Что такое ребра в математике
Ребро (геометрия)
Связанные понятия
Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
Пра́вильный двадцатичетырёхъяче́йник, или просто двадцатичетырёхъяче́йник, или икоситетрахор (от др.-греч. εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве.
Пра́вильный шестнадцатияче́йник, или просто шестнадцатияче́йник — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.
В геометрии политоп (многогранник, многоугольник или замощение, например) изогонален или вершинно транзитивен, если, грубо говоря, все его вершины эквивалентны. Отсюда следует, что все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями.
Если дано топологическое пространство и группа действий на нём, образы отдельной точки под действием группы действий образуют орбиты действий. Фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит в точности по одной точке из каждой орбиты. Она даёт геометрическую реализацию абстрактного множества представителей орбит.
Многогранник размерности 3 и выше называется изоэдральным или гране транзитивным, если все его грани одинаковы. Точнее сказать, все грани должны быть не просто конгруэнтны, а должны быть транзитивны, то есть должны прилежать в одной и той же орбите симметрии. Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая отображает A в B. По этой причине выпуклые изоэдральные многогранники имеют формы правильных игральных костей.
В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный.
Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.
Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник, или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.
Вершины, рёбра, грани многогранника
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
«Вершины, ребра, грани многогранника»
Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело. Примером многогранника является куб, параллелепипед, призма и т.д.
Грани многогранника – это многоугольники, из которых составлен многогранник. Например, гранями параллелепипеда являются параллелограммы.
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
Теорема Эйлера: в любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер на 2.
Леонардо Эйлер (1707 – 1783) – швейцарец по происхождению, выдающийся математик. Большую часть жизни работал в России.
Решить задачу: Начертите произвольный прямоугольный параллелепипед, укажите все его вершины, ребра и грани. Проверьте выполнимость формулы Эйлера.
Выпуклые многогранники: а, б, д
Невыпуклые многогранники: в, г
8 вершин, 12 ребер, 6 граней
Формула Эйлера: 6 + 8 – 12 = 2
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Математика. 4 класс
Конспект урока
Математика, 4 класс
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Как распознавать и называть куб, его грани, ребра, вершины.?
Грани куба – это стороны куба, которые представляют собой квадрат.
Ребра куба – это стороны граней куба.
Вершина куба— это точка, где сходятся три грани или точка, в которой сходятся три ребра куба.
Площадь фигуры – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Подумайте, на какие две группы можно разделить фигуры?
Верно, на плоские и объемные.
Назовите плоские геометрические фигуры.
Верно, квадрат, треугольник, прямоугольник.
Объемные фигуры называются – геометрическими телами.
Вы видите геометрическое тело «шар» и геометрическое тело «куб».
Внимательно посмотрите и скажите, из какой фигуры состоит поверхность куба?
Верно, поверхность куба состоит из квадратов, их называют гранями куба.
Посчитайте, сколько граней у куба.
Правильно, у куба 6 граней.
Стороны граней (квадратов) называют ребрами куба.
Посчитайте, сколько ребер у куба?
Верно, у куба 12 ребер.
Вершины граней – это вершины куба.
Посчитайте, сколько вершин у куба.
Правильно, у куба 8 (восемь) вершин.
Таким образом, у куба 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
Для того чтобы изготовить модель куба необходимо построить развертку куба.
И какого бы куб ни был роста, сшить костюм для него очень просто. Для начала же, сделав разметку, изготовьте раскройку – развертку. Шесть квадратов! Нехитрое дело. Но расклеить их надо умело.
Куб в жизни человека.
Где можно встретить куб? Здания чаше всего имеют кубическую форму, так что можно просто выглянуть в окно, и вы сразу увидите куб.
Самая знаменитая игрушка-головоломка «кубик-рубик».
Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
Выполним несколько тренировочных заданий.
1. Найдите и напишите номер того куба, который сделан из данной развёртки.
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов): 4
2. Выберите правильное утверждение.
а) площадь круга больше площади квадрата;
б) площадь круга меньше площади квадрата;
в) площади фигур равны.
Правильные варианты: б) площадь круга меньше площади квадрата.
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.
Теория Графов. Часть 2 Смежность, инцидентность, петли
Ничего не сделано, если что-то осталось недоделанным. – Иоганн Гаусс
Смежность и инцидентность
Смежность и инцидентность
Давайте рассмотрим самый обыкновенный неориентированный граф (Рисунок 1). В нем есть вершина Р и вершина К. Данные вершины являются смежными (adjacent), так как они соединены ребром РК.
Помимо этого, как мы видим, вершина К является концом ребра РК, а Р его началом, в таких случаях вершина К и Р называются инцидентными (incident) ребру РК.
Рисунок 1
Смежностью вершин графа – называется отношение между двумя вершинами, в котором существует ребро их соединяющее.
Инцидентность – это когда вершина a является началом или концом ребра t. Если мы добавим еще одну вершину b, то мы скажем, что вершина a и b инцидента ребру t.
Кроме вершин, смежность присутствует и у рёбер. Рёбра просто должны иметь общую вершину. В нашем случаи мы можем сказать, что ребро ДК является смежным ребру РК, так как у них есть общая вершина К.
Смежностью рёбер графа – называется отношение между двумя рёбрами, в котором существует вершина соединяющая их.
В связи с тем, что выше мы рассматривали неориентированный граф, то было неважно, с какого направления определять смежность и инцидентность. Вершина Р могла быть смежна вершине К, но также мы могли сказать, что вершина К смежна вершине Р.
В ориентированном графе все немного по-другому (Рисунок 2), так у нас имеется направление, которое мы не в силах поменять. Если вершина 1 смежна вершине 2, то вершина 2 не может быть смежна вершине 1. То же самое касается и инцидентности. Вершины 1 и 2 инцидентны ребру 12, наоборот не работает.
Рисунок 2
Петли
Петля – это ребро инцидентное одной и той же вершине. То есть вершина которая соединена сама с собой. На рисунке ниже мы видим, как это выглядит.
Петли
Заключение
В следующей статье я покажу, как с помощью матрицы задавать графы, а также покажу, что такое вес ребра.