Что такое рациональные дроби 8 класс определение

Общие сведения

Математика — наука о числах и действиях над ними. Значение, которое можно записать в виде обыкновенной дроби, называют рациональным. Оно состоит из целого числа в числителе и натурального в знаменателе. Простое выражение можно представить как бесконечную десятичную дробь. Множество рациональных чисел обозначают латинской буквой Q. Если действительное значение не рациональное, оно иррациональное.

Выражения могут быть представлены в нестандартном виде, поэтому приходится выполнять дополнительные преобразования. Это возможно, так как делимое и делитель являются самодостаточными. Упрощения выполняются путём разложения на множители. При этом по возможности следует выполнять действия как для числителя, так и знаменателя. Операции преобразования включают в себя:

Наиболее часто вызывает сложность подбор общего знаменателя. Это приведение основывается на основном свойстве дроби. Согласно ему, умножение на ненулевой многочлен одновременно делимого и делителя не приводит к изменению результата. Отсюда следует, что числитель и знаменатель можно возводить в квадрат, извлекать корень.

Для успешного выполнения действий важно знать формулы сокращённого умножения. Это базисные знания, без которых решать рациональные дроби в 8 классе будет невозможно.

Всего используется 7 теорем: разность кубов и квадратов, произведение разности и суммы, куб суммы и разности, умножение на неполный квадрат. Используя знания, полученные в седьмом классе, многие операции можно выполнять в уме и приводить многочлен к стандартному виду без предварительного раскрытия скобок.

Свойства дроби

Пусть имеется множество, каждому члену которого поставлено в соответствие число игрек. Про такое положение говорят, что множеству задана числовая функция: y = f (x), где x Є D. Описывается область определением функции и обозначается как D (f (x)). Множество можно представить как отношение двух многочленов. Когда в числителе стоит многочлен энной степени, а в знаменателе эмной, то f (x) называют рациональным отношением или дробью.

Такие выражения обладают рядом свойств. Основное из них выражают формулой: P (x)/Q (x) = P (x) * R (x) / Q (x) * R (x). Справедливо оно лишь для случая, при котором множества Q (x) и R (x) неравны нулю, при этом R (x) является многочленом. Формулировка свойства звучит следующим образом: делимое и делитель можно помножить на одинаковое выражение. Например, им может быть число, одночлен или другой многочлен.

К другим свойствам относят:

Если равенство f/g =y/x справедливо, при этом y/x = n/m, верным будет и выражение: f/g = n/m. Отсюда следует, что рациональную дробь можно превратить в обыкновенную, если её делитель и делимое можно умножить или разделить на одинаковый многочлен. Единственное условие — он должен быть отличным от нуля.

Рациональную дробь можно представить в виде суммы. Выполняют это действие, основываясь на правиле сложения или вычитания выражений с одинаковыми знаменателями. Например, k * m — k / k+1 = 1/k + (k2 * m — k2 — k — 1) / (k2 + k).

Из свойств рациональных отношений следует, что для вычитания их друг из друга нужно привести члены к общему знаменателю и найти разность числителей. Аналогично поступают и для операции сложения, только вычитание в числителе заменяют складыванием. Произведение же находится простым перемножением делимых и делителей. А вот деление выполняют по-другому. Чтобы найти частное, нужно первое выражение умножить на обратную вторую дробь. Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно в неё возвести числитель и знаменатель. По тому же принципу извлекают и корень.

Понимая, как правильно использовать приведённые свойства, решать задания на контрольной работе в школе будет несложно. Но перед сдачей теста необходимо попрактиковаться в самостоятельном решении.

Изменение знака

Следует отметить, что приём по изменению знака часто используют при разложении рациональных отношений на простейшие дроби. Например, (2×3 — 3) / (- x3 — x). Так как степень числа в числителе меньше чем в знаменателе, нужно использовать разложение. Причём в другом случае пришлось бы применять деление для нахождения целой части. Для удобства действия выражение нужно умножить на минус единицу. В результате несложно будет определить верность равенства: 2×3 + 3 / (x3 + x) = 2 + (-2x + 3) / (x3 + x).

