Что такое равномерная сходимость

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Пусть функции $f_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$ и пусть $x_ <0>\in E$. Если числовая последовательность $\(x_<0>)\>$ сходится, то последовательность функций $\(x)\>$ сходится в точке $x_<0>$.

Последовательность $\(x)\>$, сходящуюся в каждой точке $x \in E$, называют сходящейся на множестве $E$. В этом случае на множестве $E$ определена функция $f(x)$, значение которой в любой точке $x \in E$ равно пределу последовательности $\(x)\>$. Эту функцию называют предельной функцией последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$ и пишут
$$
\lim_f_(x) = f(x),\ x \in E,\label
$$
или
$$
f_(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или, короче,
$$
f_ \xrightarrow[E]<> f.\nonumber
$$

По определению предела запись \eqref означает, что
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_<\varepsilon>(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 1.

Найти предельную функцию $f(x)$ последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, если:

Сходимость функционального ряда.

Пусть функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$ и пусть для каждого $x \in E$ существует конечный предел последовательности $\(x)\>$, где $S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)$. Тогда ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называют сходящимся на множестве $E$.

Если $S(x)$ — предельная функция последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, то есть
$$
\lim_S_(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber
$$
то функцию называют $S(x)$ суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>u_(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Например, если $u_(x) = x^$, $E = (-1,1)$, то $S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^><1-x>$, $S(x) = \displaystyle\frac<1><1-x>$. Если в каждой точке $x \in E$ сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>|u_(x)|$, то ряд \eqref называют абсолютно сходящимся на множестве $E$.

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Последовательность функций
$$
$x)\>\nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E$ к функции $f(x)$, если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n \geq N_ <\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 2.

Доказать, что последовательность $\(x)\>$ равномерно сходится на множестве $E$, и найти ее предельную функцию $f(x)$, если:

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Чтобы последовательность функций $\(x)\>$, определенных на множестве $E$, сходилась равномерно на этом множестве к функции $f(x)$, необходимо и достаточно, чтобы
$$
\lim_ \sup_ |f_(x)-f(x)| = 0.\label
$$

$\circ$ Обозначим $\sigma_ = \displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)|$. Тогда условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists n_<\varepsilon>: \forall n \geq n_ <\varepsilon>\rightarrow \sigma_ 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\rightarrow |f_(x)-f(x)| Пример 3.

Доказать, что последовательность $\(x)\>$ сходится равномерно на множестве $E$, и найти предельную функцию $f(x)$, если:

(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Чтобы последовательность функций $\(x)\>$ сходилась равномерно на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| Доказательство.

$\circ$ Необходимость. Пусть $f_(x) \rightrightarrows f(x)$, $x \in E$. Тогда по определению равномерной сходимости
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$, где $f_(x) = \displaystyle\frac<\ln nx><\sqrt>$, не является равномерно сходящейся на множестве $E = (0, 1)$.

$\vartriangle$ Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $p = k = n$, $\tilde = 1/k = 1/n$. Тогда
$$
|f_(\tilde)-f_(\tilde)| = \left|f_<2n>(\frac<1>)-f_ (\frac<1>)\right| = \left|\frac<\ln 2><\sqrt<2>>-\ln 1\right| = \frac<\ln 2><\sqrt<2>> = \varepsilon_<0>,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность $\(x)\>$ не является равномерно сходящейся на $E$. $\blacktriangle$

Если существует предельная функция $f(x)$ последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, но не выполняется условие \eqref, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то говорят, что последовательность $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к функции $f(x)$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве $E$ последовательность $\(x)\>$, если:

Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\sup_|f_(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $f(x)$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность $f_(x) = n^<2>x^<2>e^<-nx>$, $E = (0, 2)$.

$\vartriangle$ Предельная функция $f(x) = 0$, $x \in E$. Так как уравнение $f_‘(x) = n^<2>xe^<-nx>(2-xn)$ имеет на интервале (0,2) единственный корень $x_ = 2/n$, причем $f_‘(x) > 0$ при $x \in (0, x_)$ и \(f_‘(x)

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$. Обозначим
$$
S_(x) = \sum_^u_(x).\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называется равномерно сходящимся на множестве $E$, если на этом множестве определена функция $S(x)$ такая, что
$$
S_(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label
$$

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |r_(x)| 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |r_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
или
$$
\sup_|r_(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то ряд \eqref сходится неравномерно на множестве $E$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$, если:

(критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд \eqref равномерно сходился на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^ u_(x)\right| Доказательство.

$\circ$ По определению равномерная сходимость ряда \eqref на множестве $E$ означает равномерную сходимость последовательности $\(x)\>$ на $E$.

Согласно теореме 2 $S_(x) \rightrightarrows S(x)$ на $E$ тогда и только тогда, когда
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S_(x)| 0: \forall m \in \mathbb\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb\ \exists\ \tilde \in E: \left|\sum_^ u_(\tilde)\right| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве $E$. В частности, если
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall n_ <0>\in \mathbb:\ \forall n \geq n_<0>\ \exists\ x_ \in E: |u_(x_)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве $E$.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ не является равномерно сходящимся на множестве $E$, если:

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Если для функционального ряда \eqref можно указать такой сходящийся числовой ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, что для всех $n \geq n_<0>$ и для всех $x \in E$ выполняется условие
$$
|u_(x)| \leq a_,\label
$$
то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$.

$\circ$ Согласно условию \eqref для любого $n \geq n_<0>$, любого $p \in \mathbb$ и для каждого $x \in E$ выполняется неравенство
$$
\left|\sum_^u_(x)\right| \leq \sum_^|u_(x)| \leq \sum_^a_.\label
$$
Из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \rightarrow \sum_^a_ Следствие.

Если сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, где $a_ = \sup_|u_(x)|$, то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ сходится равномерно на множестве $E$, если:

Признак Дирихле.

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_(x)b_(x),\label
$$
сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:

Условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |a_(x)| Пример 10.

Доказать, что при $\alpha > 0$ ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<\sin nx>>,\label
$$
сходится равномерно на множестве $E = [\delta, 2\pi-\delta]$, где \(0 Решение.

$\vartriangle$ Если $\alpha > 1$, то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на $\mathbb$, так как $|\sin x| \leq 1$, а ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1>>$, где $\alpha > 1$, сходится.

Признак Абеля.

Ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:

$\circ$ Обозначим $B_^<(n)>(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)$. Тогда ряд \eqref в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\forall j \in \mathbb\ \rightarrow |B_^<(n)>(x)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^a_(x)b_(x)\right|

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке $[a, b]$ функции, а ряд \eqref сходится равномерно на $[a, b]$, то его сумма $S(x)$ также непрерывна на отрезке $[a, b]$.

$\circ$ Пусть $x_<0>$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$. Для определенности будем считать, что $x_ <0>\in (a, b)$.

Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x)\nonumber
$$
непрерывна в точке $x_<0>$, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \rightarrow |S(x)-S(x_<0>)| 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_(x)| 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \subset [a, b] \rightarrow |S_>(x)-S_>(x_<0>)| Замечание 1.

Если последовательность $\(x)\>$ непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций равномерно сходится на $[a, b]$, то ее предельная функция $S(x)$ также непрерывна на отрезке $[a, b]$.

$\circ$ Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. $\bullet$

Почленное интегрирование функционального ряда.

Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке $[a, b]$ функции, а ряд \eqref сходится равномерно на $[a, b]$, то ряд
$$
\sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\label
$$
также равномерно сходится на $[a, b]$, и если
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
то
$$
\int\limits_a^x S(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_a^x u_(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\label
$$
то есть ряд \eqref можно почленно интегрировать.

$\circ$ По условию ряд \eqref сходится равномерно к $S(x)$ на отрезке $[a, b]$, то есть $S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x) \rightrightarrows S(x)$, $x \in [a, b]$. Это означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \in N_<\varepsilon>\ \forall t \in [a, b] \rightarrow |S(t)-S_(t)| Замечание 2.

Равенство \eqref остается в силе, если заменить $a$ на $c$, $x$ на $d$, где $a \leq c \leq d \leq b$, то есть ряд \eqref можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке $[c, d] \subset [a, b]$.

Если $S_(t) \rightrightarrows S(t)$, $x \in [a, b]$, а каждая из функций $S_(t)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то
$$
\int\limits_>^x S_(t)\ dt \rightrightarrows \int\limits_>^x S(t)\ dt,\quad x \in [a, b],\nonumber
$$
для любой точки $x_ <0>\in [a, b]$.

$\circ$ Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. $\bullet$

Почленное дифференцирование функционального ряда.

Если функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, имеют непрерывные производные на отрезке $[a, b]$, ряд
$$
\sum_^<\infty>u_‘(x),\label
$$
сходится равномерно на отрезке $[a, b]$, а ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
сходится хотя бы в одной точке $x \in [a, b]$, то есть сходится ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x_<0>),\label
$$
то ряд \eqref сходится равномерно на отрезке $[a, b]$, и его можно почленно дифференцировать, то есть
$$
S'(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label
$$
где
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x),\label
$$

$\circ$ Обозначим через $\tau(x)$ сумму ряда \eqref, то есть
$$
\tau(x) = \sum_^<\infty>u_‘(x),\label
$$

По теореме 9 ряд \eqref можно почленно интегрировать, то есть
$$
\int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt,\label
$$
где $x_<0>,\ x \in [a, b]$, причем ряд \eqref сходится равномерно на отрезке $[a, b]$. Так как $\displaystyle\int\limits_>^x u_‘(t)\ dt = u_(x)-u_(x_<0>)$, то равенство \eqref можно записать в виде
$$
\int\limits_>^x \tau(t)\ dt = \sum_^<\infty>v_(x),\label
$$
где
$$
v_(x) = u_(x)-u_(x_<0>).\label
$$
Ряд \eqref сходится равномерно, а ряд \eqref сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке $[a, b]$). Поэтому ряд \eqref сходится равномерно на $[a, b]$ как разность равномерно сходящихся рядов.

Из равенств \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\int\limits_>^x \tau(t)\ dt = S(x)-S(x_<0>).\label
$$

Так как функция $\tau(t)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства \eqref имеет производную, которая равна $\tau(x)$. Следовательно, правая часть \eqref — дифференцируемая функция, а ее производная равна $S'(x)$. Итак, доказано, что $\tau(x) = S'(x)$, то есть справедливо равенство \eqref для всех $x \in [a, b]$. $\bullet$

При условиях теоремы 11 функция $S'(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то есть $S(x)$ — непрерывно дифференцируемая на $[a, b]$ функция.

Если последовательность $\(x)\>$ непрерывно дифференцируемых на $[a, b]$ функций сходится хотя бы в одной точке $x_ <0>\in [a, b]$, а последовательность $\‘(x)\>$ сходится равномерно на $[a, b]$, то последовательность $\(x)\>$ также сходится равномерно на $[a, b]$ к некоторой функции $S(x)$ и
$$
S'(x) = \lim_S_‘(x),\quad x \in [a, b].\nonumber
$$

$\circ$ Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. $\bullet$

Источник

Равномерная сходимость функционального ряда

Содержание

Поточечная сходимость [ править ]

То, как была определена сумма функционального ряда, не учитывает то, что функция — закон соответствия, который каждому [math]x \in E[/math] сопоставляет некоторое число. При этом, все [math]x[/math] фигурировали изолированно.

Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для [math] f [/math] свойство [math]P[/math] может отсутствовать.

Тогда [math]f[/math] будет разрывна в нуле, свойство непрерывности не сохранилось.

Равномерная сходимость [ править ]

Возникает вопрос: «Что ещё надо потребовать от поточечной сходимости, чтобы в пределе [math]P[/math] сохранилось?»

Классическое требование: равномерная сходимость.

Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как их наиболее удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.

Критерий Коши равномерной сходимости [ править ]

[math]\Longrightarrow[/math] Пусть ряд равномерно сходится.

[math]\Longleftarrow[/math] Пусть выполняется условие критерия Коши.

[math]\forall x \in E[/math] для [math]\sum\limits_^\infty f_n(x)[/math] выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем [math]E[/math] определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши, [math]\forall m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_^m f_k(x) \right| \leq \varepsilon[/math]

Значит, определение равномерной сходимости проверено. [math]\triangleleft[/math]

Признак Вейерштрасса [ править ]

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Можно рассматривать [math]\sum\limits_^\infty |f_n|[/math] и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Применим критерий Коши:

[math]\left|\sum\limits_^m f_k(x) \right|[/math] [math]\leq \sum\limits_^m |f_k(x)|[/math] [math]\leq \sum\limits_^m a_k[/math]

[math]\sum\limits_^m a_k \lt +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m \geq n \gt N : \sum\limits_^m a_k \lt \varepsilon[/math]

Признак Абеля-Дирихле [ править ]

1)Частичные суммы [math] S_k(x)= \sum\limits_^k a_n(x) [/math] ряда [math]\sum\limits_^\infty a_n(x) [/math] равномерно ограничены на [math]E[/math] ;

Монотонность последовательности [math]b_n(x)[/math] позволяет при каждом [math]x \in E[/math] записать оценку:

[math] |\sum\limits_^m a_k(x) b_k(x)| \leq 4 max |A_k(x)| * max( |b_n(x)|, |b_m(x)| )[/math]

Источник

Равномерная сходимость

В случае числовых функций переменной это понятие принимает форму геометрического «свидетельства»: график функции f _n «приближается» к графику предела.

Резюме

Определение

Равномерная сходимость

Примечание: введя обозначения

(в котором верхняя граница может априори быть бесконечным), свойство (1) эквивалентно:

Другими словами, ( f _n ) _n равномерно сходится к f на A тогда и только тогда, когда

Некоторые объяснения

Можно задаться вопросом a posteriori, в чем разница между простой сходимостью последовательности функций и равномерной сходимостью. Действительно, последовательность функций ( f _n ) _n просто сходится к f на A, если:

Равномерный критерий Коши

При этом предположении последовательность функций ( f _n ) _n сходится равномерно на A, если (и только если) она удовлетворяет равномерному критерию Коши, а именно:

отсюда (переходя к пределу, когда q стремится к бесконечности)

Это показывает, что сходимость равномерная.

Равномерная сходимость непрерывных функций.

Мы имеем следующий фундаментальный результат:

Или ( наоборот ) разрывная функция не может быть равномерным пределом непрерывных функций.

Фактически, поскольку непрерывность является локальным свойством, равномерной сходимости по «достаточному количеству» частей X достаточно для обеспечения непрерывности предельной функции.

\ mathrm x> .

Его использование является основой следующего комплексного результата анализа :

Отметим также существование следующего результата, обеспечивающего сходимость ряда функций от ряда их производных:

Равномерное расстояние

Затем мы можем переформулировать большую часть вышеперечисленного:

Различные гипотезы о пространствах X и Y могут упростить или обогатить эту ситуацию:

Равномерные критерии сходимости рядов

В этом разделе рассматривается только случай действительных функций действительной переменной.

Критерий Вейерштрасса

Критерий Абеля

Критерий Дирихле

Критерий Дедекинда

Критерий Дюбуа-Реймона

Другой критерий

из которых непосредственным следствием является

Теорема Вейерштрасса

где ℝ [ X ] обозначает множество многочленов с действительными коэффициентами.

Примеры

Примеры функциональных наборов

Набор степенных функций

Примеры серий функций

Ряд степенных функций

Таким образом, эта последовательность функций просто сходится на ] –1; 1 [ к функции S, определяемой

Сходимость неравномерна по ] –1; 1 [ : действительно, остаток порядка n равен

Что такое равномерная сходимость

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Сходимость функционального ряда.

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Признак Дирихле.

Признак Абеля.

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Почленное интегрирование функционального ряда.

Почленное дифференцирование функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда

Содержание

Поточечная сходимость [ править ]

Равномерная сходимость [ править ]

Критерий Коши равномерной сходимости [ править ]

Признак Вейерштрасса [ править ]

Признак Абеля-Дирихле [ править ]

Равномерная сходимость

Резюме

Определение

Равномерная сходимость

Некоторые объяснения

Равномерный критерий Коши

Равномерная сходимость непрерывных функций.

Равномерное расстояние

Равномерные критерии сходимости рядов

Критерий Вейерштрасса

Критерий Абеля

Критерий Дирихле

Критерий Дедекинда

Критерий Дюбуа-Реймона

Другой критерий

Теорема Вейерштрасса

Примеры

Примеры функциональных наборов

Набор степенных функций

Примеры серий функций

Ряд степенных функций

Примечания и ссылки

Смотрите также

Статьи по Теме

Библиография