Что такое разложение на множители 7 класс алгебра

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:

В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.

Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.

Рассмотрим следующий многочлен:

Далее в многочлене ax + ay + 3 x + 3 y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:

Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»

Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:

Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:

Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.

В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a

Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)

Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b 2 − 3a на множители способом группировки.

Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)

Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)

Пример 4. Разложить многочлен x 2 y + x + xy 2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:

Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 + 12x + 36

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 2 − 2ab + b 2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m

Последний член 8n 3 является результатом возведения в куб одночлена 2n

Второй член 6m 2 n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n

Третий член 12mn 2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x

Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1

Второй член 75x 2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1

Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1

Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.

Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3

Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4

Последний член 8x 3 является результатом возведения в куб одночлена 2x

Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x

Третий член 48x 2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x

3 × 4 × (2x) 2 = 3 × 4 × 4x 2 = 48x 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3

Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x

Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x

Третий член 225x 2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x

3 × 3 × (5x) 2 = 3 × 3 × 25x 2 = 225x 2

Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a 2 − b 2 на множители (a − b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x 2 − 25y 2

Первый член 16x 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x

Второй член 25y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − y 2

Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.

Полностью решение можно записать так:

Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.

Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x 4 − 9y 6

Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64

Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

81 − 64 = 9 2 − 8 2 = (9 − 8)(9 + 8)

Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:

Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x 3 + 64y 3

Представим члены 27x 3 и 64y 3 в виде одночленов, возведённых в куб

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8

Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:

Далее воспользуемся формулой суммы кубов:

125 + 8 = 5 3 + 2 3 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x 3 − 27y 3

Представим члены 64x 3 и 27y 3 в виде одночленов, возведённых в куб:

Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27

Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:

64 − 27 = 4 3 − 3 3 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)

Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x 3 − 1

Представим члены 125x 3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:

Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax 2 − ay 2

При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:

Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x 2 + 6xy + 3y 2

Вынесем за скобки общий множитель 3

Источник

Разложение многочлена на множители. Алгебра. 7 класс.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Разложение многочленов на множители

Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно Обычно в таких случаях говорят, что многочлен удалось разложить на множители. (3x – 5)(х + 4) = (3x – 5)(х + 4) = 3×2 + 7х – 20 3×2 + 7х – 20 = (3x – 5)(х + 4) или 3×2 + 12х – 5х – 20 = 3×2 + 7х – 20

Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно Из материалов ЕГЭ по математике:

Вынесение общего множителя за скобки 3x + 12у = 3 (x + 4у) а5 – а3 = а3 (а2 – 1) 5×4 + 10х2 = 5х2 (x2 + 2) 9т4 + 6т2 – 15т3 = 3т2 (3т2 + 2 – 5т) 16а4с5 – 12а2с4 = 4а2с4 (4а2с – 3) Вынести за скобки общий множитель:

Вынесение общего множителя за скобки Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, ‒ он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов). Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки. Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов:

Вынесение общего множителя за скобки 5,6x + 1,4у = 1,4 (4x + у) 0,65а5 – 0,13а3 = 0,13а3 (5а2 – 1) Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент. Вынести за скобки общий множитель:

‒х4у3 ‒ 2х3у2 + 5х2 = 5а4 – 10а3 + 15а5 = Разложить на множители: 5а3(а – 2 + За2) 2x (x – 2) + 5 (x – 2)2 = 2x (x – 2) + 5(x – 2)(x – 2) = = (x – 2)(2x + 5(x – 2)) = (x – 2)(2x + 5x – 10) = = (x – 2)(7x – 10) ‒х2 (х2у3 + 2ху2 ‒ 5) Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки 2а2 + 6а + ab + 3b = Разложить на множители многочлен: ху – 6 + Зx – 2у = (ху + 3x) + (– 6 – 2у) = (2а2 + 6а) + (ab + 3b) = = 2а (а + 3) + b (a + 3) = (а + 3) (2а + b) = x (у + 3) – 2 (3 + у) = (у + 3) (x – 2)

Способ группировки аb2 – 2аb + За + 2b2 – 4b + 6 = Разложить на множители многочлен: = (b2 – 2b + 3) (а + 2) = (аb2 – 2аb + За) + (2b2 – 4b + 6) = = а (b2 – 2b + 3) + 2 (b2 – 2b + 3) =

Способ группировки х2 – 7x + 12 = Разложить на множители многочлен: = (x – 3)(x – 4) = (х2 – Зх) + (– 4x + 12) = x (x – 3) – 4 (x – 3) = х2 – Зx – 4x + 12 =

Способ группировки х2 – 7x + 12 = 0 Решить уравнение: (x – 3)(x – 4) = 0 x – 3 = 0 x – 4 = 0 или x = 3 x = 4 Ответ: 3; 4.

Способ группировки x3 – 2×2 + Зx – 6 = 0 Решить уравнение: (x – 2)(x2 + 3) = 0 x – 2 = 0 x2 + 3 = 0 или x = 2 нет решений Ответ: 2. x3 – 2×2 + Зx – 6 = (x3 – 2×2) + (Зx – 6) = = x2(x – 2) + 3(х – 2) = (х – 2)(x2 + 3)

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения Формулы сокращенного умножения: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 – квадрат суммы a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 – квадрат разности a2 – b2 = (a – b)(a + b) – разность квадратов a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) – разность кубов a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) – сумма кубов a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 – куб суммы a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 – куб разности

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения 36×2 – 64 = Разложить на множители: = ((3x – 2) – 7)((3x – 2) + 7) (6x )2 – 82 = (6х – 8)(6x + 8) (3x – 2)2 – 49 = (3х – 2)2 – 72 = = (3x – 9)(3x + 5) 81а8 – 625с4 = (9а4 )2 – (25с2)2 = =(9а4 – 25с2)(9а4 + 25с2)= a2 – b2 = (a – b)(a + b) = (3а2 – 5с)(3а2 + 5с)(9а4 + 25с2) ((3а2)2 – (5с)2)(9а4 + 25с2)=

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения 27×3 – 64 = Разложить на множители: = (6n + m2)(36n2 – 6m2n + m4) (3x )3 – 43 = (3х – 4)(9×2 + 12x + 16) 216n3 + m6 = (6n)3 + (m2)3 = а12 – с6 = (а4 )3 – (с2)3 = (а4 – с2)(а8 + a4с2 + c4)= a3 – b3 = (a – b)(a2 + аb + b2) = (а2 – с)(а2 + с)(а8 + a4с2 + c4) = ((а2)2 – с2)(а8 + a4с2 + c4)=

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения 25×2 – 20x + 4 = Разложить на множители: = (n2 + 2m)2 (5x )2 – 2 · 5x · 2 + 22 = (5х – 2)2 n4 + 4mn2 + 4m2 = (n2)2 + 2n2 · 2m + (2m)2 = 16а8 – 8a4c3 + с6 = = (4а4 – с3)2 (4а4)2 – 2 · 4а4 · с3 + (c3)2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Алгебра 7 класс. Учебник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Москва: Мнемозина, 2015г. Использованы ресурсы

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1712899

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки

Время чтения: 1 минута

Утверждены сроки заключительного этапа ВОШ

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Москве новогодние утренники в школах и детсадах пройдут без родителей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Применение формул сокращённого умножения. Разложение многочленов на множители

Перечень рассматриваемых вопросов:

То́ждество – равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных.

Математическая формула – символическая запись высказывания.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте вспомним формулы сокращённого умножения.

Существует несколько способов разложения многочлена на множители: вынесение за скобки общего множителя; выделение полного квадрата; применение формулы сокращённого умножения; группировка нескольких методов.

Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось равенство:

Разложите на множители многочлен:

Формулы сокращённого умножения упрощают вычисления, а преобразование выражений – основа всей математики!

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Ответим на этот вопрос на примере формулы квадрата суммы.

Никаких хитростей! Но будет проще выучить их наизусть.

№2. Тип задания: Вычислите, используя формулу сокращённого умножения.

Источник

Алгебра

План урока:

Вынесение общего множителя за скобки

В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

что, скорее всего, не получится посчитать в уме. Если же вынести a за скобки, то получим иную запись:

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции – раскрытия скобки:

Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

Далее рассмотрим буквенную часть. В ней должны быть переменные, которые есть во ВСЕХ слагаемых. В данном случае это a и b, а переменная c общей не является, так как не входит в первое слагаемое.

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10 )

В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

Еще один пример. Необходимо разложить выражение

Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

Значит, можно заменить (3x – 8y) на – (8y – 3x):

Ответ: (8y – 3x)(5t – 2s).

Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

Этот прием часто используется при решении заданий.

Способ группировки

Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

Теперь можно вынести выражение b – 5:

Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

Пример. Разложим полином 6xy + ab– 2bx– 3ay.

Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

Разности 3y – b и b – 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

Используем эту замену:

В результате получили тождество:

Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 – 8x +15.

Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

Конечно, догадаться о замене – 8х = – 3х – 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 – 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= – 3 и b = – 5. Тогда

в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 )

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:

Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

81 = 9 2 = (3 2 ) 2 = 3 4

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

Произведение 3 12 •73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 – 9 7 + 3 12 делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)

Далее произведем замену 3a = 2a + a:

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х – у:

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

Тогда можно записать:

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Пример. Решите уравнение 5w 2 – 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

Пример. Найдите корни уравнения k 3 – 8k 2 + 3k– 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k 3 – 8k 2 + 3k– 24 = 0

(k 3 – 8k 2 ) + (3k– 24) = 0

Заметим, что уравнение k 2 = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Пример. Найдите корни уравнения

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

Пример. Решите уравнение

Далее решим по отдельности эти уравнения:

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

Источник