Что такое расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Покажем вывод этой формулы.

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид . Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при — по формуле

То есть, при любом значении С₂ расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку .

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: . Теперь вычислим нормирующий множитель: . Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: . Искомое расстояние равно модулю значения выражения , вычисленного при . Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Второй способ решения.

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида и .

Очевидно, прямая проходит через точку . Вычислим расстояние от этой точки до прямой — оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая проходит через точку . Обозначим направляющий вектор прямой как , он имеет координаты . Вычислим координаты вектора (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): . Найдем векторное произведение векторов и :

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: .

расстояние между заданными параллельными прямыми равно .

Источник

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Для лучшего понимания темы рассмотрим основные понятия, термины и теоремы, связанные с параллельными прямыми.

Базовые понятия и теоремы

Расстоянием есть такая величина, которая характеризует отдаленность объектов друг от друга. Это определение применимо для плоскости и для пространства. Зачастую расстояние измеряют при помощи различных измерительных приборов, таких как линейка, штангенциркуль и прочих. При передвижении на машине расстояние вычисляют с помощью спидометра. На больших расстояниях применяют различные вычисления для определения величины расстояния.

Две прямые являются параллельными в трехмерном пространстве только в том случае, если они находятся в одной плоскости и не пересекаются. Это значит, что параллельность прямых определяется двумя критериями:

Но не нужно путать параллельные прямые со скрещивающимися, они тоже никогда не пересекаются и не имеют общих точек, но их невозможно расположить в одной плоскости.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Если рассмотреть примеры из жизни, то параллельные прямые мы можем наблюдать как противоположные края у прямоугольного или квадратного стола, железнодорожные рельсы и шпалы, провода линий электропередач, линии в тетради в полоску и прочие. Таких примеров из реального мира можно привести очень много.

Расстоянием между параллельными прямыми является перпендикулярный отрезок между этими прямыми. Он может быть проведен в любом месте между ними и везде будет одинаковым. Рассмотрим доказательство этой теоремы.

Доказательство теоремы про расстояние между параллельными прямыми

Все вышесказанное указывает на то, что треугольники \(XBA\) и \(BXY\) равны, согласно первому признаку равенства треугольников, соответственно, перпендикуляры \(AX\) и \(BY\) тоже равны.

Доказательство этой теоремы справедливо как для планиметрии, так и для 3D-пространства, так как две параллельные прямые в любом случае образуют плоскость.

Примеры определения расстояния между параллельными прямыми

Рассмотрим задачу на определение расстояния меду параллельными прямыми в пространстве.

Решение : Согласно вышеизложенной теоремы, расстоянием между двумя параллельными прямыми является величина перпендикуляра между ними. Выберем произвольную точку на одной из прямых и опустим с нее перпендикуляр на другую прямую. длина этого перпендикулярного отрезка и будет решением этой задачи.

Практически не всегда удобно графически решать данные задачи, так как не всегда есть возможность выполнить рисунок в масштабе 1:1, поэтому их решают аналитическим путем, используя специальные уравнения.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Выше мы рассматривали, что не имеет значения с какой именно точки опущен перпендикуляр, ведь все они равны между собой, поэтому решение задачи сводится, по сути, к определению расстояния между точкой, расположенной на одной из прямых, и второй прямой.

Значит, уравнение определения расстояния между прямыми \(l\) и \(k\) имеет следующий вид:

Рассмотрим пример решения задачи с использованием данного уравнения.

Решение: Определим из уравнения координаты вектора нормали к прямой \(l\) <-1;2;-4>, к прямой \(k\) <3;-1;2>. Координатами направляющего вектора для прямой \(l\) будут <1;3;5>. Значит уравнение примет вид:

Для кого-то этот способ покажется сложным, а для кого-то простым. Всего лишь нужно уметь решать выражения матричного вида.

Рассмотрим еще один способ решения подобной задачи. Это способ алгоритма с векторным произведением.

Решение : Применим формулу векторного произведения:

где \(M_0 M_1\) – вектор, который соединяет две случайные точки на параллельных прямых.

