Что такое равнопеременное движение формула

Равнопеременное движение

В общем случае равноускоренным движением называется движение, при котором вектор ускорения . Напомним, что это означает постоянство как по модулю, так и по направлению.

Примером такого движения является движение тела, брошенного под углом α к горизонту в однородном поле силы тяжести — тело движется с постоянным ускорением , направленным вертикально вниз.

При равноускоренном движении скорость тела определяется формулой:

Примечание. Равнозамедленным можно назвать движение, при котором модуль скорости равномерно уменьшается со временем (если вектора и противонаправлены). Равнозамедленное движение также является равноускоренным.

Перемещение в случае одномерного равноускоренного движения

В случае одномерного равноускоренного движения вдоль координаты x имеет место формула:

,

Криволинейное равноускоренное движение также можно рассматривать как одномерное. В этом случае используется обобщённая координата S, часто называемая путём. Эта координата соответствует длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

,

где a_τ — тангенциальное ускорение, которое «отвечает» за изменение модуля скорости тела.

Из вышеприведенных формул можно получить выражения для определения конечной скорости тела, при известных начальной скорости, ускорении и перемещении:

В случае криволинейного равноускоренного движения имеем:

Аналогичные соотношения можно записать для выражений:

; .

И найти конечную скорость по теореме Пифагора

.

Теорема о кинетической энергии

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

.

Записав аналогичные соотношения для координат y и z и просуммировав все три равенства получим соотношение:

.

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы , а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный момент движения.

Полезное

Смотреть что такое «Равнопеременное движение» в других словарях:

РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ — движение точки, при к ром её касательное ускорение wt (в случае прямолинейного Р. д. всё ускорение w) постоянно. Скорость v, к рую имеет точка через время t после начала движения, и её расстояние s от нач. положения, измеренное вдоль дуги… … Физическая энциклопедия

РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ — движение точки, при котором ее касательное ускорение (в случае прямолинейного равнопеременного движения все ускорение) постоянно … Большой Энциклопедический словарь

равнопеременное движение — движение точки, при котором её касательное ускорение (в случае прямолинейного движения полное ускорение) постоянно. * * * РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ, движение точки, при котором ее касательное ускорение (в случае… … Энциклопедический словарь

Равнопеременное движение — движение точки, при котором её касательное ускорение wτ (в случае прямолинейного Р. д. всё ускорение w) постоянно. Скорость v, которую имеет точка через t сек после начала движения, и её расстояние s от начального положения, измеренное… … Большая советская энциклопедия

РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ — движение точки или тела, при к ром тангенциальное ускорение ат постоянно. При Р. д. за равные промежутки времени Дедьта t значение скорости точки (тела) изменяется на одну и ту же величину Дедьта v = ат Дедьта t … Большой энциклопедический политехнический словарь

РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ — движение точки, при к ром её касательное ускорение (в случае прямолинейного движения полное ускорение) постоянно … Естествознание. Энциклопедический словарь

Равноускоренное движение — в поле тяжести Земли. На рисунке видно, что перемещение складывается из прямолинейного равномерного движения и свободного падения Равноускоренное движение движение, при котором ненулевой вектор ускорения ос … Википедия

Кинематика (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кинематика. Кинематика (греч. κινειν двигаться) в физике раздел механики, изучающий математическое описание (средствами геометрии, алгебры, математического анализа…) движения… … Википедия

Источник

Как сказал.

Вопросы к экзамену

Для всех групп технического профиля

Список лекций по физике за 1,2 семестр

Я учу детей тому, как надо учиться

Часто сталкиваюсь с тем, что дети не верят в то, что могут учиться и научиться, считают, что учиться очень трудно.

Вопрос 4

Равнопеременное движение. Уравнения скорости и перемещения при равнопеременном движении. Графическое представление равнопеременного движения.

Краткий ответ

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением.

