Что такое система счисления в информатике определение
Системы счисления. Основные понятия.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся
на однородные и смешанные.
Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не
зависит от позиции (разряда).
Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости
от её места в строке, соответствует только 1 предмет.
Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.
Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.
Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению
50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.
Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.
Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)
одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,
(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.
Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может
отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в
числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции
Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда
меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.
Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в
последовательности цифр, которые изображают число.
Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые
используются для изображения цифр в этой системе.
множество позиционных систем.
Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.
Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.
Информатика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Развиваясь, древний человек стал испытывать потребность в способах выражения количества. Подсчет убитых животных, количество врагов или соседей – причин становилось все больше. Сначала люди использовали только понятия «один», «много». После стали использовать понятие «пара», чтобы обозначить два предмета, это намного облегчило жизнь.
Постепенно перешли к использованию подручных средств – пальцев на руках и ногах, зарубок на коре дерева, кости животного или узелков на канате. Именно такие примитивные «счетные машины» позволили через тысячи лет узнать, что предки умели не просто считать, но даже умудрялись фиксировать результаты подсчета.
Кроме зарубок и узелков появилась потребность в символах, выражающих большее количество чего-либо, чем «один». Тогда были придуманы первые знаки для выражения больших значений. Так, египтяне, использовали знаки для цифр 1, 5, 10. Число 324 в их системе выглядело так:
А описание чисел при помощи специальных знаков и является системой счисления.
Системы счисления – виды, особенности
Система счисления (СС) – способ выражения чисел при помощи специальных правил и знаков, которые называются цифрами.
Все существующие системы делят на 2 группы:
Чтобы выразить число 475, достаточно по порядку написать 3 символа, 475, выражая 5 единиц, 7 десятков и 4 сотни.
К этой группе также относятся СС с различными основаниями (2,8,16).
Еще одна особенность – чтобы выразить число и не использовать сотни символов, применяется прибавление и вычитание. Написать 475 римскими знаками можно так CCCCXXXXXXXIIIII, но это нерационально. Если отнимать или прибавлять цифры, получится меньшее количество символов – CDLXXV. Цифра слева означает, что ее нужно отнять от большего числа, а справа – прибавить.
Правильным считается тот вариант, при котором получается меньше символов.
Интересно. Первой позиционной СС была вавилонская и была она шестнадцатиричная! А в 19 веке использовали двенадцатеричную СС.
Алфавит СС – знаки, которые используются для обозначения цифр.
Основание – количество знаков, которыми кодируются числа. Еще оно показывает отличие между цифрами на разных позициях. Основание – целое число, начиная с 2.
Важно. Если в тексте идет речь о различных системах, то чтобы уточнить, какая используется основа, ставится подстрочный знак: 12548, 011001112. Примеры? Если же обозначения нет, по умолчанию это десятичная (12549).
Разряд – положение, позиция обозначения цифры в числе. Пример?
Непозиционные СС, их особенности
Первоначально древние люди ставили отметки (черточки-зарубки, точки), чтобы обозначить количество того или иного предмета. Отклики этого подхода все еще встречаются (полоски у военных, счетные палочки).
Постепенно от единиц они переходили к группам предметов по 3, 5, 10 единиц. Постепенно такие группы стали обозначаться определенными символами, что позволило сократить размер записи.
Римская СС
В ней определенным цифрам отвечают латинские буквы. Их сумма и будет числом.
Основные рекомендации при пользовании римскими цифрами:
Таблица римских цифр
Недостаток этой СС в том, что для больших чисел недоступны операции сложения или другие, ещё она сложная и громоздкая. Зато римские цифры отлично вписались там, где нужна нумерация и эстетика: циферблаты, номера глав, списки, серии документов.
Основные позиционные СС, правила перевода
Двоичная система счисления
Систему, на которой основывается работа компьютеров, придумал гениальный немецкий ученый Г.В. Лейбниц (еще до 19 века!). Он придумал и описал СС, в которой все вычисления проводятся при помощи двух простейших символов – 0 и 1.