Вектора нормали для прямой \(l\) <-1;2;-4>и для прямой \(k\) <3;-1;2>. Координатами направляющего вектора для обоих прямых будут s=<1;3;5>, так как вектор нормали у них совпадает.

Определим разность между направляющими векторами, она и будет являться координатами вектора

Рассчитаем векторное произведение:

Теперь рассчитаем длину направляющего вектора:
\(|s ̅ |= \pm \sqrt <1^2+3^2+5^2 >=5,916\)

В итого расстояние между заданными прямыми будет равняться:
\(ρ= <38,859\over5,916>=6,568\)

То есть мы получили по сути тот же ответ, значит оба решения правильные и могут применяться для решения задач на определение расстояния между двумя параллельными прямыми.

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Отзывы студентов о нашей работе

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Принимаем к оплате

Источник

Содержание:

Расстояние от точки до прямой:

Введем теперь понятие расстояния от точки до прямой. Пусть точка А не лежит на прямой b и отрезок АО — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой b (рис. 121, a).

Наклонной к прямой b называется отрезок AM, где М — произвольная точка прямой b, не совпадающая с точкой О (см. рис. 121, а). В прямоугольном треугольнике АОМ катет АО меньше гипотенузы AM. Таким образом, перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к данной прямой.

Определение расстояния от точки до прямой

Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.

Расстояние от точки А до прямой b обозначается d(A, b) (читают следующим образом: «Расстояние от точки А до прямой b»).

Например, если в прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой, то расстояние от вершины А до прямой ВС равно длине катета АС, а расстояние от вершины В до прямой АС равно длине катета ВС (рис. 121, б). Длина отрезка CF, являющегося высотой этого треугольника, есть расстояние от вершины С до прямой АВ.

Воспользовавшись понятием расстояния от точки до прямой, можно определить понятие расстояния между параллельными прямыми.

Расстояние между параллельными прямыми

Предварительно докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой.

1) Пусть а и b две параллельные прямые, отрезок ОВ — перпендикуляр, проведенный из произвольной точки О прямой а к прямой b (рис. 122, а). Докажем, что расстояние от любой точки М прямой а до прямой b равно длине отрезка ОВ.

2) Проведем из точки М перпендикуляр MF к прямой b. Так как MF b, а прямые а и b параллельны, то MF а.

3) Прямоугольные треугольники OBF и OMF равны по гипотенузе и острому углу (сторона OF — общая, и равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 при пересечении параллельных прямых а и b секущей OF). Из равенства треугольников следует, что MF = ОВ. Аналогично доказывается, что каждая точка прямой b находится на том же расстоянии от прямой а.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Например, пусть прямая l проходит через вершину С треугольника ABC и параллельна его стороне АВ. Тогда расстояние между прямыми l и АВ равно длине отрезка CF, являющегося высотой треугольника ABC (рис. 122, б).

Правильная треугольная пирамида

Рассмотрим еще одну пространственную фигуру.

Проведем мысленный эксперимент. Представим, что часть листа бумаги, имеющая форму равностороннего треугольника, разбита на четыре части, каждая из которых имеет форму равностороннего треугольника (рис. 123, а). Такое разбиение осуществляют отрезки АВ, ВС и СА, которые соединяют середины сторон модели равностороннего треугольника.

Перегнем данную модель равностороннего треугольника по отрезкам АВ, ВС, СА и склеим так, чтобы вершины D₁, D₂ и D₃ совпали (рис. 123, б, в).

Фигура, состоящая из части пространства, ограниченной четырьмя равными равносторонними треугольниками DAB, DBC, DAC и ABC, и точек этих треугольников, называется тетраэдром (или правильным тетраэдром), который обозначается DABC (см. рис.123, в). Равносторонние треугольники DAB, DBC, DAC и ABC называются гранями тетраэдра, а их вершины и стороны — вершинами и ребрами тетраэдра.

Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань ABC — равносторонний треугольник, а остальные три грани — равные равнобедренные треугольники SAB, SBC, SAC, имеющие общую вершину S (рис. 124, а). Равносторонний треугольник ABC называется основанием правильной треугольной пирамиды, а треугольники SAB, SBC, SAC — ее боковыми гранями. Общая вершина S треугольников SAB, SBC, SAC называется вершиной пирамиды, стороны SA, SB, SC — боковыми ребрами правильной треугольной пирамиды, а вершины А, В, С называются вершинами при основании пирамиды.

Треугольная пирамида, основанием которой служит равносторонний треугольник ABC, а вершиной — точка S, обозначается SABC.

Так как равносторонний треугольник является равнобедренным, то понятно, что любой тетраэдр служит примером правильной треугольной пирамиды.

Равенство фигур

Ранее мы изучили понятия равенства отрезков, углов и треугольников. Треугольники называются равными, если они совмещаются при наложении. Аналогично определяется и равенство произвольных геометрических фигур.

Представление о моделях двух равных прямоугольников дают, например, два одинаковых листа писчей бумаги или два листа одной и той же книги. Модели равных фигур более сложной формы получим, если от одинаковых листов бумаги прямоугольной формы отрежем части, имеющие форму равных прямоугольных треугольников, как показано на рисунке 124, б, в.

Легко проверить, что части F₁ и F₂, оставшиеся после отрезания, можно совместить наложением, что служит подтверждением их одинаковой формы и размеров.

Как и в случае треугольников, можно говорить о равенстве двух произвольных фигур в случае их совмещения при наложении.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

В общем случае при рассмотрении равных фигур пользуются следующими свойствами равных фигур:

В предыдущих главах были изучены признаки равенства треугольников, расположенных в одной и той же плоскости. Заметим, что эти признаки справедливы и для треугольников, которые лежат в разных плоскостях.

Рассмотрим некоторые примеры. Пусть у нас есть развертка прямоугольного параллелепипеда, основаниями которого служат квадраты (рис. 125, а). На рисунке одинаковыми буквами обозначены точки, которые «склеиваются» в одну вершину параллелепипеда. Нетрудно понять, что отмеченные на развертке прямоугольные треугольники равны по двум катетам, а соответствующие им равные прямоугольные треугольники АА₁В₁ и D₁C₁C лежат в разных гранях прямоугольного параллелепипеда, а значит, — в разных плоскостях (рис. 125, б).

В дальнейшем при решении некоторых задач мы будем пользоваться утверждением о том, что признаки равенства треугольников справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Пример №1

Точка О — середина стороны А С равностороннего треугольника ABC. Вычислите расстояние от точки О до прямой ВС, если ВО = 8 см (рис. 126, а, б).

АВС,

О АС,

Расстояние от точки О до прямой ВС равно длине перпендикуляра, проведенного из точки О к прямой ВС.

1) Пусть OF — перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой ВС, тогда d(O, ВС) равно длине отрезка OF, который является катетом прямоугольного треугольника BFO.

2) Так как треугольник ABC равносторонний, а значит, и равнобедренный (АВ = ВС), то его медиана ВО является биссектрисой. Так как градусная мера каждого угла равностороннего треугольника равна 60°, то OBC = ABC = 30°.

3) В прямоугольном треугольнике BFO ( OFB = 90°) катет OF лежит против угла в 30°, следовательно, OF = В0 = 4 см, т. е. d(O, ВС) = 4 см.

Пример №2

Точки О и F — соответственно середины ребер В С и АВ тетраэдра DABC. Докажите, что DO = CF (рис. 127, а, б).

Для д оказательства равенства отрезков достаточно доказать равенство треугольников, сторонами которых являются эти отрезки. В данном случае можем рассмотреть треугольники AFC и BOD.

1) Так как точки О и F — середины сторон СВ и АВ равносторонних треугольников CBD и АСВ соответственно, то медианы DO и CF этих треугольников являются также и высотами. Следовательно, треугольники BOD и AFC являются прямоугольными.

2) Поскольку треугольники CBD и АСВ — равные и равносторонние, то АС = BD и CAB = DBC = 60°.

3) Таким образом, прямоугольные треугольники BOD и AFC равны по гипотенузе и острому углу (AC = DB, FAC = OBD = 60°). Из равенства этих треугольников следует, что DO = CF, что и требовалось доказать.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник