Что такое разность квадратов двух простых чисел

Разность квадратов

Что такое разность квадратов

Разность квадратов двух чисел или выражений равняется сумме этих чисел/выражений, умноженной на их разность. То есть формула представляет собой разложение многочлена на множители:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Доказательство формулы разности квадратов

Арифметическое доказательство

Чтобы подтвердить справедливость определения разности квадратов, рассмотрим правую часть уравнения.

Раскроем скобки и получим:

(a+b)(a−b)=a 2 +ab−ba−b 2 =a 2 −b 2

Справедливость формулы доказана.

Геометрическое доказательство

Продолжим любую прямую, на которой лежит сторона меньшего квадрата, до пересечения со стороной большего четырехугольника. В результате внутри исходного квадрата со стороной a имеем:

Теперь найдем величину, которая останется при вычитание площади меньшего квадрата из площади большего. Как видим по чертежу, она равна площадям двух образовавшихся прямоугольников, то есть:

Применение формулы разности квадратов

Формула разности квадратов в алгебре может использоваться в двух видах случаев:

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Необходимо раскрыть скобки в выражении:

Возьмем 15m в качестве a, 12n — в качестве b, значит:

Исходя из формулы, запишем:

Подставим в полученное выражение исходные переменные:

Стандартная ошибка прямого использования формулы заключается в следующем. Если в исходном выражении переместить в начало множитель со знаком плюс, при этом поменяв местами слагаемые, то получим:

В данном варианте записи зачастую происходит путаница с уменьшаемым и вычитаемым, то есть:

Следует обратить внимание на множитель со знаком минус.

Возьмем 8f за a, 4e за b, тогда:

Учитывая возможность совершения стандартной ошибки при использовании формулы сокращенного умножения (разности квадратов), обращаем внимание на второй множитель, выраженный разностью. Чтобы применить формулу, нам необходимо поменять местами слагаемые в первом множителе. Тогда получим:

Выполним подстановку исходных переменных:

Видим, что числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов:

Источник

Что такое разность квадратов двух простых чисел

За последние 60 дней ни разу не выходила

Статистика

Простые числа и разность квадратов

$2014=2\times 19\times 53$

Обычно сразу после этого факта я пишу, сколькими способами его можно представить в виде разности квадратов, но сейчас хочу пояснить подробнее, какая связь между этими способами и простыми множителями числа.

Итак, пусть для некоторых натуральных х и у:
$x^2-y^2=2014$

Левая часть раскладывается на множители по формуле разности квадратов:
(x-y)(x+y) = 2014

Заметим, что выражения х-у и х+у, как сумма и разность двух натуральных чисел, имеют одинаковую чётность. Поэтому, чтобы найти все возможные решения, попробуем число 2014 представить в виде произведения двух натуральных чисел одинаковой чётности.

Итак, пусть число 2014 представляется разностью треугольных чисел:
$T_x-T_y=2014$

Здесь число 4028 представляется в виде произведения двух натуральных чисел разной чётности. Это возможно сделать следующими способами:

4028 = 1х4028 = 19х212 = 53×76 = 4×1007

Для каждого из способов будет одно решение уравнения. В итоге имеем:
$2014 = T_<2014>-T_ <2013>= T_<115>-T_<96>=T_<64>-T_<117>=T_<505>-T_<509>$

Продолжив последовательность по этому принципу, будем получать:
39, 56, 78, 106, 141, 184, 236, 299, 374, 465, 570, 696, 843, 1014, 1212, 1441, 1708,

И, наконец, номер наступающего года: 2014. Это 1708-е составное число.

Источник

Закономерности в распределении простых чисел

Введение

Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Такие числа представляют огромный интерес. Дело в том, что никто так и не смог полностью понять и описать закономерность по которой простые числа располагаются в ряду натуральных чисел.

Ещё до нашей эры Евклид сформулировал и доказал первые теоремы о простых числах. С тех пор математики, среди них Гаусс, Ферма, Риман, Эйлер, продолжали исследования и надо отдать им должное заметно продвинулись. Было обнаружено много интересных свойств простых чисел, выдвинуто много предположений, некоторые из которых были доказаны. Однако много гипотез связанных с простыми числами до сих пор остаются необоснованными.

Распределение простых чисел

Первостепенная задача, решение которой автоматически привело бы к решению большинства вопросов связанных с простыми числами заключается в следующем:

Получить рекуррентную формулу для очередного простого числа

Существует родственная ей задача о количестве простых чисел, не превосходящих заданной величины:

Найти функцию p(x), значение которой в точке x равно числу простых чисел на отрезке [1, x]. Где x – любое действительное число не меньшее единицы.

Функция называется функцией распределения простых чисел.

К решению вышеуказанных задач существует множество подходов. Рассмотрим некоторые из них.

Основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное число большее единицы может быть представлено в виде произведения простых множителей (причём единственным образом, с точностью до порядка множителей).

Отсюда и из определения простого числа следует, что натуральное число, большее двух, является простым тогда и только тогда, когда оно не делится ни на одно из простых чисел меньших самого себя.

Первое простое число p₁ =2. Значит все последующие простые числа должны не делится на 2, то есть иметь вид 2k+1, где k – натуральное. То есть все простые числа начиная со второго — нечётные.

Второе простое число p₂ = 3. Значит все последующие простые числа должны иметь вид 3m+1, либо 3m+2, где m – целое. Это равносильно утверждению о том, что все простые числа начиная с третьего не делятся на три. Однако при этом числа ещё должны не делится на два, то есть иметь вид 2k+1.

Решая диофантовы уравнения

найдём k и m и получим, что все простые числа начиная с p₃ обязательно представимы в виде , либо в виде , где t – целое.

И правда, какое бы простое число мы ни взяли оно представимо таким образом:

Однако обратное неверно, то есть любое натуральное число вида 6t+1 или 6t+5 не обязательно простое. Например, .

Третье простое число p₃ = 5. И если по аналогии учесть, что любое простое число, начиная с четвёртого не делится на 5, также не делится на p₁ = 2 и на p₂ = 3, то получим, что все простые числа начиная с p₄ обязательно имеют одно из представлений

Затем учтём p₄, p₅ и т.д. Проблема в том, что на каждом шаге нам придётся решать всё большую систему диофантовых уравнений, поэтому такой прямолинейный подход оказывается весьма сложным.

На самом деле, при различных попытках решения поставленной нами задачи в большом количестве случаев появляются одни и те же конструкции. Например, произведение Эйлера. Рассмотрим, как это происходит, на следующем примере.

Итак, как же найти функцию F(x)? Сначала рассмотрим множество всех натуральных чисел. Какова доля чисел, которые не делятся ни на одно из простых p₁, p₂, …, p_n?

Каждое второе число делится на p₁ = 2. Значит, часть всех чисел делится на p₁.

Каждое третье число делится на 3. Значит, всех чисел делится на p₂. При этом надо учесть, что каждое шестое число делится и на 2 и на 3 одновременно.

Значит, доля чисел не делящихся ни на 2, ни на 3 равна

Если преобразовать выражение, то оно примет вид:

Опять же можно представить выражение в виде

Будем обозначать такое произведение P(n). Кстати, если учесть все простые числа (n→∞), то мы получим обратную величину от так называемого произведения Эйлера.

Почему так происходит? Когда мы получали формулу (1), мы пользовались рассуждениями, что среди всех натуральных чисел доля, делящихся на p_n, равна . Но нельзя сделать такое утверждение о конечном наборе последовательных натуральных чисел. Например, возьмём набор 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. Здесь 4 числа из 9 делятся на два. И несложно заметить, что отличается от . То есть, при применении к конечному набору чисел, данный метод даёт результат с некоторой погрешностью.

Это будет мешать далее получать точные формулы. Но если оценить эту погрешность, то можно (например, приняв и используя приведённые выше рассуждения) получить оценку для p_n+1-го простого числа. Однако, получение таких оценок — это тема отдельной работы. И поэтому здесь я не буду на этом останавливаться, а приведу лишь некоторые результаты, полученные математиками.

Одна из оценок для простого числа с номером n:

оценка верна для всех n, начиная с 6.

А вот формула для функции распределения простых чисел:

Для функции Риман получил приближение, используя интегральный логарифм и нетривиальные нули дзета-функции Римана. Однако, это приближение верно, только если верна гипотеза Римана. Причём если гипотеза Римана верна, то оно является наилучшим.

Гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Она, как мы могли видеть, тесно связана с простыми числами и, вообще, имеет огромное значение для теории чисел. Из-за своей важной роли в математике, гипотеза Римана была объявлена одной из семи задач тысячелетия.

Проблемы Ландау

Насчёт простых чисел выдвинуто очень много интересных гипотез. Среди них видное место занимают гипотезы Ландау (проблемы Ландау). Формулируются они так:

1. Гипотеза Гольдбаха

Можно ли любое целое чётное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых?

2. Гипотеза о числах-близнецах

Бесконечно ли число простых p таких, что p + 2 тоже простое?

3. Гипотеза Лежандра

Всегда ли существует по меньшей мере одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

4. Гипотеза о почти квадратных простых числах

Существует ли бесконечно много простых чисел p вида .

Проблемы Ландау ни доказаны, ни опровергнуты по состоянию на 2020 год. Далее кратко расскажу про каждую из них.

1. Гипотеза Гольдбаха

Существуют две гипотезы Гольдбаха: слабая (тернарная) и сильная (бинарная).

Слабая гипотеза Гольдбаха: Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эту гипотезу доказал Харольд Гельфготт в 2013 году используя так называемые большие дуги. Финальная часть доказательства заняла 133 страницы.

Сильная гипотеза Гольдбаха: Каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Надо заметить, что в обоих случаях гипотезы Гольдбаха простые числа не обязательно должны быть различными.

Заметьте, что в сильной гипотезе речь идёт только о чётных числах. Давайте покажем, что нечётное число не обязано быть представимо в виде суммы двух простых чисел. Просто приведём пример. Число 11 не представимо в виде суммы двух простых. Вроде бы несложно.

Но переформулируем проблему так: существует ли такое число, что любое нечётное, большее этого числа, представимо в виде суммы двух простых чисел? Давайте проверим. Пусть существует некоторое нечётное натуральное число N, такое, что любое нечётное число представимо в виде суммы двух простых чисел.

Возьмём произвольное нечётное . По предположению существуют такие простые p₁ и p₂, что . Если сумма двух натуральных чисел нечётна, то это значит, что одно из слагаемых чётно, а другое нет. Пусть для определённости p₁ – чётное. Единственное чётное простое число — это 2. Значит, . То есть, K-2 (предыдущее перед K нечётное число) является простым. Поскольку всё вышесказанное верно для любого нечётного большего N, то получается, что все нечётные числа, начиная с N-2, являются простыми. Это неверно. Если бы это было так, то при n→ ∞. Однако, как говорилось выше при n→ ∞.

Итак, не существует такого числа, начиная с которого все нечётные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых.

А что же насчёт чётных? Гипотеза не была опровергнута, не было найдено ни одного контрпримера. Но это не значит, что их не существует. Доказать же гипотезу полностью пока никому не удалось.

2. Гипотеза о числах-близнецах

Бесконечно ли число простых чисел близнецов?

Для начала сформулируем определение. Два простых числа называются близнецами если отличаются друг от друга на 2.

Так же доказано, что существует бесконечно много простых чисел, разница между которыми составляет 246. Это наилучшая из обоснованных на данный момент оценок. Если же использовать некоторые недоказанные гипотезы о простых числах, то оценку можно улучшить.

3. Гипотеза Лежандра

Всегда ли существует, по меньшей мере, одно простое число, лежащее между двумя последовательными полными квадратами?

Аналогичная гипотеза доказана для кубов, начиная с некоторого n. То есть, существует, по меньшей мере, одно простое число, лежащее между и для достаточно большого n. Для квадратов же, гипотеза Лежандра пока не доказана.

4. Почти квадратные простые числа

Заключение

Как мы видим, в этой области теории чисел существует очень много пробелов, а также недоказанных гипотез. Отдельно хочется сказать про численную проверку утверждений. Например, ни для одной из гипотез Ландау не был найден контрпример, даже с использованием значительных вычислительных мощностей в течение большого времени. Однако, в истории математики 20-го и 21-го века были случаи, когда контрпример, опровергающий гипотезу, был настолько огромным числом, что его не удавалось найти с помощью вычислительных машин.

Также, постоянный интерес к простым числам обусловлен их обширным применением в криптографии. Итак, как мы убедились, исследование простых чисел — это, действительно, важная и очень интересная задача.

Источник

Разность квадратов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a 2 – b 2

Примечание: a 2 – b 2 ≠ (a – b) 2

Доказательство формулы

Арифметическое

Геометрическое

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета ( a 2 – b 2 ).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2

Примеры задач

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x 2 – 9y 2

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x 2 – y 2 = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x 2 + 5xy – 5xy – y 2 = 25x 2 – y 2

Источник

Разность квадратов: формулы

Что такое разность квадратов

Разность квадратов двух чисел или выражений равняется сумме этих чисел/выражений, умноженной на их разность. То есть формула представляет собой разложение многочлена на множители:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Доказательство формулы разности квадратов

Арифметическое доказательство

Чтобы подтвердить справедливость определения разности квадратов, рассмотрим правую часть уравнения.

Раскроем скобки и получим:

(a+b)(a−b)=a 2 +ab−ba−b 2 =a 2 −b 2

Справедливость формулы доказана.

Геометрическое доказательство

Продолжим любую прямую, на которой лежит сторона меньшего квадрата, до пересечения со стороной большего четырехугольника. В результате внутри исходного квадрата со стороной a имеем:

Теперь найдем величину, которая останется при вычитание площади меньшего квадрата из площади большего. Как видим по чертежу, она равна площадям двух образовавшихся прямоугольников, то есть:

Применение формулы разности квадратов

Формула разности квадратов в алгебре может использоваться в двух видах случаев:

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Необходимо раскрыть скобки в выражении: \(\left(15m-12n\right)\left(15m+12n\right)\)

Исходя из формулы, запишем:

Подставим в полученное выражение исходные переменные:

Стандартная ошибка прямого использования формулы заключается в следующем. Если в исходном выражении переместить в начало множитель со знаком плюс, при этом поменяв местами слагаемые, то получим:

В данном варианте записи зачастую происходит путаница с уменьшаемым и вычитаемым, то есть:

Следует обратить внимание на множитель со знаком минус.

Раскройте скобки: \(\left(4e+8f\right)\left(8f-4e\right)\)

Учитывая возможность совершения стандартной ошибки при использовании формулы сокращенного умножения (разности квадратов), обращаем внимание на второй множитель, выраженный разностью. Чтобы применить формулу, нам необходимо поменять местами слагаемые в первом множителе. Тогда получим:

Выполним подстановку исходных переменных:

Видим, что числитель раскладывается на множители по формуле разности квадратов:

Источник