Скорость при равноускоренном движении по прямой — это начальная скорость тела плюс ускорение данного тела умноженное на время в пути

Перемещение при равноускоренном движении по прямой — это расстояние пройденное телом по прямой (расстояние между начальной и конечной точками движения)

— Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

— Начальная скорость тела

— Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

— Ускорение тела

— Время движения тела

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

Зависимость скорости от времени. При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости . Графиком является наклонная линия.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости . В координатах зависимость имеет вид . Графиком является ветка параболы.

Развернутый ответ Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным илипеременным движением.

Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости:

Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt:

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением.

Скорость при равноускоренном движении по прямой — это начальная скорость тела плюс ускорение данного тела умноженное на время в пути

Перемещение при равноускоренном движении по прямой — это расстояние пройденное телом по прямой (расстояние между начальной и конечной точками движения)

— Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

— Начальная скорость тела

— Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

— Ускорение тела

— Время движения тела

Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:

— если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.

— если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

Зависимость скорости от времени. При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости . Графиком является наклонная линия.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратной зависимости . В координатах зависимость имеет вид . Графиком является ветка параболы.

Источник

Равнопеременное движение

Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.

Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.

Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;

Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.

Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.

При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.

Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».

Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.

Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.

Равноускоренное движение

Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.

Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.

Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).

Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.

В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.

Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.

Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:

Уравнение движения выглядит так:

\[ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = v_ <0>+ a \cdot t \\ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\end > \]

Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.

Равнозамедленное движение

Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.

Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.

На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.

В начале и в конце пути скорости будут различаться.

Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.

Связь между скоростями выглядит так:

А уравнение движения имеет такой вид:

\[ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\]

Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S = x — x_<0>\), получим:

\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\]

Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = v_ <0>— a \cdot t \\ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\end > \]

Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.

Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси

Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).

А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.

Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».

Запишем связь между скоростями:

Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:

\[ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = — v_ <0>+ a \cdot t \\ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\end > \]

Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.

Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.

Мгновенная скорость

Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.

Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:

Знак ускорения зависит его направления.

Средняя скорость

Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.

Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.

Примечания:

Формула для расчета средней скорости:

\( S_<\text<весь>>(\text<м>) \) ​– полный путь, пройденный телом;

\( t_<\text<полное>> \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.

Источник

Прямолинейное равнопеременное движение

Содержание:

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Прямолинейное равнопеременное движение

Равнопеременное прямолинейное движение. Равнопеременным прямолинейным движением называется дви—жение, при котором за любые равные промежутки времени скорость те-ла изменяется на одинаковую величину и траектория – прямая линия.

Средняя скорость неравномерного движения

Большинство движений, наблюдаемых нами в природе и технике,— движения переменные, то есть неравномерные. Таковы, например, движения автомобиля, трактора, поезда, людей, животных и др.

Для характеристики неравномерного движения на каком-нибудь участке пути вводится понятие средней скорости движения.

Рассмотрим пример. Допустим, что расстояние от Москвы до Горького (440 км) поезд прошёл за 11 час. Движение поезда на всём пути было явно неравномерное: он то ускорял движение, то замедлял и даже останавливался на промежуточных станциях. Но если бы путь в 440 км поезд прошёл за 11 час., двигаясь равномерно, то его скорость была бы: Скорость 40 является средней скоростью неравномерного движения на участке Москва — Горький.

Средняя скорость неравномерного движения на данном участке пути измеряется отношением длины участка пути к промежутку времени, в течение которого этот путь пройден

Но так же рассчитывается и скорость равномерного движения. Следовательно, можно сказать, что средняя скорость неравномерного движения равна скорости такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь и за такой же промежуток времени, как и при данном неравномерном движении.

Если известны время и средняя скорость неравномерного движения на некотором участке пути, то длину этого участка пути можно рассчитать по формуле:

Мгновенная скорость

В каждый момент времени тело движется с определённой скоростью, и каждому моменту времени соответствует определённая точка на траектории.

Рис. 32. К понятию мгновенной скорости.

Скорость, которую имеет тело в данный момент времени или в данной точке траектории, называется мгновенной скоростью.

При равномерном движении тела его скорость во всех точках траектории одинакова. Это и будет его мгновенная скорость. Сложнее дело обстоит е случае неравномерного движения.

