Что такое скользящий вектор

Силы в теоретической механике

Определение силы

Как показывает опыт, можно создать условия, при которых материальные точки будут взаимодействовать друг с другом. Тогда их скорости не будут постоянными – движение при взаимодействии является ускоренным. У рассматриваемой нами точки, вектор скорости будет зависеть от времени, а вектор ускорения будет отличен от нуля. Тогда удобно ввести новую векторную физическую величину, пропорциональную вектору ускорения точки. Такую величину называют силой. Она определяется по формуле:
,
где m – еще одна физическая величина, называемая массой точки.

Формула (1) называется вторым законом Ньютона. По существу, она является определением новой физической величины – силы. Такое определение согласуется с нашим жизненным опытом, согласно которому, чем больше мы прилагаем усилий, тем быстрее разгоняется груз (например, при толкании ядра в легкой атлетике). Однако, в отличие от жизненного опыта, формула (1) дает строгое математическое определение.

Сила – это векторная величина

Поскольку сила – это вектор, то к ней применимы все формулы, применяемые к векторам в аналитической геометрии.

Скользящие векторы

Скользящий вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, проведенной через точку приложения параллельно образующему вектору. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на одной прямой, параллельной образующему вектору.

Наряду со скользящим вектором, мы можем ввести понятия закрепленных и свободных векторов.

Закрепленный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два фиксированных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором. Свободный вектор – это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.

Таким образом, свободный вектор не зависит от точки приложения, и является просто вектором. Для справок также приведем определение вектора.

Силы в теоретической механике

Если мы рассматриваем деформации в телах, то все приложенные силы нужно рассматривать как связанные векторы, поскольку внутренние напряжения и деформации зависят от точек приложения сил. Но если мы считаем тело абсолютно твердым, и нам нужно определить только траекторию его движения, то, как показано выше, силы являются скользящими векторами. То есть в теоретической механике мы можем обращаться с силами более свободно, чем при решении других задач – точки приложения сил можно перемещать вдоль линий их действия.

Таким образом, в теоретической механике, над силами мы можем выполнять следующие преобразования.
1) Переносить точку приложения силы на любое расстояние вдоль линии ее действия.
2) Раскладывать силу по правилу параллелограмма на две или более сил, каждая из которых приложена в той точке, что исходная сила – то есть можно заменить исходную силу на несколько сил, векторная сумма которых равна исходной.
3) Несколько сил, приложенных к одной точке можно объединять в одну, применяя правило параллелограмма – то есть можно заменить несколько сил, приложенных в одной точке их векторной суммой, приложенной в той же точке.

Такие преобразования называются эквивалентными преобразованиями сил. А системы, полученные в результате таких преобразований, называются эквивалентными системами сил. На странице «Аксиомы статики» приводится иллюстрация подобных преобразований. См. «Пример решения задачи, используя аксиомы статики». Таким образом, в теоретической механике, силы являются некоторыми расчетными величинами. Их можно преобразовывать для того, чтобы получить более простую систему сил и упростить уравнения движения тел.

Статика и эквивалентные преобразования сил

Отсюда следует вывод, что для получения эквивалентной системы сил, нужно к исходной системе, добавить новую систему сил так, чтобы тело находилось в равновесии. Тогда эквивалентная система будет совпадать с новой, в которой направления сил заменены на противоположные.

Единицы измерения силы

В МКГСС единицей измерения силы является килограмм-сила. Это основная единица этой системы (наряду с метром и секундой). Обозначается кгс или кГ. Международное обозначение kgf или kg_F.
.

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Скользящий вектор

Скользящие векторы представляют собой векторные величины, остающиеся неизменными вдоль линии действия вектора и изменяющиеся при переходе к другой точке пространства, не лежащей на линии действия. [3]

Скользящие векторы в заданном пространстве определяют такие векторные физические величины, которые не меняются вдоль линии действия вектора. Вдоль линии действия они имеют одно и то же значение и направление и представляются одним и тем же вектором. При переходе к другой точке, не расположенной на линии действия, эти физические величины имеют уже другое значение. Скользящими векторами представляются силы, действующие на абсолютно твердое тело, вектор мгновенной угловой скорости вращения твердого тела и другие физические величины. [4]

Скользящий вектор определяется пятью независимыми величинами. [5]

Скользящий вектор может перемещаться вдоль прямой, отрезком которой он является. Прямую эту называют основанием или линией действия вектора. [6]

Скользящий вектор нельзя переносить с одной прямой на другую. Сила, действующая на твердое тело, является примером скользящего вектора. [9]

Аналитически скользящий вектор определяется пятью числами, например тремя проекциями ах, ау, аг вектора а и координатами xv y точки пересечения прямой, вдоль которой направлен этот вектор, с плоскостью Оху. [11]

Всякий скользящий вектор е, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, н прибавив при этом пару с моментом, равным моменту приложенного в точке А вектора to относительно точки В. [12]

Введем скользящий вектор ш ( см. раздел 1.2), основание которого совпадает с осью вращения. Ориентируем его так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки. Полюс О расположим на оси вращения. [13]

Источник

Что такое скользящий вектор

Систему скользящих векторов, все линии действия которых пересекаются в одной точке, будем называть сходящейся.

Определение. Результирующим вектором системы сходящихся в точке О скользящих векторов назовем скользящий вектор с, линия действия которого проходит через точку О, а величина и направление определяются сложением векторов, рассматриваемых как свободные.

Теорема Вариньона. Момент результирующего вектора системы сходящихся векторов относительно начала координат равен геометрической сумме моментов составляющих векторов относительно того же начала.

Доказательство. Докажем сначала теорему для двух сходящихся скользящих векторов. Пусть система состоит из двух скользящих векторов а и , линии действия которых пересекаются в точке А (рис. 13). И пусть с — результирующий вектор этой

системы. Покажем, что момент результирующего вектора с относительно точки О равен сумме моментов составляющих векторов а и Для этого проведем через точку О плоскость ортогональную к прямой и пусть отрезки являются соответственно ортогональными проекциями векторов и с на плоскость По определению, момент вектора с относительно точки О равен по величине удвоенной площади треугольника т. е. произведению расположен в плоскости и направлен лерпендикулярно отрезку Точно так же и моменты та и векторов а и b относительно точки О равны соответственно произведениям и и ортогональны к прямым Отсюда видно, что параллелограмм, построенный на векторах будет подобен параллелограмму, а момент будет совпадать с диагональю этого параллелограмма, т. е. является геометрической (или векторной) суммой векторов Теорема доказана. Она легко распространяется на любую сходящуюся систему скользящих векторов.

Пример 3 Пусть заданы два скользящих вектора: , проходящие через точку . Проверим справедливость теоремы Вариньона

Вектор имеет проекции Момент вектора с относительно начала координат определится по формуле

Вычисляя моменты векторов а и b относительно начала координат получим

Отсюда очевидна справедливость теоремы Вариньона

Источник

Элементы векторной алгебры. Понятия связанного и свободного векторов

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемешаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрещенными векторами.

На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1). Рис.3 Рис. 1 В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым. Определение. Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис.2). Обозначение: А В = CD. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Понятия связанного и свободного векторов

Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины. Пример. Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны, р Укажем некоторые свойства равных связанных векторов: 1.

Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ. Если Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы CD = АВ. Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис.5). Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе.

Ясно, что свободный вектор А В однозначно определяется заданием связанного вектора АВ. Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6). Рис. 6 Рис. 4 Связанные и скользящие векторы широко используются п теоретической механике.

Для обозначения свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, Ь, с. ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой & АВ = а (рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для кото- РИС 7 рого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А. Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания,равнымеждусобойи,значит,имеютодинаковуюдлину. Этопозволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а|.

Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = Ь, то |а| = |Ь|; обратное неверно. §2. Линейные операции над векторами 2.1. Сложение векторов Пусть заданы два вектора а и Ь. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: OA = а. От полученной точки А отложим вектор I»: АВ = Ь. Полученный в результате вектор оЪ называется суммой векторов а и b и обозначается через а + Ь (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство (рис.9). Если отложить векторы а и I» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор ОЙ, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + Ь (или b + а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма. Рис.9 Рис. ю ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Линейные операции над векторами

Умножение вектора на число Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: OA = а; от полученной точки А отложим вектор b: АВ = Ь; отточки В — вектор с: ВС = с (рис. 11). По определению суммы оЪ = а + b и ОС = (а + Ь) + с (рис. 12). С другой стороны, ЛС = b + с и, значит, О? = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так: Рис. 12

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов: Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную. Пример. Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины. По правилу замыкающего ломаную получаем (рис. 15). Рис. 15 2.2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

А и Я располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, А 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными. Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, Л — вещественное число.

Определение. Произведением вектора а на число А называется вектор 1> такой, что 2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если А > 0 (соответственно, А 0). Обозначение: b = Аа. При Л = 0 положим Ла = О. Таким образом, векторы а и b = Аа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а (и Ф 0) и b коллинеарны, то можно найти число А такое, что 1х = Аа. Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Вместо определения 2 можно ввести другое определение ра­венства векторов, согласно которому векторы равны, если они равны по длине, лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В этом случае вектор может быть перенесен не в любую точку пространст­ва, а только вдоль прямой, на которой он лежит. При таком понимании равенства векторы называются скользящими векторами. В механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается сколь­зящим вектором, при этом известно, что две силы, равные и расположенные на одной прямой, оказывают на твёрдое тело одинаковое механическое действие.

Можно для векторов не вводить никакого особого понятия ра­венства, т. е. считать, что каждый вектор равен только самому себе и характеризуется, помимо длины и направления в пространстве, еще и точкой приложения. В этом случае векторы называются приложенными (связанными,«фиксированными») векторами. Как уже упоминалось, сила, действующая на нетвердое (например, упругое) тело, изображается приложенным вектором.

Если нужно подчеркнуть, что равенство понимается в смысле определения 2, то вектор называется свободным. Свободным вектором изображается, например, угловая скорость тела. Определение 3 определяет свободный вектор. Равные векторы отличаются друг от друга только положением начала. Однако во многих вопросах положение начала вектора не играет роли, существенны лишь длина и напра­вление вектора. Отвлекаясь в определении вектора от положения его начала, мы приходим к понятию свободного вектора. Таким образом, свободный вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) вполне определяется заданием его длины и (если он ненулевой) направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как разные конкретные изображения одного и того же свободного вектора.

Так в арифметике все равные между собой дроби рассматривают как разные изображения одного и того же рационального числа. При этом в арифметике настолько привыкли отождествлять дробь с изображаемым ею числом, что самые рациональные числа называют дробями. Подобно этому в векторном исчислении свободный вектор называют просто вектором. Мы также в дальнейшем почти всегда, будем пользоваться лишь термином вектор; при этом надо иметь в виду, что всюду, где специально не указано положение начала, речь идет о свободном векторе. Указывая начало, т. е. выбирая некоторое определенное изображение данного (свободного) вектора, мы будем говорить, что откладываем этот вектор от данной точки или совмещаем его начало с этой точкой и т. п.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается – . Для вектора противоположным будет вектор . Вектор называют противоположным вектору .

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки Е и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

• Замечание. «Ухищрение» в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

• точки A, B, C, D располагаются на одной прямой,

• векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

• Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Иными словами, мы будем считать вполне тождественными (или эквивалентными) векторы, равные между собою.

Надо, однако, заметить, что в очень многих вопросах чистой и прикладной математики приходится рассматривать векторы, положение начала которых играет существенную роль. В отличие от последних векторы, только что охарактеризованные нами (т. е. такие, положение начала которых не играет никакой роли), назы­ваются свободными.

Из несвободных векторов в математике, механике и физике рассматриваются векторы скользящие и связанные.

Скользящие — это такие векторы, которые считаются тождествен­ными (эквивалентными), если они не только равны, но и распо­ложены на одной и той же прямой. Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к абсолютно твердому телу. Действительно, из механики известно, что две силы, равные и рас­положенные на одной прямой, эквивалентны в том смысле, что оказывают на твердое тело одинаковое механическое действие.

Связанные — это такие векторы, которые считаются тождест­венными, если они не только равны, но и имеют одинаковые начала. Примером связанного вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке нетвердого (например, упругого) тела.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки А и С, В и D.

Метод координат

В элементарной (школьной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фи­гур и окружности (в разделе планиметрия), а также прямые и плоскости в про­странстве, многогранники и круглые тела — цилиндр, конус, шар (в разделе сте­реометрия). Основную роль при этом играют построения, а вычислениям отводится роль вспомогательная. Выбор того или иного построения для каждого конкрет­ного случая требует обычно индивидуального подхода и соответствующей изобре­тательности, что и составляет основную трудность при решении задач методами элементарной геометрии.

Аналитическая геометрия и была призвана устранить эти трудности и создать единый метод решения различных геометрических задач. Поставленная цель была достигнута разработкой координатного метода, в котором основную роль играют вычисления, выполняемые по заданным формулам, а построения имеют вспомога­тельное значение.

Необходимые предпосылки для создания метода координат были подготовлены еще трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония Пергского (ок. 260—170 до н. э.). Однако систематическое развитие этот метод получил в первой половине XVII века в работах Рене Декарта и Пье­ра Ферма.

Рене Декарт (Rene Descartes, 1596—1650) — знаменитый французский фи­лософ, математик, физик и физиолог. Родился в г. Лаэ (департамент Турень) в дворянской семье. В 1629 г. поселился в Голландии, где написал большую часть своих работ. Умер в Стокгольме, куда переехал в 1649 г.

В физике Декарт установил закон преломления света на границе двух сред (который несколько раньше и независимо от него был сформулирован В. Снеллиусом), пояснил образование радуги. Ему же принадлежит формулировка закона сохра­нения количества движения (в скалярной форме) и разработка механистической гипо­тезы образования тел Солнечной системы. В области физиологии Декарту принадле­жит большое число экспериментов и ряд плодотворных научных идей, в частности, он первым ввел понятие о рефлексе.

В 1637 г. Декарт издал большой философский трактат «Рассуждение о мето­де. С приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия» (русский перевод, Гостехиздат, М., 1953), в котором, в частности, систематически изложен метод прямоли­нейных координат, введена удобная алгебраическая символика, сохранившаяся до наших дней, выполнена классификация кривых на алгебраические и трансцен­дентные, а также даны способы построения касательных и нормалей к плоским алгебраическим кривым. Благодаря этой работе, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие математики, Декарта, наряду с его не менее знаменитым соотечественником Ферма (который раньше и более последовательно, чем Декарт, разработал метод координат, но работы Ферма, в том числе и по аналитической геометрии, были опубликованы только в 1679 г. после его смерти), и считают основоположником аналитической геометрии, а 1637 год — годом ее зарождения.

Источник