Что такое симметричное множество

Разработка урока «Четные и нечетные функции»

разработка урока по теме Четные и нечетные функции

Содержимое разработки

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ

сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;

развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;

воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

0,4
4. f(х) 0 при х 0,4 ; f(х) х 0,4.
5. Функция возрастает при х € [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. у_наим = – 3, у_наиб не существует
8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования функции?) Слайд.

2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим по слайду.

Координаты точек пересечения графика с Оу

( 0;)

( 0;)

( 0;)

3. Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = –f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

1. f(х) =

5. f(х) =

6. f(х)=

и 0

и не опред.

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения хЄ Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая?
– Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

если f(– х) ≠ f(х) и f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Исследовать на чётность функцию а) у = х 5 +; б) у = ; в) у= .

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + – х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) = функция h(х) = х 5 + нечётная.

б) у = ,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3) f (– х) = f (х) = функция f(х) = чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

График чётной функции симметричен относительно оси у.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

– Верны ли обратные утверждения?

Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.

Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

5. Первичное закрепление

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2), (–4; 4]?

2. Исследуйте на чётность функцию:
а) ; б) у = х· (5 – х 2 ).

2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х 2 · (2х – х 3 ), б) у =

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция.

Источник