Что такое разбиение множества на классы

Разбиение множества на классы.

Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) любые два подмножества попарно не пересекаются;

2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества.

Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса.

Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

Пример 5. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Решите задачу используя круги Эйлера: В группе английский язык изучают 15 студентов, немецкий – 10 студентов, а французский – 5, причем 3 студента изучают одновременно английский и немецкий языки, 2 студента изучают одновременно английский и французский языки, 1 студент изучает одновременно французский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? немецкий язык? французский язык?

1. Указать какие теоретические знания были использованы в ходе выполнения работы.

2. Указать какие умения и навыки были приобретены в ходе выполнения работы.

1) Какое множество называется конечным? пустым?

2) Что называется пересечением двух множеств?

3) Что такое диаграмма Эйлера-Венна?

4) Известно, что А – множество спортсменов группы, В – множество отличников группы. Сформулируйте условия, при которых: а) А∩В=Ø б)АUВ=А.

Источник

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается

на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Источник

§5. Разбиение множества на классы

Определение. Разбиением множества А на подмножества (классы) называется система его непустых подмножеств, обладающая следующими свойствами:

1) объединение всех подмножеств этой системы равно множеству А;

2) никакие два различные подмножества не содержат общих элементов.

Графическое изображение разбиения множества изображено на рисунке 7.

Множество А разбито на пять классов А1, А2, А3, А4, А5.

Первое условие, накладываемое на систему подмножеств, которая является разбиением множества А, означает, что каждый элемент из множества А входит в какое–нибудь подмножество системы; другое условие означает, что каждый элемент из А входит только в одно подмножество системы.

Пример 1. Будем рассматривать множество учеников школы. Школа состоит из классов: 1, 2, 3, …, 11. Совокупность классов является разбиением, так как объединение учеников всех классов дает множество учеников школы, и никакие два класса не пересекаются: один и тот же ученик не может учиться в двух разных классах.

Отметим, что не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества.

Пример 3. Рассмотрим множество параллелограммов и выделим в нём следующие подмножества: а) прямоугольников, б) ромбов, в) параллелограммов с неравными сторонками и непрямыми углами. Будет ли это разбиением? Нет, потому что квадраты попадают в множество а) и в множество б).

Таким образом, разбиение связано с выделением из множества его подмножеств. Но, чтобы выделить подмножества, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

При помощи одного свойства осуществляется разбиение множества, вообще, на 2 класса, при помощи двух свойств — на 4 класса, при помощи трех свойств — на 8 классов, при помощи свойств — на классов. В частных случаях может получиться меньше классов, так как некоторые из подмножеств оказываются пустыми.

Источник

Декартово произведение. Разбиение множеств на классы

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

КАРТА – СХЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Тема занятия: Декартово произведение и разбиение множеств на классы

расширить знания студентов с темы действия с множествами, рассмотреть Декартово произведение, разбиение множеств на классы;

способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;

создать условия для применения полученных знаний при выполнении расчетных заданий.

Необходимое аппаратное и программное обеспечение:

Карточки с заданиями самостоятельной работы

Тип и вид учебного занятия:

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

Содержание и виды деятельности преподавателя

1. Организационный этап

Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.

2. Актуализация ЗУН

— Что такое множество? Что означает задать множество?

— Способы задания множеств

— Что такое подмножество?

-какие действия выполняем над множествами?

— Что такое пересечение? Объединение?

— Какие свойства пересечения, объединения?

Самостоятельная работа (с взаимопроверкой)

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

Найдите а)(А∩В)∩С; б) )(АВ)С; в) (А В)∩С

3. Изучение нового материала

— разбиение множеств на классы

4. Первичное закрепление

Практическое выполнение заданий

5. Информация о домашнем задании

Методические рекомендации для самостоятельной работы

6. Подведение итогов урока

Подведение итогов работы группы, отдельных студентов.

Корректирование пробелов знаний.

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.

Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А=<1, 2, 3> и образовывали всевозможные пары.

Рассмотрим другой пример. Пусть А=<1, 2, 3>, B=<4, 5>. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аА, bВ. Получим некоторое новое множество <(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)>, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АВ. Таким образом АВ = <(x;y) | xA, yB>.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Количество пар в декартовом прoизведении АВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(АВ)=n(A)n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А, А,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – А, …, n-ая – множеству А: АА…A.

Пусть даны множества А=<2, 3>; А=<3, 4, 5>; A=<7, 8>. Декартово произведение ААА=< (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)>.

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Примеры

Приведем несколько примеров разбиения:

1. Множество четырехугольников разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

2. Множество четырехугольников разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат – частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества не получено.

3. Дано множество прямых в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .

4. Дано множество , которое можно разделить на два класса: и , где – множество натуральных четных чисел, а – множество натуральных нечетных чисел.

5. Множество разбито на три класса: , и . множество чисел, которые делятся на , – множество чисел, которые делятся на , множество чисел, которые делятся на . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на , и . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.

Решение. Элементами множества А₁´ А₂ ´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А_1, вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

Пример 2. Пусть на множестве Х= <3, 5, 7>задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение XX. Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».

Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:

Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:

В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX. Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения W XX.

Пусть заданы два множества: X = <2, 6, 1>, Y = <7, 4, 8>.

Декартово произведение двух множеств равно:

Источник