Допустим, что тело, двигаясь неравномерно-прямолинейно, за t сек. прошло путь АВ — s (рис. 32). Средняя скорость этого движения Эта скорость, вообще говоря, не характеризует движения в какой-нибудь точке пути С и не-определяет величину скорости в этой точке. Чтобы определить скорость в точке С, поступим следующим образом.

Разобьём весь наш путь АВ на отдельные участки и определим среднюю скорость на участке пути меньшем АВ; затем на участке меньшем и т. д., всё ближе и ближе подходя к точке С. По мере уменьшения участка пути, включающего точку С, а следовательно, и по мере уменьшения промежутка времени, за который этот участок проходится, изменение скорости на нём будет всё меньше и меньше. Движение за такие малые промежутки времени практически будет равномерным; скорость этого движения и можно принять за мгновенную скорость неравномерного движения в заданной точке траектории.

Подобные рассуждения можно провести относительно любой точки, взятой на траектории АВ.

Подкрепим теперь наши общие.рассуждения о мгновенной скорости числовыми данными. Допустим, что четыре наблюдателя определяют скорость автомобиля в момент его прохождения мимо какого-нибудь предмета у дороги. С момента прохождения автомобиля мимо этого предмета все наблюдатели одновременно измеряют пути, пройденные автомобилем от этого предмета за различные промежутки времени. Результаты их наблюдений следующие:
Какая же из полученных величин скорости ближе к мгновенной скорости, которую имел автомобиль, проезжая мимо указанного выше предмета?

Рис. 33. Определение мгновенной скорости на опыте.

Такой скоростью, очевидно, будет скорость, вычисленная из результата измерений четвёртого наблюдателя, так как за 3 сек. автомобиль меньше всего изменил свою скорость. Итак, чем меньше взять промежуток времени, тем точнее можно определить искомую скорость тела в заданный момент времени.

Мгновенную скорость можно определить на опыте. Обратимся к рисунку 33. С наклонной плоскости скатывается тележка с капельницей. По отметкам, оставляемым капельницей, легко установить, что тележка движется неравномерно. Допустим, нам нужно определить мгновенную скорость тележки в какой-либо точке наклонной плоскости, например у её основания С. Для этого к наклонной плоскости в точке С присоединим горизонтальный жёлоб СВ,

Пользуясь капельницей; так же как в опыте, описанном на странице 13, легко установить, что когда тележка проходит точку С, то дальше она на небольшом отрезке пути отточки С движется равномерно. Следовательно, скорость в точке Сбудет такой же, как на всём дальнейшем пути равномерного движения. Отмечая время равномерного движения какой-либо точки на тележке и измеряя пройденный ею путь, можно определить скорость равномерного движения; она и будет искомой мгновенной скоростью в точке С.

Для определения мгновенной скорости в какой-либо другой точке А нужно только поднять горизонтальную часть плоскости СВ на уровень точки А и произвести такие же измерения, как и для точки С.

Мгновенные скорости движения автомобиля отмечаются стрелкой на шкале спидометра.

Ускорение

Среди разнообразных переменных движений встречаются движения, в которых скорость непрерывно возрастает. Такие движения называются ускоренными.

Ускоренно, например, движется поезд, отходящий от станции и постепенно увеличивающий свою скорость, поднимающийся в воздух самолёт, пуля в канале ружья и т. д. В сущности начало всякого движения является движением ускоренным, так как всякое тело, начиная двигаться, не мгновенно „набирает“ свою скорость.

В разных ускоренных движениях скорость изменяется по-разному—в одних быстрее, в других медленнее. Сравним, например, движение поезда при отходе со станции с движением снаряда в стволе орудия при выстреле. Оба эти движения ускоренные. Но в то время как скорость поезда возрастает медленно, скорость снаряда за какие-нибудь сотые доли секунды увеличивается от нуля до сотен метров в секунду.

Таким образом, ускоренные движения отличаются одно от другого быстротой изменёния скорости.

Характеристикой быстроты изменения скорости является особая величина, называемая ускорением. Чем быстрее изменяется скорость движения, тем больше величина ускорения.

Обозначим начальную скорость переменного движения тела а скорость его через t сек. тогда изменение скорости за этот промежуток времени равно Допустим, что скорость движения изменяется равномерно; тогда изменение скорости за одну секунду будет равно:

Величина, измеряемая отношением изменения скорости к тому промежутку времени, за которое это изменение произошло, называется ускорением.

Обозначив ускорение буквой а, мы можем написать:

Пусть, например, в некоторый момент времени скорость пули в стволе винтовки была 100 , а через 0,0014 сек. стала 800 . Значит, за 0,0014 сек. скорость пули изменилась на

800 —100 = 700 .

Ускорение движения пули внутри ствола винтовки будет равно:

или за секунду.

Мы узнали, что ускорение движения пули внутри ствола за секунду. Как это надо представлять себе? Это надо представлять так, что при равномерном нарастании скорость пули за 1 сек. увеличилась бы на . Конечно, это не значит, что пуля внутри ствола на самом деле будет двигаться 1 сек.

Единица ускорения

Установим теперь единицу ускорения. Положив ед. скорости и t=1 ед. времени в формуле получим а = 1 ед. ускорения.

Это значит, что единицей ускорения является ускорение такого движения, при котором за единицу времени скорость изменяется на единицу скорости.

Если измерять скорость в а время в секундах, то единицей ускорения будет ускорение такого движения, в котором за 1 сек. скорость изменяется на Наименование такой единицы ускорения:

Приняв за единицу скорости а за единицу времени 1 сек., мы получим единицу ускорения

Этими двумя единицами чаще всего и измеряют ускорение, но, вообще говоря, за единицу ускорения можно принимать и т.д.

Численное значение ускорения, как и любой другой физической величины, зависит от выбора единиц измерения.

П р и м е р. Ускорение некоторого движения равно Выразить это ускорение в

Равноускоренное движение

Познакомимся с ускоренным движением на опыте.

Рис. 34. Положения шарика через равные промежутки времени при его движении по наклонному жёлобу (отмечены флажками).

Установим наклонно жёлоб и предоставим шарику скатываться по нему. Определим пройденные шариком пути за одну, две, три и т. д. секунды. На рисунке 34 положения шарика на жёлобе в конце каждой из этих секунд обозначены флажками и помечены буквами Расстояние есть путь, пройденный шариком в течение первой секунды, —путь, пройденный шариком в течение второй секунды, —в течение третьей секунды и — в течение четвёртой секунды. Эти расстояния личиваются, следовательно, скорость шарика его движения по наклонному жёлобу возрастала.

Чтобы установить закон возрастания скорости, измерим мгновенные скорости, которые будет иметь центр шарика в конце первой,второй, третьей и т. д. секунды.

Рис. 35. К установлению закона изменения скорости при движении шарика по наклонному жёлобу.

Для этого от нижнего конца наклонного жёлоба вверх по нему (рис. 35) отложим расстояния и проходимые шариком за одну, две, три секунды, и будем скатывать шарик сначала от затем от и, наконец, от

Скатившись с наклонного жёлоба, шарик будет двигаться с разными скоростями, причём во всех случаях на некотором отрезке горизонтального пути движение шарика будет равномерным.

Измерив в каждом случае путь, пройденный шариком по горизонтальной плоскости за 1 сек., мы найдём скорость шарика на участке равномерного движения, т. е. его мгновенную скорость в точке о.

В одном из опытов были получены следующие численные значения мгновенных скоростей шарика:

В этом опыте скорость движения шарика по наклонному жёлобу увеличивалась за 1 сек. на одну и ту же величину (на 20 ), т. е. шарик двигался с ускорением 20

Движение, при котором в любые равные промежутки времени скорость увеличивается на одну и ту же величину, называется равноускоренным.

Движение шарика по наклонному жёлобу есть равноускоренное движение.

Равноускоренное движение является одним из простейших видов ускоренных движений. Для равноускоренного движения, как мы увидим, зависимость скорости и пути от времени можно выразить простыми математическими формулами.

Скорость равноускоренного движения

В равноускоренном движении ускорение на всём протяжении пути не меняется, поэтому равноускоренное движение есть движение с постоянным ускорением.

Скорость в равноускоренном движении каждую секунду увеличивается на одну и ту же величину, численно равную ускорению.

Рассмотрим, как можно рассчитать скорость равноускоренного движения в конце какого-нибудь промежутка времени, если известны начальная скорость и ускорение.

Пусть в начале наблюдения скорость тела, например поезда, равна и поезд движется с ускорением

Чему будет равна скорость поезда через t секунд?

Нам уже известно, что ускорение равноускоренного движения показывает, на сколько возрастает скорость за каждую секунду.

В нашем примере ускорение равно Значит, скорость поезда ежесекундно возрастает на в течение t секунд скорость возрастёт на величину, в t раз большую, т. е. на

Так как в начале наблюдения скорость поезда была равна и через t сек она возросла на то в конце промежутка времени t она будет равна

Если обозначить скорость тела в конце промежутка времени t через то можно написать:

Что изменится, если начальная скорость будет равной, например, и ускорение или соответственно и

Рассуждая по-прежнему, мы получим:

или

Таким образом, алгебраическое выражение для конечной скорости остаётся без изменения. Изменяется только наименование скорости.

Следовательно, конечная скорость равноускоренного движения может быть рассчитана по формуле:

В этой формуле —начальная скорость, а — ускорение и t—время.

Тот же результат можем получить алгебраически из формулы:

о которой говорится в параграфе 19.

Эта формула представляет собой уравнение первой степени. Решим его относительно

Для равноускоренного движения, которое начинается из состояния покоя, поэтому из формулы (1) получим:

Значит, если начальная скорость равна нулю, то мгновенная скорость равноускоренного движения пропорциональна времени.

Пользуясь формулой (3), можно значение вычисленных в опыте § 21 скоростей представить в виде следующей таблицы:

Из этой таблицы видно, что скорость движения шарика по наклонному жёлобу в любой момент времени может быть рассчитана но формуле:

График скорости равноускоренного движения

Рис. 36. Оси координат (ось времён и ось скоростей).

Зависимость скорости равноускоренного движения от времени можно выразить не только алгебраически, но и графически. Для этого возьмём две взаимно перпендикулярные оси координат (рис. 36). Одну из них Ov назовём осью скоростей, а другую Ot— осью времён. Перпендикуляр, опущенный из любой какой-нибудь точки А на ось времён, отсекает на ней отрезок ОВ, численно равный (в выбранном масштабе) некоторому промежутку времени t, а перпендикуляр, опущенный из той же точки на ось скоростей, отсекает отрезок ОС, рав
ный по величине скорости в конце этого промежутка времени.

Из построения видно, что расстояние АВ определяет величину скорости в момент времени t.

Построим сначала график движения без начальной скорости. Пусть, например, ускорение По формуле рассчитаем скорость в конце первой секунды от начала движения, второй, третьей и т. д. и результаты запишем в таблицу.

Начертим оси координат Ov и Ot (рис. 37). На оси времён отложим равные отрезки 0—1. 1—2, 2—3 и т. д., каждый из которых соответствует 1 секунде.

Из концов этих отрезков по данным нашей таблицы (в масштабе 1 см—) отложим мгновенные скорости в конце первой секунды, второй и т. д. Верхние концы A, В, С полученных отрезков соединим. Получим прямую, проходящую через начало координат и наклонённую к осям. Эта прямая и будет представлять собой график скорости равноускоренного движения.

График скорости равноускоренного движения имеет такой же вид, как и полученный нами ранее график пути равномерного движения (рис. 37).

Рис. 37. График скорости равноускоренного движения с начальной скоростью, равной нулю.

Рис. 38. График скорости равноускоренного движения с начальной скоростью, не равной нулю.

В обоих случаях график представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Эго не случайное совпадение. Дело в том, что пройденный путь при равномерном движении и скорость при равноускоренном движении изменяются по одному и тому же закону—прямо пропорционально времени. Закон же прямой пропорциональности, как это доказывается в математике, графически изображается прямой линией.

Построим теперь график для случая, когда начальная скорость не равна нулю, например и Так же, как и в первом случае, но теперь по формуле рассчитаем скорость в конце первой секунды от начального момента отсчёта, в конце второй, третьей и т. д. Результаты запишем в таблицу.

Отмечая соответствующие точки на графике и соединяя их между собой линией, получим график скорости равноускоренного движения с начальной скоростью (рис. 38). Так как скорость увеличивается в каждую секунду на одну и ту же величину, то линия, соединяющая точки А, В, С, D,—прямая, но она не проходит через точку пересечения осей, так как в момент t = 0 скорость тела не равняется нулю.

Графический способ вывода формулы пути равноускоренного движения

В равномерном движении пройденный путь графически изображался площадью прямоугольника, построенного на графике скорости (§ 11).

Рис. 40. К выводу формулы пути, пройденного при равноускоренном движении.

В равноускоренном же движении с начальной скоростью пройденный путь изображается площадью трапеции. Это мы используем для вывода формулы пути равноускоренного движения.

На рисунке 40 график скорости равноускоренного движения изображён прямой АС. Путь, пройденный за время t, на том же рисунке изображается площадью ОАСВ; он численно равен площади ОАСВ. Эта площадь ограничена отрезком прямой АС, представляющим собой график скорости, отрезками

Из рисунка 40 видно, что если к площади прямоугольника ОАМВ прибавить площадь треугольника АСМ, то мы получим площадь S фигуры ОАСВ. Таким образом,

Но OB = AM = t, Отсюда для пройденного пути получим формулу:

или

Для движения без начальной скорости пройденный путь выразится формулой:

По формуле рассчитаем пройденные пути при равноускоренном движении за 1, 2, 3 и т. д. секунды для случая, когда ускорение равно и полученные данные запишем в таблицу.

Из этой таблицы видно, что за две секунды тело пройдёт путь, в 4 раза больший, чем за первую секунду, за три секунды—в 9 раз больший и т. д., т.е. при равноускоренном движении без начальной скорости пройденный путь пропорционален квадрату времени.

Из формулы и из приведенной таблицы следует, что путь, проходимый телом в первую секунду, численно равен половине ускорения. Если, например, поезд, двигаясь от станции, в первую секунду прошёл путь 1,5 м, то ускорение движения его

Средняя скорость равноускоренного движения

Из формулы пути равноускоренного движения легко вывести формулу средней скорости.

Из определения средней скорости следует (см. § 17), что или разделив каждое слагаемое числителя на t, получим:

а преобразуя правую часть написанного равенства, будем иметь:
или

Так как то получим:

Итак, средняя скорость равноускоренного движения за некоторый промежуток времени равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Для случая, когда

В равноускоренном движении скорость движения изменяется равномерно от до Поэтому средняя скорость такого движения равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей:

Уравнения равноускоренного движения

называются уравнениями равноускоренного движения; они выражают зависимость скорости или пути в этом движении от времени.

Этих формул вполне достаточно для решения любой задачи на равноускоренное движение. Однако для упрощения расчётов в задачах, где не дано времени движения, целесообразно пользоваться ещё одной формулой.

Из формулы ускорения (§ 19) время Подставив его формулу получим:

Заменяя её значением и преобразуя полученное выражение, придём к формуле:

откуда

Если начальная скорость равна нулю: то полученная формула (4) примет вид:

Формулами (4) и (5) часто пользуются для решения задач, когда не дано времени движения.

Пути, проходимые в равноускоренном движении за равные последовательные промежутки времени

Воспользуемся таблицей пройденных путей, приведённой на странице 43, и определим пути, проходимые телом в равноускоренном движении без начальной скорости за каждую отдельную секунду.

Пройденный путь за первую секунду от начала движения равен Обозначим его

Чтобы вычислить путь за вторую секунду, надо из пути, пройденного за две секунды, вычесть путь, пройденный за первую секунду:

Пройденный путь за третью секунду найдём, вычитая из пути, пройденного за три секунды, путь, пройденный за две секунды:

Таким же образом найдём, что пути пройденные за четвёртую и пятую секунды, будут равны:

Составим отношение из числовых значений пройденных путей:

Преобразуя правую часть равенства, получим:

Из полученного нами равенства видно, что пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечётных чисел.