Компьютер, как механическое устройство, получает команды в виде двоичной кодировки. Он не в силах понять сложные задания, человеческую речь, музыку или тысячи оттенков, а переводя/кодируя всю необходимую информацию при помощи 0 и 1 (сеть, отсутствие сети), можно передать ему любые команды или информацию. Естественно, такие задания выглядят как огромные массивы двух знаков.
Алгоритм перевода чисел из десятичной в двоичную систему:
Этот порядок действия позволят переводить в любую позиционную СС. В данном случае, основа – 2, остаток 2 +7*10 1 +9*10 0 = 57910.
Обычно мы пользуемся свернутой формой записи чисел, то есть без разбивки на разряды и умножения на основу.
А чтобы было легче, пользуются готовой таблицей степеней 2.
Альтернативный способ преобразования для гуманитариев
Для начала нужно написать степени двойки, начиная с самой большой:
Далее нужно отнимать от числа максимальную степень двойки и напротив нее ставить 1, если есть в исходном варианте или 0, если его нет.
Перевод числа 579
Если же оно на 1 больше, то число будет начинаться и заканчиваться на 1, а внутри – сплошные 0.
Основой такой системы является 8, а числа восьмеричной системы 0-7. Данная система счисления является позиционной и целочисленной. Применяется в сферах, связанных с цифровыми технологиями, особенно в Linux-программном обеспечении (права доступа, исполнения).
Пример: Перевести 5798 из десятичной в восьмеричную систему счисления:
Обратный перевод из восьмеричной СС в десятичную:
11038 = 1∙8 3 +1∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 512+64+0+3 = 57910
Альтернативный вариант таблицы степеней
Шестнадцатеричная СС
Это целочисленная система с основанием 16 (символы шестнадцатеричной системы счисления 0-9 и буквы A – F). Используется в реализации компьютерного программирования и документации на низком уровне, так как 8-битный байт, для записи которого удобно использовать 2 цифры из шестнадцатеричной системы.
Стандарт Юникод использует 4 и более символов 16-ой СС.
Для записи цвета из красного, зеленого и синего (R, G и B) также используют эту систему.
Алгоритм преобразования чисел в 16СС
Способ преобразования аналогичный предыдущим – расписывание числа как многочлена с учетом степеней 16. Для этого число делится на 16, в итоге – перечень остатков от деления, записанных наоборот.
В сети есть калькуляторы, способные выполнять преобразование чисел в различные СС и обратно (некоторые даже с детальным описанием процесса).
Арифметика для 2СС
Принципы выполнения простейших арифметических операций одинаковы для любых позиционных систем, независимо от основы:
Особенности арифметики СС с разными основами:
Примеры арифметических операций:
Для удобства разработаны готовые таблицы сложения в различных системах:
Сложение в 8-ой СС в 16СС
С их помощью можно быстро суммировать в различных СС.
Сложение для разных СС на примере 15 и 6:
Если необходимо сложить числа из разных систем, их приводят к одной основе. Самым простым вариантом будет перевод в десятичную систему, решение простого примера и перевод результата в любую из систем.
Рассмотрим сумму 438 и 5616. Результат можно выразить в любой СС, но проще привести к 8- или 16-ричной:
Переводим число 56 в восьмеричную через двоичную:
Умножение в 8-ой СС
Сравнение систем
СС могут быть с произвольной основой, но популярны 2,8,10,16-ые.
Сравнительная таблица разных систем счисления:
Перевод числа 75 в разные системы:
Правила перевода из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в 10СС:
Исходный вариант следует разделить на тройки цифр, с крайней справа. Если не хватает, старший разряд дополнить 0. Далее под каждой триадой ставится подходящий символ из 8‑ой системы.
Рассмотрим перевод на примере числа 579, которое соответствует 10010000112
Правила перевода из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления:
Число разбивается по 4 знака, начиная справа (с меньшего разряда). Если не будет хватать символов у старшего разряда, тетраду дополняют нулями.
Сравнительный перевод дробей в СС
Чтобы перевести правильные дроби из 10-ой СС в другие позиционные, следует придерживаться правила, которое хорошо видно на примере перевода числа 0,35:
Удобно писать над каждой цифрой порядок, а дальше ее умножить на основу СС в степени разряда.
Перевод целых и дробей в 2СС, 8СС, 16СС:
Таблицы истинности
При помощи тех же нулей и единиц создаются таблицы истинности логических выражений, в которых описаны всевозможные варианты.