Решение примеров

Самостоятельное решение рациональных дробей в алгебре в 8 классе строится на цепочке преобразований. Первое, что нужно сделать — оценить возможность разложения отношения на множители. Для этого лучше использовать формулы сокращённого умножения или дискриминант. Алгоритм преобразований можно представить в следующем виде:

Вот 3 типовые задачи, которые обычно предлагают решить студентам при сдаче зачёта:

При упрощении рациональных отношений сложность связана с тем, что не всегда просто найти общий множитель для числителя и знаменателя. Причём он и не всегда существует, поэтому и нужно пробовать разложение на множители. Если такого члена нет, дробь упростить нельзя.

Источник

Математика

Урок 1: Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида a b называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

Дробь a b равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство a b = ac bc .

Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

2 x 7 y = 2 x · 5 y 2 7 y ∙ 5 y 2 = 10 x y 2 35 y 3

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Источник

ПОНЯТИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ 8 класс (алгебра)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Понятие рациональной дроби

Цели: ввести понятия «дробное выражение» и «рациональная дробь»; формировать умение находить значения рациональных дробей при заданных значениях переменных.

I. Организационный момент.

– Назовите дробь, соответствующую данному частному:

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника, обращая внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для контроля предложить учащимся задание на распознавание различных рациональных выражений.

З а д а н и е. Какие из следующих рациональных выражений являются целыми, а какие – дробными?

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

– Какие из дробных выражений являются рациональными дробями?

З а м е ч а н и е. Вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в рациональное выражение, целесообразно подробно изучить на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

При вычислениях необходимо следить, чтобы учащиеся грамотно и подробно выполняли все записи.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

; а = –3, b = –1.

1,5.

В случаях затруднения учащихся при выполнении этих заданий нужно напомнить им, что для выражения переменной из формулы достаточно рассматривать эту переменную как неизвестную величину.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое выражение называется целым? дробным?

– Как называются целые и дробные выражения?

– Что такое рациональная дробь?

– Всякая ли рациональная дробь является дробным выражением? Приведите примеры.

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Домашнее задание: № 2, № 5 (б), № 6, № 7 (б).

Источник

Рациональные дроби. 8 класс

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Рациональные дроби. Тест 8 класс

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 1 3 2 4

1.Какое из данных выражений является целым? №2 решение 4 3 2 1 1 И 5 1,2,4 и 5 все Другой ответ

1.Какое из данных выражений является целым? Целыми выражениями являются: 1,2,4 и 5 в них нет деления на переменную. Ответ: 2

2.При каких значениях х дробь имеет смысл? №3 решение 4 3 2 1 Другой ответ

2.При каких значениях х дробь имеет смысл? При любом х Ответ: 2

3.Сократите дробь №4 решение 1 2 3 4 Другой ответ

3.Сократите дробь Ответ: 1

4.Представьте в виде дроби со знаменателем №5 решение 4 1 2 3 Другой ответ

4.Представьте в виде дроби со знаменателем Ответ: 4

5.Выполните вычитание №6 решение 4 3 2 1 Другой ответ

5.Выполните вычитание Ответ: 4

6. Представьте выражение в виде дроби. №7 решение 1 3 2 4 Другой ответ

6. Представьте выражение в виде дроби. Ответ: 1

7. Упростите выражение №8 решение 3 4 2 1 Другой ответ

7. Упростите выражение Ответ: 2

8. Упростите выражение №9 решение 3 4 2 1 Другой ответ

8. Упростите выражение Ответ: 2

9. При каком р точка А(0,2;-6) принадлежит графику обратной пропорциональности №10 решение 4 3 2 1 Другой ответ

9. При каком р точка А(0,2;-6) принадлежит графику обратной пропорциональности х=0,2, у=-6 Подставим х и у в уравнение Получим: Ответ:1

10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4

10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции Гипербола, ветви которой расположены в 1 и 3 четвертях, т.к. 2>0 Следовательно это 1 график Ответ: 1 В начало

2-вариант 1.Какое из данных выражений является дробным? 1 2 3 4 2 И 3 3 все Другой ответ

2.При каких значениях у дробь не имеет смысла? 4 3 2 1 При всех Другой ответ

3.Сократите дробь 4 3 2 1 Другой ответ

4.Представьте в виде дроби со знаменателем 3 4 2 1 Другой ответ

5.Выполните вычитание 1 2 3 4 Другой ответ

6. Представьте выражение в виде дроби. 4 3 2 1 Другой ответ

7. Упростите выражение 4 2 3 1 Другой ответ

8. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ

9. При каком k точка D(-0,4;-6) принадлежит графику обратной пропорциональности 2 3 4 1 Другой ответ

