Равносильные логические выражения

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

Правила выполнения операций над константами

(свойства операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции )

Закон двойного отрицания

Двойное отрицание исключает отрицание.

Законы коммутативности (переместительный закон)

Результат операции над высказываниями не зависит от того,

в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре: а+ b = b +а, а* b = b *а.

Законы ассоциативности (сочетательный закон)

Переменные можно группировать в любом порядке, как для

операции конъюнкции, так и для операции дизъюнкции.

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или

В обычной алгебре: (а+ b )+с=а+( b +с)=а+ b +с,

Распределительные (дистрибутивный) законы

В алгебре логики допускается вынесение общего высказывания

В обычной алгебре справедлив распределительный закон

только для сложения: (а+ b )*с=а*с+ b *с.

Законы общей инверсии (законы де Моргана)

Описывает эффект отрицания переменных, связанных

Используя формулы де Моргана, можно всякую сложную

формулу записать так, чтобы знак отрицания распространялся

только на простые высказывания, входящие в эту формулу.

Закон означает отсутствие показателей степени.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

Закон исключения третьего

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же

предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего

Законы исключения (склеивания)

Закон контрапозиции (правило перевертывания)

Поскольку переменные в алгебре логики принимают только два значения, такая процедура оказывается вполне допустимой.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Источник

Что такое равносильное выражение

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

1. Логические выражения и логические операции

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Введем перечисленные логические операции.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Источник

Равносильные логические выражения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Логические выражения называются равносильными, если их итоговые значения совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

В алгебре логики есть законы, которые позволяют выполнять равносильные преобразования логических выражений. Примеры соотношений, которые отражают эти законы.

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения равносильны

Составим таблицы истинности для этих выражений

Результирующие столбцы левого и правого выражений совпадают, значит, эти выражения равносильны.

Доказать, при помощи таблиц истинности, что операция эквивалентности равносильна выражению

$А \leftrightarrow В$ = ($А \cup \overline<В>$) & ($\overline <А>\cup В$)

Результирующие столбцы левого и правого выражений совпадают, значит, эти выражения равносильны.

Упростить логическое выражение:

Чтобы проверить, верно ли выполнено задание, надо проверить, являются ли исходное и полученное выражения равносильными, составим таблицы истинности для этих выражений:

Результирующие столбцы исходного и полученного выражений совпадают, значит, эти выражения равносильны, и упрощение выполнено правильно.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата написания статьи: 01 04 2016

Источник

Презентация по математике «Равносильные выражения»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Неизвестно, что человек ещё выдумает: голова круглая Творите и у вас все получится!

Повторим Цифра сотен трехзначного числа – 4, цифра единиц – 3. Зная, что это число кратно 9, определите его цифру десятков. 423

Повторим 9 делитель числа 423 423 делится на 9

Повторим 423; 408; 393; 378; …. Определите закономерность и продолжите ряд 363, 348,333

Что мы сейчас повторили? Признак делимости на 3 Простые делители Выражения Все эти знания пригодятся сегодня Вам! А что мы будем выполнять следующим пунктом? С какой целью мы будем его выполнять?

Пробное задание а) Число 333 имеет три простых делителя. б) Число 333 имеет шест делителей. в) Число 333 делится на 3. г) Число 333 делится на 3 и на 37. д) Число 3 является делителем 333. е) Число 333 кратно 3. ж) Число 333 можно представить в виде произведения 3k (k N). з) Число 333 – составное.

Возникло затруднение? Никогда не бывает больших дел без больших трудностей. Вольтер

Что же дальше? Тема урока : Равносильные выражения

Новый способ нахождения НОД и НОК Как мы будем искать ответы?

Равносильные выражения План работы: Определите, из каких слов состоит новое понятие подберите синонимы к понятию сформулируйте признаки равносильных утверждений подберите знак, которым можно заменить слово «равносильность» приведите один не математический и один математический пример равносильный утверждений

Два предложения, означающие одно и то же, называют равносильными утверждениями Равносильные выражения

Для обозначения равносильных предложений используют знак равносильности:  Равносильные выражения

Спасибо за урок! Продуктивной работы дома! Домашнее задание: №№ 818 (два уравнения на выбор); 819. Необязательное задание: № 820.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Презентация разработка к уроку математики на тему Равносильные выражения.

Дети самостоятельно должны сформулировать тему урока на основе пробного задания, которое строиться на повторенных темах.

В презентации реализован деятельностный метод обучения.

-освоение новой темы

Главная мысль, которая должна быть озвучена в конце урока:

Также в данной презентации происходит первичное знакомство с кванторами, используемыми в математическом языке.

Номер материала: 156136

Не нашли то что искали?

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Трехлетнюю олимпиаду среди школ запустят в России в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

Исследования вакцины для детей младше 12 лет начнутся с 2022 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Что такое равносильное выражение

Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

1) любая высказывательная переменная – формула;

3) только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

Например: или . Скобки указывают порядок выполнения действий.

Скобки в формулах можно опускать, придерживаясь следующего порядка выполнения действий: коньюнкция, дизьюнкция, импликация и эквиваленция.

Логическое значение формулы полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний.

При x = 1, y = 1, z = 0 формула

Логическое значение формулы изменяется в зависимости от изменений значений элементарных высказываний, входящих в формулу. Все возможные логические значения формулы могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.

Таблица истинности логических значений формулы будет следующая:

Если формула содержит n элементарных высказываний, то она принимает 2 n значений. Таблица истинности будет содержать 2 n строк.

Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений, входящих в формулы элементарных высказываний.

Следующие формулы являются равносильными:

Формула А называется тождественно истинной (или тавтологией ), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Следующие формулы являются тавтологиями: ,

Формула является тождественно ложной.

Отношение равносильности обладает следующими свойствами: оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула – тавтология, и обратно, если формула – тавтология, то формулы А и В равносильны.

Равносильности алгебры логики используются для того, чтобы любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой.

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

1. Основные равносильности

Пусть А ≡ при x = 1, значение А = 1, при х = 0, значение А = 0. Итак во всех случаях значения формулы А совпадают со значениями х, следовательно, А ≡ х.

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

Замечание. Формулы 5 и 6 получаются из 3 и 4, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.

Докажем формулы 1–4.

1) при одинаковых логических значениях x и y формулы , и – истинны, следовательно, истинной будет и коньюнкция т. е. обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

2) пусть хотя бы одна из переменных x или y принимает значение ложь, тогда тоже ложь, а – истина. В то же время отрицание хотя бы одной из переменных будет истинным, следовательно, будет истиной и дизьюнкция .

Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: коньюнкцию и отрицание или дизьюнкцию и отрицание.

3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики

– комм утативность коньюнкции и дизьюнкции.

При х = 1, формулы , и будут истинны, тогда и – тоже истинна.

При х = 0, ≡ , ≡ ≡ следовательно,

Таким образом, обе части формулы 6 равносильны одной и той же формуле и поэтому принимают одинаковые логические значения. Что и требовалось доказать.

Равносильности 3-ей группы выражают основные законы алгебры логики: коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность (относительно логических операций – коньюнкции и дизьюнкции). Эти же законы имеют место в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел, т. е.

1) раскрытие скобок;

2) заключение в скобках;

3) вынесения за скобки общего множителя.

Кроме этих преобразований над формулами алгебры логики можно производить и преобразования, основанные на использовании равносильностей.

Равносильные преобразования формул используют

1) для доказательства равносильностей,

2) для приведения формул к заданному виду,

3) для упрощения формул.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций коньюнкции и дизьюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

1. Доказать равносильность

2. Упростить формулу

3. Доказать тождественную истинность формулы

Источник