Что такое система счисления примеры

Позиционные системы счисления

Позиционной называют систему счисления, в которой положение (позиция) цифры определяет вес числа. Основные виды позиционных систем:

Немного истории

Первыми в истории человечества позиционную систему счисления применяли индейцы майя примерно 500 лет до нашей эры. Она использовалась для составления календарей и имела в основании число 20.

Современная позиционная система счисления уходит корнями в Индию, в V век нашей эры. И несмотря на то, что в ней используются арабские цифры, именно индусы стали ее основоположниками. А за счет удобных форм записи и выполнения арифметических действий, создание позиционной системы дало мощный толчок развитию математики.

Основание и алфавит

Например, с помощью трех цифр 0, 1 и 2 можно составить троичную систему счисления. Все правила построения чисел будут при этом соответствовать другим позиционным системам: двоичной, десятичной и так далее. А ее основание будет равно трем:

Разряд числа

Разряд — это место, позиция цифры в записи числа. Например, в 125: цифра 5 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 5 — к разряду сотен. Данное число можно также представить в виде суммы 100 + 20 + 5 и выделить основание системы в каждом слагаемом в той или иной степени:

125₁₀ = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 1 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 5 ∙ 10 0

Если обратить внимание на показатели степени, то наблюдается закономерность — соответствие порядковому номеру цифры слева направо, начиная с нуля:

Развернутая форма записи числа

Данный способ записи числа действует и для любой другой позиционной системы счисления и называется развернутой формой:

где A — число, q — основание системы счисления, а n — количество разрядов числа. При этом свернутой формой будет запись вида:

Например, развернутая форма числа 753 в восьмеричной системе счисления будет иметь следующий вид:

753₈ = 7 ∙ 8 2 + 5 ∙ 8 1 + 3 ∙ 8 0

Представление дробей

Если же необходимо представить в развернутой форме дробь, то формула будет следующей:

где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Свернутой формой, соответственно, является запись вида:

Например, для 1001,101 в двоичной системе счисления развернутая форма будет выглядеть так:

Плюсы и минусы позиционных систем

Главным удобством позиционной системы счисления является то, что запись больших чисел имеет краткую и удобную форму. Это также стало причиной их использования в программировании: большие числа занимают в данной форме меньшее количество памяти ЭВМ.

Источник

Системы исчисления

Память человека удивительная штука, несмотря на все архивы, исторические записи и сводки нам свойственно забывать все — даже имена великих изобретателей. Не один историк не сможет ответить на вопрос, кто был открывателем колеса или гончарного круга. Также никто не сможет вспомнить, кто первый задал вопрос, который мы используем каждый день: «Сколько?», придумав тем самым первую систему исчисления.

Введение

Потребность в счете возникла у людей с давних времен. Ученые археологи нашли много записей времен пещерного человека, с помощью которых они обозначали количество убитых животных, добытых шкур и собранного урожая. Так в 1937 году в Моравии была найдена кость с 55 зарубками. По мнению ученых они обозначали количество бизонов добытых вождем племени.

С развитием технологий, счет находил применение во всех областях социальной жизни человечества – астрономии, налогообложении и промышленности. Сейчас вычисления активно используются в информатике для представления информации в электронно-вычислительных машинах. В этой статье вы узнаете, что такое система исчисления, изучите основные определения, которые помогут вам лучше разобраться в теме, выясните, что такое позиционные и непозиционные системы исчисления и чем они отличаются.

Основные положения

Для того чтобы разобраться что такое системы исчисления ниже приведены главные понятия, которые вам предстоит понять и запомнить. Без них вы просто не сможете двигаться дальше. Итак…

Число – абстрактная мера измерения количества чего-либо.

Цифры — знаки, с помощью которых мы представляем число.

Системой исчисления – называется совокупность правил записи чисел, с помощью набора цифровых знаков.

Теперь я попробую объяснить смысл этого определения для чайников. У вас есть набор символов – необязательно это могут быть числа, которые с помощью неких приемов и правил представляются как «цифровой код».

Алфавит (он же код) – набор знаков, используемых для записи числа.

Числовой разряд – место «позиция» знака (цифры) в числе.

После того как вы разобрались в том, что здесь написано можно перейти к следующему пункту.

Классификация

Системы исчисления можно разделить на три вида – позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные

Примеры позиционных систем счислений и их использование в математике и информатике:

Непозиционные

Примеры непозиционных нумераций

Смешанные

Этот материал в школьную программу не входит и его достаточно сложно объяснить школьникам, но я все-таки попробую. В смешанной системе исчисления числа с основанием P можно представить числами с основанием Q. Также здесь должно выполняться неравенство Q

Что такое основание

После того как мы разобрали классификацию, можно рассказать про такое понятие как основание.

Основание – количество знаков, которые используются для отображения символов в данной системе счисления.

В математике и информатике записывается так:

Читается как «Двадцать пять по основанию десять» и значит то, что в данном алфавите имеется десять знаков для записи числа. Данное определение используется только в позиционных системах исчисления. Запись с нижним индексом используется для удобства, при работе с числами нескольких видов.