10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4

3-вариант 1.Какое из данных выражений является целым? 1 2 3 4 1 и 3 Ни одного все Другой ответ

2.При каких значениях х дробь имеет смысл? 1 2 3 4 Другой ответ

3.Сократите дробь 1 2 3 4 Другой ответ

4.Представьте в виде дроби со знаменателем 1 2 3 4 Другой ответ

5.Выполните вычитание 1 2 3 4 Другой ответ

6. Представьте выражение в виде дроби. 1 2 3 4 Другой ответ

7. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ

8. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ

9. При каком с точка С(1,3;-5) принадлежит графику обратной пропорциональности 1 2 3 4 Другой ответ

10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4

3-вариант ответы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 4 1 4 1 2 2 2 1

4-вариант 1.Какое из данных выражений является дробным? 1 2 3 4 1,2,4 и 5 3 все Другой ответ

2.При каких значениях х дробь не имеет смысл? 1 2 3 4 Ни при каких Другой ответ

3.Сократите дробь 1 2 3 4 Другой ответ

4.Представьте в виде дроби со знаменателем 1 2 3 4 Другой ответ

5.Выполните вычитание 1 2 3 4 Другой ответ

6. Представьте выражение в виде дроби. 1 2 3 4 Другой ответ

7. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ

8. Упростите выражение 1 2 3 4 Другой ответ

9. При каком с точка А(-3,2;-5) принадлежит графику обратной пропорциональности 1 2 3 4 Другой ответ

10. Выберите рисунок, наиболее точно соответствующий графику функции 1 2 3 4

4-вариант ответы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1 3 4 1 3 3 4 4

Использованная литература Тесты. Математика. 5-11 кл.-М.:ООО «Агенство «КРПА Олимп»»: ООО «Издательство АСТ»,2002г Составители сборника: Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А., Уединов А.Б., Чулков П.В http://open.az/engine/print.php?newsid=76168&news_page=1 http://www.liveinternet.ru/users/4311407/

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-654496

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи

Время чтения: 2 минуты

Исследования вакцины для детей младше 12 лет начнутся с 2022 года

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Апробацию новых учебников по ОБЖ завершат к середине 2022 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Понятие рациональной дроби (8 класс)

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: «Понятие рациональной дроби»

— ввести понятия «дробное выражение» и «рациональная дробь»; формировать умение находить значения рациональных дробей при заданных значениях переменных.

— развивать сообразительность, смекалку учащихся, развивать культуру их речи; развивать познавательную активность учащихся и логическое мышление;

— воспитывать целеустремленность, ответственность, организованность, формировать интерес к изучению математики.

Три четвертых, семь сороковых,
Кто не знает нас как токовых?!
Пять девятых или пять шестых –
Нас изящных, сложных и простых!

-Даны частные, назовите дробь им соответствующую:

Объяснение нового материала

Объяснение проводить согласно пункту учебника, обращая внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для контроля предложить учащимся задание на распознавание различных рациональных выражений.

В тетради зафиксировать:

Выписать из предложенных выражений, какие являются целыми, какие дробными

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

IV. Формирование умений и навыков.

При вычислениях необходимо следить, чтобы учащиеся грамотно и подробно выполняли все записи.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

; а = –3, b = –1.

1,5.

1. Вертикальные движения глаз вверх – вниз.

2. Горизонтальное движение вправо – влево.

3. Вращение глазами по часовой стрелке и против.

4. Закрыть глаза и представить по очереди цвета радуги как можно отчётливее.

5. Глазами нарисовать кривую, изображающую бесконечность, несколько раз, сначала в одном, затем в другом направлении.

В случаях затруднения учащихся при выполнении этих заданий нужно напомнить им, что для выражения переменной из формулы достаточно рассматривать эту переменную как неизвестную величину.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое выражение называется целым? дробным?

– Как называются целые и дробные выражения?

– Что такое рациональная дробь?

– Всякая ли рациональная дробь является дробным выражением? Приведите примеры.

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Домашнее задание: № 2, № 5 (б), № 6, № 7 (б).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1423419

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки

Время чтения: 1 минута

Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов

Время чтения: 3 минуты

Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник