Что такое равносильное уравнение с целыми коэффициентами
Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Основные равносильные преобразования уравнений:
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)
Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.
Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.
Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.
\(↑\) не подходит под ОДЗ
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида \(a^
Равносильные уравнения, преобразование уравнений
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.