Свободное падение тел

Одним из интересных и важных видов движения является движение падающих тел. Изучим это движение на опыте.

Рис. 43. Тело, подвешенное на нити, натягивает нить по вертикали.

Подвесим на нити какое-нибудь тяжёлое тело (рис. 43), нить натянется вдоль определённого направления. Это направление, как известно, называется вертикальным или отвесным, а нить с грузом—отвесом.

Если пережечь нить, тело будет падать по вертикальному направлению.

Выпустим из рук с одинаковой высоты одновременно плашмя металлический кружок и такого же диаметра лёгкий картонный кружок. Мы увидим, что скорее упадёт металлический кружок. Почему? Не является ли причиной этого различие в весе падающих тел?

Такой вывод легко опровергается следующим опытом. Возьмём два одинаковых листа бумаги и, скомкав один из них, уроним оба листа с одинаковой высоты. Мы увидим, что скомканный лист упадёт быстрее. Следовательно, причиной различной скорости падения тел является не только различие в весе тел.

Положим картонный кружок на металлический и выпустим их из рук. Оба кружка упадут в одно и то же время. Этот опыт отличается от первого тем, что условия падения кружков здесь неодинаковы. Металлический кружок, падая, встречает сопротивление воздуха, между тем как для картонного кружка этого препятствия нет: оно устраняется металлическим кружком, падающим впереди картонного. Следовательно, на скорость падения тел влияет сопротивление воздуха.

Рассмотрим теперь, как будут падать тела в отсутствие сопротивления воздуха, в безвоздушном пространстве.

Возьмём стеклянную трубку длиной примерно 1,5 м с одним закрытым концом и с краном на другом конце (рис. 44). В трубку вложены: монета, птичье пёрышко, кусочек пробки, дробинка, т. е. тела разной формы и разного веса. Пока в трубке имеется воздух, упомянутые тела при перевёртывании трубки движутся с разными скоростями. Но стоит только откачать воздух из трубки, и те же тела будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Падение тел в безвоздушном пространстве называется свободным падением.

Галилео Галилей (1564— 1642)—великий итальянский учёный, основатель опытной физики.

Галилей открыл законы падения тел и качания маятника, ему принадлежит идея закона инерции, включённого Ньютоном в число основных законов механики. Галилей изобрёл термометр, первый применил телескоп для астрономических исследований, открыл спутников Юпитера, солнечные пятна и фазы Венеры.

Галилей был ревностным пропагандистом взглядов Коперника, за что был судим судом папской инквизиции и под угрозой пыток вынужден был подписать отказ от своих убеждений. Однако на деле он остался верен им и до конца жизни продолжал развивать учение о гелиоцентрической системе мира.

Падение тел опытным путём впервые изучал в конце XVI в. Галилей, роняя тяжёлые тела с башни (рис. 45). Эти опыты показали, что все тела, независимо от их веса, достигали поверхности земли почти в одно и то же время.

Рис. 45. Наклонная башня, которой пользовался Галилей для изучения законов падения тел.

Законы падения Галилей открыл, изучая движение шарика по наклонному жёлобу. Это движение является тоже падением, только протекающим медленнее, чем падение по вертикали.

Исследования Галилея показали, что свободное падение есть движение равноускоренное.

Особенностью свободного падения является то, что все тела в данном месте падают с одинаковым ускорением. Это ускорение называется ускорением свободного падения,

Ускорение свободного падения обозначается буквой (первая буква латинского слова гравитас, что значит тяжесть).

Так как движение свободно падающего тела есть равноускоренное движение без начальной скорости, то расчёты пути и скорости в этом движении производятся по формулам, выведенным в § 22 и 24.

Так, если тело падает с высоты h в течение времени t, то

При этом тело достигает скорости

v = gt или

Величину g можно определить опытным путём, например заставляя стальной шарик падать с определённой высоты и измеряя время падения. Сопротивление воздуха, которое испытывает при этом шарик, незначительно.

При проведении одного такого опыта в пролёте школьной лестницы с высоты 17,6 м падал стальной шарик. Секундомер показал время падения 1,9 сек. По формуле нашли, что

Существуют, конечно, способы, позволяющие определить величину g значительно точнее, чем мы это делали в школе.

Численное значение g на разных широтах земного шара различно и колеблется между на полюсах и на экваторе; для Москвы

Ускорение свободного падения называют нормальным.

Причины, вызывающие различие в ускорениях свободного падения тел, будут рассмотрены далее.

В расчётах, если не требуется особой точности, пользуются значением g, равным или или даже

Равнозамедленное движение

На рисунке 47 изображено движение шарика от толчка вверх по наклонному жёлобу.

Рис. 47. Движение шарика вверх по наклонному жёлобу.

Флажками отмечены положения шарика через одну, две, три секунды от начала движения. Расстояние между флажками, а следовательно, и пути, проходимые шариком за равные промежутки времени, уменьшаются. Значит, движение шарика замедленное.

Простейшим видом замедленного движения является движение равнозамедленное.

В равнозамедленном движении скорость за любые равные промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину.

При этом ускорение, вычисляемое по формуле:

окажется отрицательной величиной, так как меньше Пусть, например, скорость поезда при равнозамедленном движении за t= 10 сек. уменьшилась с до в таком случае ускорение

Равнозамедленное движение есть движение с постоянным отрицательным ускорением.

Чтобы получить формулы скорости и пути для равнозамедленного движения, достаточно в аналогичных формулах равноускоренного движения заменить а на — а.

Тогда формула скорости будет:

для пройденного же пути получим:

Равноускоренное и равнозамедленное движения часто называют равнопеременными движениями, так как в обоих этих движениях скорость изменяется равномерно.

Многие движения весьма близки к равнопеременным и при различных расчётах могут быть приняты за равнопеременные. Так, движения поездов и автомобилей при отходе их от остановки и при торможении, движение пули внутри ствола и многие другие могут рассматриваться как равнопеременные.

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Примером замедленного движения (очень близкого к равнозамедленному) может служить движение тела, брошенного вертикально вверх.

Действительно всякое тело свободно падает с ускорением g, направленным вертикально вниз. Вследствие этого при движении тела вертикально вверх его скорость ежесекундно уменьшается на величину, численно равную ускорению свободного падения. Брошенное вертикально вверх тело движется равнозамедленно до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. В этот момент тело достигает наибольшей высоты и с этой высоты начинает свободно падать, двигаясь обратно вниз.

Формулы для подсчёта скорости и пути движения тела, брошенного вертикально вверх, для любого момента времени будут:

где h—высота, на которую поднимается тело за время t.

Формулу для расчёта высоты h можно также получить, рассматривая движение тела, брошенного вертикально вверх, как сложное движение, состоящее из двух движений: из движения равномерного, направленного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью, и из свободного падения. Оба движения происходят по одной прямой; поэтому пройденный телом путь за некоторый промежуток времени будет равен алгебраической сумме путей, пройденных в каждом отдельном движении.

Обозначим скорость, с которой тело брошено вертикально вверх, через Двигаясь только с этой скоростью равномерно, тело за t сек. могло бы подняться на высоту Но оно одновременно, свободно падая, в течение того же времени t опускается вниз на расстояние Действительная высота h, на которую поднимается тело вверх за t сек., будет равна или:

Рассмотрим следующий пример. Пусть тело брошено вертикально вверх со скоростью Для упрощения расчётов положим Определим, на какой высоте будет находиться тело через 3 сек. от начала движения. По формуле (2):

Так как в момент времени, когда тело достигает наибольшей высоты, то время полёта определится из уравнения (1):

отсюда

Чтобы определить наибольшую высоту, на которую поднимается тело, подставим найденную величину t в уравнение (2), определяющее h:

Найдём теперь, с какой скоростью тело, падая с этой высоты, вернётся к начальному своему положению. Так как тело, падая, будет двигаться равноускоренно без начальной скорости и пройдёт расстояние h, то скорость его будет равна:

т. е. скорость, с которой тело вернётся в то же место, откуда оно было брошено, равна первоначальной скорости (если не учитывать сопротивления воздуха).

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник