Что такое сигма алгебра
Σ-алгебра
σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
Содержание
Определение
Семейство 
подмножеств множества X называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
Замечания
Связанные определения
Примеры
Полезное
Смотреть что такое «Σ-алгебра» в других словарях:
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия
Алгебра (значения) — Алгебра раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… … Википедия
Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … Википедия
Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… … Википедия
*-алгебра — (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению. Содержание 1 * кольцо 2 * алгебра 3 C* алгебра … Википедия
АЛГЕБРА — (араб. al djebr восстановление разрозненных частей). Часть математики, рассматривающая общие величины, обозначая их буквами и знаками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АЛГЕБРА араб. al djebr,… … Словарь иностранных слов русского языка
алгебра логики — АЛГЕБРА ЛОГИКИ исторически первая форма математической (символической) логики, сложившаяся к последней трети 19 в. К ее созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
Алгебра Темперли — Алгебра Темперли Либа, в статистической механике алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер матрицы. Открыты Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Также алгебра применяется в теории интегрируемых моделей, имеет отношение… … Википедия
Алгебра А — Базисом предложенной Крисом Дейтом и Хью Дарвеном Алгебры A являются операции реляционного отрицания (дополнения), реляционной конъюнкции (или дизъюнкции) и проекции (удаления атрибута). Реляционные аналоги логических операций определяются в… … Википедия
Алгебра и сигма-алгебра
При построении математической модели случайного объекта необходимо не только указать все возможные элементарные исходы опыта, но и определить (перечислить) все возможные события, которые могут произойти в этом опыте. Принято следующее определение:
Алгебра событийAэто набор подмножеств пространства элементарных исходов 
для которого выполняются следующие условия:
и для любой счетной последовательности
Очевидно, что любая сигма-алгебра является алгеброй, но не наоборот.
Колмогоров показал, что естественной математической моделью для множества событий является сигма-алгебра.
Очевидным примером сигма-алгебры является набор всех подмножеств пространства элементарных исходов – это наибольшая сигма-алгебра, возможная на данном пространстве элементарных исходов.
Наименьшая (тривиальная) сигма-алгебра это следующий набор подмножеств
Алгебры и сигма-алгебры обозначаем жирными наклонными латинскими буквами.
Зачем нам нужны сигма-алгебры для определения вероятностных пространств?
Может ли кто-нибудь объяснить простым языком, почему здание вероятности рухнет, если у нас не будет σ ‘ role=»presentation»> σ алгебры? Они просто вклиниваются посередине с этим невероятно каллиграфическим «F». Я верю, что они необходимы; Я вижу, что событие отличается от результата, но что было бы неправильно без σ ‘ role=»presentation»> σ алгебры?
Вопрос в том, в каком типе вероятностных задач определение вероятностного пространства, включающего σ ‘ role=»presentation»> σ алгебру, становится необходимостью?
Этот онлайн-документ на веб-сайте Дартмутского университета дает понятное объяснение на английском языке. Идея заключается в вращающемся указателе, вращающемся против часовой стрелки на окружности единицы периметра:
К первому пункту Сианя: когда вы говорите об алгебрах, вы спрашиваете об измеримых множествах, поэтому, к сожалению, любой ответ должен быть сосредоточен на теории меры. Я постараюсь довести это до конца нежно. σ ‘ role=»presentation»> σ
Теория вероятностей, допускающая все подмножества несчетных множеств, сломает математику
Но что, если область набора интересов не является четко определенной?
Хорошая новость: алгебры строго необходимы только для несчетных множеств σ ‘ role=»presentation»> σ
Поэтому на практике достаточно просто сделать это наблюдение достаточным для того, чтобы сделать наблюдение, в котором вы рассматриваете только измеримые по Лебегу множества, чтобы добиться прогресса в решении проблемы интересов.
Но подождите, что такое неизмеримый набор?
Боюсь, я могу только пролить немного света на это сам. Но парадокс Банаха-Тарского (иногда парадокс «солнца и гороха») может нам помочь:
Для заданного сплошного шара в трехмерном пространстве существует разложение шара на конечное число непересекающихся подмножеств, которые затем можно соединить по-разному, чтобы получить две идентичные копии исходного шара. Действительно, процесс сборки включает в себя только перемещение деталей и их вращение без изменения их формы. Однако сами кусочки являются не «твердыми телами» в обычном смысле, а бесконечным рассеянием точек. Реконструкция может работать всего с пятью частями.
Более сильная форма теоремы подразумевает, что при наличии любых двух «разумных» твердых объектов (таких как маленький шар и огромный шар) любой из них может быть повторно собран в другой. Об этом часто говорят неформально: «горох можно нарезать и снова собрать в Солнце» и называют «парадоксом гороха и солнца». 1
Чтобы разрешить этот парадокс, можно сделать одну из четырех уступок:
Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования
Для тех, кто подзабыл матешу
Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.
Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.
Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.
Знак Σ — сумма
Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:
Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.
На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:
Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».
Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:
Произведение П
С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:
А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:
Что дальше
Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.
Борелевская сигма-алгебра
Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.
Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел.
Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.
Связанные понятия
Свойства
Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества
Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.
Рассмотрим функцию 
на отрезке 
, где 
— канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Мера образа канторова множества равна 
, а значит, мера образа его дополнения также равна . Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество 
. Тогда его прообраз 
будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе было бы измеримо как образ борелевского множества при измеримом отображении).
Полезное
Смотреть что такое «Борелевская сигма-алгебра» в других словарях:
Сигма-алгебра — σ алгебра (сигма алгебра) алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
Булева сигма-алгебра — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… … Википедия
Борелевская алгебра — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… … Википедия
Борелевская функция — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… … Википедия
Алгебра (значения) — Алгебра раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… … Википедия
Σ-алгебра — (сигма алгебра) это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 … Википедия
Борелева функция — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… … Википедия
Борелевское поле — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… … Википедия
Борелевы функции — Борелевская сигма алгебра это минимальная сигма алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (впрочем, она содержит и все замкнутые). Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает… … Википедия
Измеримое пространство — σ алгебра (сигма алгебра) это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 … Википедия