Заключение

На этом всё, теперь вы знакомы с таки понятием как система исчисления в информатике. Знаете, какие они бывают (позиционные и непозиционные), на какие группы делятся, ознакомлены с основными положениями и знаете что такое основание. После освоения этого материала можете смело приступать к другим темам – таким как перевод из одной системы в другую и выполнение арифметических операций. А также, в этом разделе, вы найдете несколько интересных статей. Например, про то, как представляется память в персональном компьютере или историю непозиционных чисел.

Источник

Что такое система счисления примеры

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

— цифры числа, записанного в данной системе счисления;

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

Виды систем счисления

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

Источник

Системы счисления

Всего получено оценок: 188.

Всего получено оценок: 188.

Числа при письме заменяются специальными знаками. Метод представления числовых эквивалентов с помощью специальной знаковой системы называется системой счисления. Системы счисления, как один из важных разделов теоретической информатики, подробно рассматриваются в курсе информатики 9 класса.

Что такое системы счисления

Системой счисления называется система записи чисел с помощью знаков по определенным правилам.

Символы, с помощью которых записываются числовые значения, обычно называют цифрами, а все вместе знаки системы счисления образуют алфавит. Количество знаков, используемых для обозначения чисел, называется основанием системы счисления.

Приведем примеры чисел систем счисления с различным основанием.

Основная десятичная система, привычная и общеупотребимая, имеет десять символов для обозначения всех чисел, то есть ее основание равно 10. Символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 представляют собой цифры. После цифры 9 в числовом ряду идет двузначное 10. При этом происходит сдвиг разрядной сетки числа влево на один разряд.

Десятичная система использует арабские цифры. Предположительно арабская система записи чисел возникла в Индии. Индийскую систему записи чисел описал Аль Хорезми в своем трактате «Об индийском счете».

Рис. 1. Портрет Аль Хорезми.

Системы счисления в информатике не ограничиваются применением десятичных цифр, самыми распространенными системами являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

В двоичной системе счисления все просто. Основание равно 2. Обозначение чисел выполняется только двумя символами 0 и 1.

Восьмеричная система использует 8 знаков для обозначения чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. И числовой ряд восьмеричных чисел выглядит так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12 … Следует обратить внимание, что после 7 идет двузначное число 10, так как знаков всего восемь и происходит сдвиг разрядной сетки.

Шестнадцатеричная система имеет основание 16. Она применяет в качестве символов арабские цифры от 0 до 9 и затем буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. В числовом ряду шестнадцатеричных чисел после 9 идет А, а после F идет 10.

Тогда возникает вопрос, как определить, в какой системе счисления, например число 107. Цифры 0, 1, 7 используются как в восьмеричной, так и в десятичной и шестнадцатеричной системе счисления. Для того чтобы различать системы, существует специальное обозначение систем счисления. Числа помечаются индексом с основанием системы. Так, 107₈ – это восьмеричное число, 107₁₀ – десятичное число, 107₁₆ – шестнадцатеричное число.

в истории существуют примеры использования и других систем счисления. Так, некоторые коренные культуры Африки и Австралии используют двоичные и троичные системы. Индейцы Юки пользуются четверичной системой счисления, пятеричная система счисления распространена больше (по количеству пальцев на руке), ее элементы встречаются у древних персов и ацтеков, у индейцев племени Таманакос. У древних Шумеров использовалась шестидесятеричная система счисления, разбивка часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, вероятно, отголоски этой системы.

Позиционные системы счисления

Рассмотренные системы счисления относятся к классу позиционных систем. В них числовое значение каждой цифры зависит от положения в числе. Например, в десятичном числе 126 единица означает сотню, а в числе 216 единица уже на другом месте и обозначает десять.

Аналогично, двоичное число 111001 = 1*2 5 + 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

Восьмеричное число: 247 = 2*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0

Шестнадцатеричное число: 2A5F = 2*16 3 + A*16 2 + 5*16 1 + F*16 0

Используя развернутую форму, можно переводить числа из любой системы счисления в десятичную систему.

Непозиционные системы счисления

Кроме позиционных систем, существуют также непозиционные системы, в которых расположение цифры в числе не влияет на его числовое значение. Например, римская система цифр строится на основе символов I, V, X, L, C, D, M, которые означают соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Так, римское XVII означает 17. Получено путем суммирования 10 + 5 + 1 + 1.

Еще один пример: число 14 римскими цифрами записывается как XIV. Здесь использованы символы X, I, и V, которые обозначают 10, 1 и 5. Существует правило, согласно которому, меньшее число стоящее слева от большего следует вычитать из него. То есть I (1) меньше V (5), поэтому 5 – 1 = 4. И тогда число XIV получается как 10 + (5 – 1) = 14

Например, 1985 год в римской системе выглядит так MCMLXXXV: 1000 + (1000 – 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 = 1985

Рис. 2. Таблица римских цифр и их значений.

Самой первой системой счисления в истории человечества была унарная система, в которой использовался только один знак, или точнее один камень, палочка или засечка. Конечно, с помощью такой системы записать большие числа практически невозможно. Поэтому древние люди стали заменять группы палочек другим символом.

Что мы узнали?

Числа для удобства записи представляются с помощью системы символов, которая называется системой счисления. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах количество используемых знаков называется основанием. В информатике используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.

Источник

Система счисления

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Содержание

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.

Системы счисления

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.

Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).

В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:

Типы систем счисления

Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.

Источник