Алгебра. 8 класс
Целые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. 
Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. 
Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.
Дробь – это выражение вида 
.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что действия для нахождения значения целого выражения, всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла.
- •
не имеет смысла при x = 0. •
не имеет смысла при x = y. Дробные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.
Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.
Примеры 
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Чтобы найти допустимые значения переменных в дроби, необходимо:
- • Приравнять знаменатель, содержащий переменные, к нулю.
• Решить полученное уравнение. Корни этого уравнения будут являться теми значениями переменных, которые обращают знаменатель в нуль.
• Исключить эти значения из всех действительных чисел.
Пример 1.
Найти допустимые значения переменной в дроби 
.
1) x(x + 1) = 0
2) x = 0 или x + 1 = 0
x = 0 или x = –1.
Корни уравнения 0 и – 1.
3) Допустимыми значениями x являются все числа, кроме 0 и –1.
Пример 2.
Найти значения x, при которых дробь 
равна нулю.
, когда x 2 – 1 = 0 и x + 1 ≠ 0.
1) x 2 – 1 = 0
2) (x – 1)(x + 1) = 0
x = ±1
3) x + 1 ≠ 0
x ≠ –1.
при x = 1.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Основные сведения о рациональных выражениях в алгебре
Основные определения
Рациональное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого включены числа, переменные, арифметические действия и операции возведения в степень.
Частными случаями рациональных являются следующие выражения, которые часто встречаются на уроках алгебры в средних классах и при выполнении контрольных работ по математике:
Преобразование рационального выражения представляет собой запись такого выражения в упрощенном виде.
Когда требуется преобразовать рациональное выражение, которое может состоять из разных операций, действия следует выполнять по порядку:
Виды и свойства рациональных выражений
Целыми выражениями называют такие выражения, в состав которых входят числа и переменные, операции сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю.
Целыми выражениями являются:
Дробными выражениями называют такие выражения, которые кроме операций сложения, вычитания, умножения и деления на число, не равное нулю, включают в себя деление на выражение с переменными.
Вместе целые и дробные выражения относятся к рациональным выражениям.
Рассмотренные виды рациональных выражений обладают определенными свойствами. Например, целое выражение имеет смысл при разных значениях, которые принимают переменные, входящие в состав целого выражения. По этой причине в любом случае представляется возможным совершать действия для определения этих значений.
Дробное выражение, в отличие от целого, при определенных значениях, которые принимает переменная, может не обладать смыслом. Например:
Если значения переменных таковы, что знаменатель отличен от нуля, то такое дробное выражение имеет смысл.
Допустимые значения — такие значения переменных, при которых выражение приобретает смысл.
Рациональная дробь представляет собой дробь с числителем и знаменателем в виде многочленов.
В случае рациональной дроби допускаются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.
Алгоритм определения допустимых значений переменных в дроби:
При решении задач с рациональными выражениями следует руководствоваться таким же порядком действий, который предусмотрен для арифметических операций. В первую очередь выполняют действия с выражениями, заключенными в скобках. Далее приступают к умножению и делению, возведению в степень. В последнюю очередь выражения складывают и вычитают.
Доказать тождество — продемонстрировать равенство частей выражения слева и справа при любых значениях, которые принимают переменные.
Главные методы решения тождеств, которые можно занести в конспект:
Решение рациональных выражений: примеры задач
Дано тождество, которое требуется доказать с объяснениями:
Заметим, что в данном случае целесообразно начать с преобразования левой части выражения. Согласно стандартному алгоритму действий, выполним операции в скобках:
Вынесем общие множители. Выполним преобразование выражения, на которое предполагается деление:
Найдем результат деления:
Получилось равенство правой и левой частей. Можно сделать вывод о том, что тождество доказано. Заметим, что в процессе преобразований достаточно крупное выражение стало небольшим. Преобразования позволяют упростить выражения при решении большинства задач.
Требуется упростить выражение:
Выполним преобразования в первых скобках:
Выполним преобразования во вторых по счету скобках:
Определим результат деления и запишем ответ:
Дано выражение, в котором требуется выполнить действия:
Согласно стандартному алгоритму, сначала выполняют действия с выражениями, заключенными в скобках:
Далее можно приступить к делению:
Затем приступим к вычитанию:
Задания для самостоятельной работы
Нужно доказать следующее тождество:
Необходимо упростить выражение:
Дано выражение, действия в котором требуется выполнить:
Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
Теперь выполняем вычитание:
После деления придем к рациональной дроби вида
Можно решить это иначе.
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие рационального выражения
В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.
Следующие дроби являются числовыми:
Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:
Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь
бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.
Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь
при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.
Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби
Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство
или равносильное ему равенство
Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.
Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби
Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:
Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому
Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):
По свойству пропорции имеем:
Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.
Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби
Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:
Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение
Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:
Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.
Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.
Пример. Докажите тождество
Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства
(с 3 – 2с 2 + с – 2) = (с – 2)(с 2 + 1)
Раскроем скобки в правой части:
(с – 2)(с 2 + 1) = с 3 – 2с 2 + с – 2
Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.
Теперь сформулируем понятие рационального выражения.
Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.
Приведем примеры целых рациональных выражений:
А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:
Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:
Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.
Пример. Найдите все корни уравнения
Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:
х – 1 = 0 или х + 2 = 0
Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель
2•1 4 – 3•1 3 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0
поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:
2•(– 2) 4 – 3•( – 2) 3 + 5•( – 2) – 4 =
Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).
Сокращение рациональных выражений
Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:
Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:
Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.
Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:
Например, пусть надо привести дробь
6а 2 b 2 = 2а 2 b•3b
Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:
Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.
Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:
Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:
Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:
В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.
Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции
В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:
Казалось бы, мы получили линейную функцию
чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:
Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)
Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.
Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:
Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:
Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:
Более сложный пример:
Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.
Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:
В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения
если известно другое отношение:
В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y 3 (можно было делить и на х 3 ). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:
Получили выражение, которое зависит только от отношения
Попытаемся найти эту величину из условия
Отсюда следует, что
Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):
До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.
Например, дана дробь
Коэффициенты при у и у 2 дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:
Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:
Сложим две величины:
В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:
Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.
Теперь вычтем из выражения
У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:
Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.
Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.
Рассмотрим следующий пример:
Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:
В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:
Видно, что конечный результат операции не изменился.
Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.
Пусть надо сложить выражения
Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:
В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:
Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):
Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:
Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.
Продемонстрируем эту операцию на примере
Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:
И в знаменателе, и в числителе есть сумма х 2 + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:
В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:
Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу
Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:
Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х 2 ) на разность (– х 2 – 2х 2 ), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:
Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму
Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:
Представление дроби в виде суммы дробей
Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:
Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:
То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,
можно разложить так:
С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:
Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение
Заметим, что знаменатель х 2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):
Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что
Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:
Полученная дробь должна равняться исходной дроби:
У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:
(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6
Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:
Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:
Подставим эту формулу во второе уравнение:
а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5
Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:
Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:
Пусть требуется перемножить величины
Эта операция осуществляется так:
Теперь посмотрим, как выполняется деление:
Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:
Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:
При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:
Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:
Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь
Выглядеть это будет так:
Преобразование рациональных выражений
Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.
Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение
Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:
Обратим внимание, что выражение
представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:
(2а + 1) 2 – (2а – 1) 2 = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =
= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).
Используя это, продолжим работать с дробью:
Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:
Пусть требуется упростить произведение:
Сначала раскроем скобки:
Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.
Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения
Сначала представим эту дробь как операцию деления:
Теперь в каждой из скобок произведем сложение:
