Что такое ребро пирамиды

Пирамида

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Виды пирамид

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Источник

Пирамида и ее боковые ребра. Формулы. Боковое ребро пирамиды Хеопса

Пирамида как фигура геометрии

Прежде чем рассматривать понятие о боковом ребре пирамиды, следует дать определение этой пространственной фигуры. Если говорить коротко, то пирамида представляет собой поверхность, ограниченную одним n-угольником и n треугольниками. Рисунок ниже показывает один из возможных вариантов этой фигуры.

Вам будет интересно: Микроскопы «Микромед»: обзор, описание, характеристики

С геометрической точки зрения получить пирамиду можно таким способом: взять n-угольник и соединить все его углы с некоторой точкой в пространстве, которая не должна лежать в плоскости n-угольника.

Заметим, что, независимо от количества сторон n в исходном многоугольнике, всегда при соединении его углов с единственной точкой получаются треугольники. Их совокупность образует боковую поверхность пирамиды, а исходный многоугольник является ее основанием. Точка, в которой соединяются все треугольники, получила название вершины пирамиды.

Элементы пирамиды

Каждая пирамида образована тремя главными элементами:

Граней или сторон у фигуры всегда n + 1. Это легко видеть на приведенном в предыдущем пункте рисунке. Шестиугольное основание является одной гранью. Оставшиеся 6 сторон представляют собой треугольники, опирающиеся на стороны основания и пересекающиеся в вершине пирамиды.

Ребра представляют собой совокупность точек пересечения соседних граней. Фигура имеет два типа этих элементов:

Их количества, независимо от числа сторон n основания, всегда равны друг другу, то есть фигура имеет 2 × n ребер. Если с ребрами основания все понятно (они являются сторонами n-угольника), то для боковых ребер следует уточнить, что они представляют собой отрезки, соединяющие углы основания с высотой рассматриваемой фигуры.

Наконец, третьим типом элементов пирамиды будут вершины. У фигуры имеется n + 1 вершина. Однако n из них образованы основанием и двумя боковыми гранями. Лишь одна единственная вершина не связана с основанием. Она играет важную роль при изучении количественных характеристик пирамиды, например, ее высоты или апофемы.

Правильные пирамиды

Пирамиды могут быть наклонными и прямыми, правильными и неправильными, выпуклыми и вогнутыми. Все названные типы фигур отличаются друг от друга многоугольным основанием и особенностями поведения высоты.

Пирамиды правильные удобно изучать ввиду их симметрии. Так, боковые ребра правильной пирамиды и ее боковые грани равны друг другу. Частным случаем является ситуация, когда боковые грани будут образованы равносторонними треугольниками.

Далее рассмотрим, какими формулами следует пользоваться, чтобы определить размеры боковых ребер пирамид — правильной четырехугольной и треугольной.

Треугольная пирамида

Существуют четыре линейных параметра, которые описывают размеры правильной пирамиды. К ним относятся сторона основания a, боковое ребро b, высота h и апофема hb. Ниже приведем формулы, которые позволяют рассчитать длину бокового ребра для треугольной пирамиды правильной. Основание этой фигуры представляет треугольник с равными сторонами, что позволяет записать следующие равенства:

Обе формулы являются следствием теоремы Пифагора для треугольников, в которых боковое ребро b является гипотенузой.

Четырехугольная пирамида

Эта фигура, пожалуй, является самой известной среди остальных пирамид благодаря величественным древним египетским сооружениям. Боковое ребро пирамиды четырехугольной правильной можно определить по таким формулам:

Как и в предыдущем случае, эти выражения являются следствием свойства катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Задача на определение бокового ребра пирамиды Хеопса

Воспользуемся приведенными выше цифрами, чтобы определить, чему равно боковое ребро правильной пирамиды четырехугольной, посвященной фараону Хеопсу.

Поскольку нам известна высота h и длина стороны a монумента, то следует применить такую формулу для b:

Подставляя в нее известные данные, получаем, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 273 метра, что немногим меньше периметра футбольного поля (300 метров).

Источник

Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение пирамиды

Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.

Примечание: пирамида – это частный случай конуса.

Элементы пирамиды

Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.

Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.

Виды сечения пирамиды

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):

2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.

Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.

Источник

Геометрические фигуры. Пирамида.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани являются треугольниками, которые имеют общую вершину. Пирамида – это частный случай конуса.

Элементы пирамиды.

Свойства пирамиды.

1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:

2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:

3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.

4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.

5. Конус будет вписанным в пирамиду, когда вершины их совпадут, а основание конуса будет вписанным в основание пирамиды. При этом вписать конус в пирамиду можно лишь в том случае, если апофемы пирамиды имеют равные величины (необходимое и достаточное условие).

6. Конус будет описанным около пирамиды, если их вершины совпадут, а основание конуса будет описано около основания пирамиды. При этом описать конус около пирамиды можно лишь в том случае, если все боковые ребра пирамиды имеют одинаковые величины (необходимое и достаточное условие). Высоты у этих конусов и пирамид одинаковы.

7. Цилиндр будет вписанным в пирамиду, если 1-но его основание совпадет с окружностью, которая вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а второе основание будет принадлежать основанию пирамиды.

8. Цилиндр будет описанным около пирамиды, когда вершина пирамиды будет принадлежать его одному основанию, а второе основание цилиндра будет описано около основания пирамиды. При этом описать цилиндр около пирамиды можно лишь в том случае, если основанием пирамиды служит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Виды пирамид.

По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.

Пирамида будет треугольной, четырехугольной, и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и так далее.

Источник

Что такое ребро пирамиды

Ключевые слова: пирамида, многогранник, правильная пирамида, грань, объем, боковая поверхность

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.

Если все боковые ребра равны, то

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то

См. также:
Усеченная пирамида

Источник