Что такое серединная точка отрезка
Общие сведения
Серединным перпендикуляром отрезка называют прямую, которая проходит под прямым углом через среднюю точку, т. е. середину отрезка. Для полного понимания материала следует остановиться на базовых элементах геометрии.
Точка — единица, при помощи которой строятся прямые, отрезки, лучи и фигуры. Прямая — простая фигура в форме бесконечной линии, состоящей из множества точек, лежащих в одной плоскости. Луч — базовая геометрическая фигура в виде бесконечной линии с одной стороны и точки-ограничителя — с другой. Иными словами, луч имеет начало, но не имеет конца. Отрезок — некоторая часть прямой (луча или другого отрезка), ограниченная двумя точками.
Кроме того, в геометрии серединный перпендикуляр встречается в треугольниках. Из определения можно сделать вывод, что им может быть прямая, отрезок и даже луч.
Аксиомы геометрии Евклида
Евклидовой геометрией называется наука о фигурах на плоскости, основанная на аксиомах и теоремах. Аксиома — базовое утверждение, не требующее доказательства. Оно используется для доказательства каких-либо теорем. Математики выделяют пять аксиом:
Формулировка первой имеет такой вид: если существует в геометрическом пространстве плоскость, состоящая из множества точек, то через любые из них можно провести только одну прямую. Иными словами, можно взять произвольные две точки и провести через них одну прямую. Чтобы начертить еще одну прямую, следует взять две другие точки.
Следующее утверждение называется аксиомой порядка. Она гласит, что существует точка, которая лежит между двумя другими на прямой. Значение слова «конгруэнтность» не совсем понятно для новичка, однако нужно постепенно привыкать к терминологии. Оно обозначает «равенство». Третий геометрический факт формулируется таким образом: когда два отрезка или угла конгруэнтны третьему, тогда они равны между собой. Аксиома касается только отрезков и углов.
Чтобы убедиться в ее правильности, нужно разобрать следующий пример: длина первого отрезка составляет 10 см, второго — тоже, а третий равен первому. Необходимо доказать, что они равны между собой. Это делается очень просто:
Следует отметить, что данные действия оказались лишними — было потрачено время на понимание простой «истины». Параллельность прямых является также аксиомой и формулируется таким образом: если существует некоторая прямая на плоскости и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну параллельную ей прямую.
И последняя аксиома называется Архимедовой. Ее формулировка имеет такой вид: для произвольных отрезков, лежащих на одной прямой, существует некоторая последовательность базовых элементов (точек), лежащих на одном и другом отрезках, таких, что заданные их части равны между собой. Иными словами, на одной прямой могут быть расположены равные между собой отрезки.
Информация о треугольниках
Треугольником является любая фигура, состоящая из трех вершин (точек) соединенных отрезками (сторонами), причем точки не лежат на одной прямой в одной плоскости. Они классифицируются по такому типу:
В первом случае фигуры делятся на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Остроугольным называется треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов). У тупоугольного — один угол тупой (> 90), а в прямоугольном — один из углов равен 90 градусам. Следует отметить, что сумма градусных мер углов любого треугольника эквивалентна 180.
Когда стороны у треугольника неравны между собой, тогда его называют разносторонним. При равенстве двух боковых сторон он считается равнобедренным, у которого третья сторона — основание. Если все стороны равны, то значит, фигура является равносторонней или правильной.
У треугольника есть еще и другие параметры. Их называют медианой, биссектрисой и высотой. Первый параметр является отрезком, который проводится из любой вершины на среднюю точку стороны. Высота — часть прямой, которая проводится из произвольной вершины и перпендикулярна противоположной стороне. Биссектрисой называется прямая, делящая угол на две равные части.
Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины к основанию, совпадают и эквивалентны серединному перпендикуляру в треугольниках равнобедренного и равностороннего типов. Это очень важно при решении задач. Еще одним признаком, по которому выполняется классификация — подобность треугольников. У них могут быть равными только углы и некоторые стороны. Они отличаются между собой по определенному параметру, который называется коэффициентом подобия. Последний влияет только на размерность сторон. Говорят, что фигуры подобны по определенному признаку (их всего три).
Основные теоремы
Теорема — гипотеза (предположение), которую нужно доказать. Они применяются для оптимизации расчетов и вычисления отдельных параметров заданной фигуры. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве таких научных предположений. Эти аспекты упрощают и автоматизируют вычисления. Например, при вычислении площади треугольника нет необходимости выводить формулу, достаточно воспользоваться уже готовой.
Математики выделяют всего три теоремы о СП, которые могут значительно упростить расчеты. К ним можно отнести следующие:
Первая теорема называется прямой о СП. Она показывает, каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра. Ее формулировка следующая: произвольная точка, которая взятая на перпендикуляре, удалена на равные расстояния от конечных точек отрезка, ограничивающих его на плоскости.
Для доказательства следует рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей вершиной (искомая точка), общей стороной — катетом и равными катетами (по определению). Фигуры равны по одному из признаков равенства треугольников. Следовательно, их гипотенузы (стороны, равенство которых нужно доказать), равны между собой. Первая теорема доказана.
Следующая теорема — обратная: если точка удалена на равные расстояния от концов отрезка, то значит, она лежит на СП. В этом случае следует рассматривать равнобедренный треугольник, вершиной которого она является. Удалена точка на одинаковые расстояния от вершин основания по условию. Следовательно, этот факт доказывает, что полученный треугольник является равнобедренным, а в нем медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре. Утверждение доказано.