Основные логические операции
Например, конъюнкция является одной из логических операций. Она является истиной только в том случае, если два высказывания имеют истинные значения.
Логические переменные таблицы истинности обозначают p и q, а их значения выражают при помощи 0 и 1, где 0 – ложь, 1 – истина:
Фрагмент таблицы истинности для конъюнкции.
Так выражаются условия для всех логических операций.
Применяются таблицы истинности еще с начала 20 века в алгебре, логике, программировании.
Системы исчисления
Память человека удивительная штука, несмотря на все архивы, исторические записи и сводки нам свойственно забывать все — даже имена великих изобретателей. Не один историк не сможет ответить на вопрос, кто был открывателем колеса или гончарного круга. Также никто не сможет вспомнить, кто первый задал вопрос, который мы используем каждый день: «Сколько?», придумав тем самым первую систему исчисления.
Введение
Потребность в счете возникла у людей с давних времен. Ученые археологи нашли много записей времен пещерного человека, с помощью которых они обозначали количество убитых животных, добытых шкур и собранного урожая. Так в 1937 году в Моравии была найдена кость с 55 зарубками. По мнению ученых они обозначали количество бизонов добытых вождем племени.
С развитием технологий, счет находил применение во всех областях социальной жизни человечества – астрономии, налогообложении и промышленности. Сейчас вычисления активно используются в информатике для представления информации в электронно-вычислительных машинах. В этой статье вы узнаете, что такое система исчисления, изучите основные определения, которые помогут вам лучше разобраться в теме, выясните, что такое позиционные и непозиционные системы исчисления и чем они отличаются.
Основные положения
Для того чтобы разобраться что такое системы исчисления ниже приведены главные понятия, которые вам предстоит понять и запомнить. Без них вы просто не сможете двигаться дальше. Итак…
Число – абстрактная мера измерения количества чего-либо.
Цифры — знаки, с помощью которых мы представляем число.
Системой исчисления – называется совокупность правил записи чисел, с помощью набора цифровых знаков.
Теперь я попробую объяснить смысл этого определения для чайников. У вас есть набор символов – необязательно это могут быть числа, которые с помощью неких приемов и правил представляются как «цифровой код».
Алфавит (он же код) – набор знаков, используемых для записи числа.
Числовой разряд – место «позиция» знака (цифры) в числе.
После того как вы разобрались в том, что здесь написано можно перейти к следующему пункту.
Классификация
Системы исчисления можно разделить на три вида – позиционные, непозиционные и смешанные.
Позиционные
Примеры позиционных систем счислений и их использование в математике и информатике:
Непозиционные
Примеры непозиционных нумераций
Смешанные
Этот материал в школьную программу не входит и его достаточно сложно объяснить школьникам, но я все-таки попробую. В смешанной системе исчисления числа с основанием P можно представить числами с основанием Q. Также здесь должно выполняться неравенство Q
Что такое основание
После того как мы разобрали классификацию, можно рассказать про такое понятие как основание.
Основание – количество знаков, которые используются для отображения символов в данной системе счисления.
В математике и информатике записывается так:
Читается как «Двадцать пять по основанию десять» и значит то, что в данном алфавите имеется десять знаков для записи числа. Данное определение используется только в позиционных системах исчисления. Запись с нижним индексом используется для удобства, при работе с числами нескольких видов.
Заключение
На этом всё, теперь вы знакомы с таки понятием как система исчисления в информатике. Знаете, какие они бывают (позиционные и непозиционные), на какие группы делятся, ознакомлены с основными положениями и знаете что такое основание. После освоения этого материала можете смело приступать к другим темам – таким как перевод из одной системы в другую и выполнение арифметических операций. А также, в этом разделе, вы найдете несколько интересных статей. Например, про то, как представляется память в персональном компьютере или историю непозиционных чисел.
Система счисления
Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Содержание
Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.
Системы счисления
Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.
Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.
Десятичное число 99 имеет следующее представление:
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.
Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).
В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.
Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:
Типы систем счисления
Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:
XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;
Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.
2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425
Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).
Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.
Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.
Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.
А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.
В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.
Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.
Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.