трудно переоценить. Например, в физике все величины делятся на 2 большие группы:

К первым относятся масса, электрический заряд, энергия и другие. Вторая группа более обширная. Здесь следует назвать скорость, ускорение, силу тока, напряженности магнитного и электрического полей, силу любой природы и многие другие.

Характеристики объекта

Как любой геометрический объект, вектор обладает набором математических свойств, которые используются при решении задач. Основные из них:

Для всех свойств существуют определяющие их правила. Например, при осуществлении вычитания вектора a- из b- необходимо соединить концы этих объектов отрезком и направить его к концу a-, тогда получается результирующий вектор разницы.

Умножение a- и b- векторным способом является полезной операцией при определении площадей и объемов фигур. Для ее выполнения следует уметь работать с матрицами второго и третьего порядка, в частности, знать, как рассчитывается детерминант (определитель).

Универсальный способ

Речь идет о координатном представлении нульмерных, одномерных, двумерных и трехмерных геометрических фигур. Параметры точек, треугольников, квадратов, прямых, плоскостей и других более сложных объектов могут быть однозначно выражены в виде наборов чисел, привязанных к соответствующей координатной системе. Поскольку существует задача определения расстояния от точки до точки по координатам, имеет смысл рассмотреть только указанный одномерный объект и вектор.

Точка на плоскости

В общем случае удобно обозначить произвольную точку Q (x0; y0).

Направленный отрезок в двумерном пространстве

На плоскости и в трехмерном пространстве всего 2 точки однозначно определяют направленный отрезок. Если его начало переместить в пересечение осей x и y, его конец легко можно найти, вычитая соответствующие координаты точек друг из друга. Следующий простой пример демонстрирует сказанное.

Даны точки A (x1; y1), B (x2; y2), тогда AB- будет иметь координаты:

Вторая точка показывает место расположения конца AB-.

Формула дистанции

Имея полученные представления и знания о свойствах точек и векторов, можно перейти к вопросу нахождения формулы расстояния. Согласно геометрическому определению, под дистанцией между двумя точками понимают длину отрезка, который их соединяет. Эта величина также равна модулю вектора, построенного на нульмерных объектах.

Длину направленного отрезка на плоскости определить просто: необходимо возвести в квадрат каждую его координату, сложить полученные значения, и взять квадратный корень из результирующей суммы. Для вектора a- (x; y) длина будет равна следующей величине:

Возведение суммы в степень 0,5 эквивалентно взятию из нее квадратного корня.

Поскольку определение координат вектора по соответствующим значениям точек известно, можно получить следующую простую формулу для A (x1; y1) и B (x2; y2):

В трехмерном пространстве соответствующее выражение будет иметь подобную форму, только добавится третья координата z.

Расстояние между Q и прямой

Полученные знания можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Часто приходится находить дистанцию между точкой и прямой. Определить эту величину можно, если знать направляющий вектор прямой. Предположим, что он имеет следующие координаты: a- (x1; y1). Прямая проходит через A (x2; y2). Точка задается так: Q (x0; y0).

В параметрическом виде прямая записывается следующим образом:

Здесь t — параметр, который может принимать любое действительное число. Это выражение позволяет записать равенство (1):

Пусть точка P (x;y) является проекцией Q (x0;y0) на прямую, тогда расстояние PQ является искомой дистанцией, которую следует найти по условию задачи. Поскольку вектора PQ- и a- перпендикулярны друг другу, их скалярное произведение будет равно нулю (угол между векторами равен 90 градусов, его косинус равен нулю). Исходя из этих рассуждений, можно записать выражение (2):

Поскольку имеющиеся равенства (1) и (2) содержат 2 неизвестные переменные, объединение их в систему и решение ее позволит определить точку P (x;y). Зная ее координаты и используя формулу дистанции между двумя точками на плоскости, можно получить искомое расстояние PQ.

Пример задачи

Применить полученные знания поможет простая геометрическая проблема. Имеется прямая, которая задана на плоскости в виде следующего общего выражения:

Пусть проекцией точки Q на прямую будет нульмерный объект P (x;y). Координаты P должны удовлетворять записанному уравнению.

Чтобы определить направляющий вектор, достаточно взять 2 любые точки на прямой. Подставляя в выражение произвольные значения x, можно определить эти точки A, B и вместе с ними направляющий вектор AB-:

Вектор QP-, который пересекает прямую под прямым углом, должен подчиняться следующему уравнению (свойство скалярного произведения):

В это выражение нужно подставить значение y из уравнения прямой.

Получается:

Рассчитанное значение округлено до сотых долей и выражается в единицах единичных векторов координатной системы.

При решении подобных задач для сокращения последующих вычислений рекомендуется проверять принадлежность точки прямой, для чего следует подставить координаты в уравнение. Если этот факт подтверждается, искомое расстояние равно нулю.

Углы треугольника

Польза от использования формулы дистанции между точками на плоскости наглядно показывается на примере решения задач на нахождение углов фигур. Пусть нужно определить все углы треугольника, который построен на вершинах A (x1;y1), B (x2;y2), C (x3;y3).

На первый взгляд сложная задача решается легко, если вспомнить о понятии векторного произведения. Например, для векторов AB- и AC- записывается оно так:

Произведение [AB-*AC-] является вектором, который находится как детерминант матрицы третьего порядка. Его модуль, а также длины |AB-| и |AC-| вычисляются по формуле расстояния между двумя точками.

Чтобы определить угол при вершине A треугольника, остается взять функцию арксинуса от отношения векторного произведения к произведению длин сторон AB и AC.

Источник