Следующую теорему нет необходимости доказывать, поскольку известно, что в равнобедренном и равностороннем треугольниках высоты (медианы и биссектрисы) имеют общую точку пересечения. Они являются также и СП. Следовательно, это утверждение справедливо для них.
Важные свойства
Иногда трех теорем недостаточно для решения какой-либо сложной задачи. В этом случае необходимо знать еще и некоторые свойства СП:
В первом случае все зависит от типа треугольника. Если он является остроугольным, то центр лежит внутри него. Для тупоугольного — во внешнем пространстве, а в прямоугольном — на середине гипотенузы.
Следует отметить, что есть формулы для его расчета. Если предположить, что существует некоторый произвольный треугольник со сторонами а, b и с. Кроме того, для них выполняется условие a >= b >= c. Исходя из полученных данных, можно записать формулы перпендикуляров (Р), проведенных к определенной стороне:
Иными словами, Р является отношением удвоенного произведения стороны на площадь треугольника к сумме квадратов смежных сторон без квадрата противоположной. Кроме того, справедливы неравенства: Pa >= Pb и Pс >= Pb. Стороны — известные параметры, а вот площадь находится по некоторым соотношениям, которые выглядят следующим образом:
В основном по таким соотношениям и нужно определить площадь. Полупериметр вычисляется таким образом: р = (а + b + с) / 2.
Бывают задачи, в которых необходимо просто подставить значения в формулу. Они называются простейшими. Однако встречаются и сложные. К ним относятся все виды без некоторых промежуточных параметров фигуры.
Пример решения задачи
В интернете попадаются примеры решения простых задач, а сложные приходится решать самостоятельно, просить помощи у кого-нибудь или покупать на сайтах готовое решение. Для примера нужно решить задание с такими данными:
Нужно найти: углы, указанные на рисунке, стороны и ОЕ. Кроме того, дополнительные данные можно узнать из чертежа, который используется для решения задачи (рис. 1). К любому заданию нужно делать графическое представление, поскольку оно позволяет избежать ошибок при вычислении
Рисунок 1. Чертеж для решения задачи.
Числовых значений нет, тогда необходимо решать в общем виде. Углы можно найти по такому алгоритму:
Таким образом, нахождение серединного перпендикуляра позволяет значительно уменьшить объемы вычислений. Однако для этого нужно знать не только основные теоремы, но и его свойства.
Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Середина отрезка на координатной прямой
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Середина отрезка на плоскости
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Середина отрезка в пространстве
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Следовательно, точка C имеет координаты:
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Решение
Решение
Ответ: 58
Решение
Отрезок. Серединный перпендикуляр.
теория по математике 📈 планиметрия
Перпендикуляр и наклонная
Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Точки, которые его ограничивают, называю концами отрезка. Обозначают концы отрезка заглавными латинскими буквами.
На рисунке изображен отрезок АВ, также можно сказать, что изображен отрезок ВА.
Серединным перпендикуляром является прямая, которая проходит через середину данного отрезка и перпендикулярна ему.
Серединный перпендикуляр к отрезку AB.
На данном рисунке мы видим, что отрезок разделен на две равные части (показаны штрихами), а через середину проведена прямая а под углом 90 0 к данному отрезку АВ. Следовательно, прямая а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Свойство серединного перпендикуляра
Все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов данного отрезка.
На данном рисунке через середину О отрезка АВ проходит прямая m, которая является серединным перпендикуляром. На этой прямой взята некоторая точка М. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку, расстояния от точки М до концов отрезка АВ будут равны, то есть АМ=МВ.
Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает прямую (отрезок), но не перпендикулярна к ней, то ее называют наклонной. Наклонная всегда больше перпендикуляра.
На данном рисунке АВ – перпендикуляр, а АС – наклонная к прямой а. Видим, что действительно АС>ВС. Точку В называют основанием перпендикуляра, а точку С – основанием наклонной.
Построение середины отрезка
Пример:
Дано: отрезок АВ.
Построить: середину АВ.
Решение:
Строим с помощью линейки произвольный отрезок АВ.
Далее с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В.
Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точки Р и Q прямую РQ.
Точку пересечения прямой РQ и отрезка АВ обозначим О.
Рассмотрим треугольники РАQ и РВQ.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Серединный перпендикуляр к отрезку:
Рассмотрим понятие серединного перпендикуляра к отрезку.
Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
Следующая теорема характеризует свойства точек серединного перпендикуляра к отрезку.
Теорема 5 (о серединном перпендикуляре). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на равном расстоянии от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
1) Пусть прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — середина отрезка АВ (рис. 73, а).
Пусть точка F — произвольная точка серединного перпендикуляра. Докажем, что FА = FВ. Если точка F совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как точка О — середина отрезка АВ. Пусть точка F не совпадает с точкой О. В этом случае треугольник АОF равен треугольнику ВОF по первому признаку равенства треугольников (АО = ОВ по условию, сторона ОF — общая, 
90°). Отсюда следует, что АF = ВF.
2) Пусть точка L равноудалена от концов отрезка АВ, т. е. АL = ВL (рис. 73, б). Докажем, что точка L лежит на прямой m. Если точка L лежит на прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ, т. е. лежит на прямой m. Если точка В не лежит на прямой АВ, то треугольник АLВ равнобедренный. Отрезок LO — медиана этого треугольника, а следовательно, и высота. Таким образом, LО
АВ, а, значит, прямые LО и m совпадают. Отсюда вытекает, что точка L лежит на прямой m.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.