Что такое сложение натуральных чисел
Сложение натуральных чисел
Сложение чисел — это арифметическое действие, с помощью которого единицы двух чисел объединяются в одно новое число.
Пример. На столе лежало 3 карандаша, к ним положили ещё 4 карандаша. Сколько карандашей лежит на столе?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо посчитать все карандаши, которые лежат на столе:
Считая карандаши, мы к карандашам, которые лежали на столе, прибавили карандаши, которые положили на стол, и получили общее число всех карандашей, то есть 7.
Для записи сложения используется знак + (плюс), который ставится между складываемыми числами. Например:
Эта запись означает, что складываются два числа: 3 и 4. Справа от записи сложения ставится знак = (равно), после которого записывает полученный результат:
Слагаемые и сумма
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются. Например, в записи:
2 — это первое слагаемое, 5 — второе слагаемое.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения. Например, в записи:
7 — это сумма. При этом сама запись 2 + 5 тоже называется суммой.
Проверка сложения
где 3 — это первое слагаемое, 5 — это второе слагаемое, а 8 — сумма. Чтобы узнать правильно ли было выполнено сложение, можно:
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием, для этого из суммы надо вычесть одно из слагаемых, если разность окажется равной другому слагаемому, то сложение выполнено верно.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Сложение натуральных чисел
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— сложение натуральных чисел;
— переместительный закон сложения;
— сочетательный закон сложения.
Сложение – арифметическое действие, посредством которого из двух или нескольких чисел получают новое, содержащее столько единиц, сколько было во всех данных числах вместе.
Слагаемые – числа, которые складывают.
Сумма – результат сложения.
Переместительный закон сложения: сумма не меняется от перестановки её слагаемых.
Сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Представьте, что надо сложить числа 6 и 4. Будем рассуждать таким образом. Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней число 6. Отсчитаем от него вправо 4 деления.
Получим число 10, которое является суммой чисел 6 и 4. То есть 10 = 6 + 4.
Числа 6 и 4 называются слагаемыми.
Но можно поступить иначе: отметим на числовом луче сначала число 4 и отсчитаем от него вправо 6 делений. Получится тоже самое число 10, которое является суммой чисел 4 и 6: 10 = 4 + 6.
То есть сумма не меняется от перестановки слагаемых:
Для любых натуральных чисел а и b верно равенство:
выражающее переместительный закон сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Теперь будем складывать три числа – 2, 3 и 4. Для этого, применяя уже известный способ, отметим на числовой прямой число 2, отсчитаем от него вправо 3 деления – получим число 5, отсчитаем от него вправо ещё 4 деления, получим число 9.
Следовательно, (2 + 3) + 4 = 9.
Теперь отметим число 2, отсчитаем от него вправо 3 + 4 = 7 делений.
Получим также 9: 3 + (2 + 4) = 9.
Таким образом, мы получим равенство
Для любых чисел a, b и с верно равенство:
выражающее сочетательный закон сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Также стоит обратить внимание, что этот закон позволяет записать сумму нескольких слагаемых без скобок:
3 + (2 + 4) = (3 + 2) + 4 = 3 + 2 + 4.
Законы сложения верны для любых неотрицательных чисел.
А теперь применим на практике следующее утверждение: в сумме нескольких слагаемых можно менять местами слагаемые и заключать их в скобки любым образом.
Например, 23 + 118 + 17 + 82 = 240
Поменяем местами слагаемые 118 и 17, получим:
(23 + 17) + (118 + 82) = 40 + 200 = 240
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Чему равно значение выражения: 138 + 22 + 36?
Варианты ответа: 196; 195; 190; 200.
Решение: чтобы найти значение данного выражения, следует сложить 138 и 22, что в сумме даст 160, а затем к этому числу прибавить 36. В итоге получится 196.
№ 2. Используя законы сложения, составьте новое выражение, значение которого можно будет легко найти: 635 + 298 + 1365 + 402.
Решение: воспользуемся переместительным законом сложения; получим 635 + 1365 + 298 + 402. В итоге получаем выражение, значение которого легко вычислить.
Числа. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения натуральных чисел.
Сложение натуральных чисел основывается на сложении 2-х натуральных чисел. Сложение 3-х и больше чисел выглядит как последовательное сложение 2-х чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойства сложения, числа, которые складываются можно менять местами и заменять любые 2 из складываемых чисел их суммой.
Действие сложения маленьких натуральных чисел можно производить в уме либо на бумаге по разрядам слагаемых, учитывая то, что каждый полный десяток разряда это 1 единица следующего (более высокого) разряда.
Например: 235 + 672 = (200 + 600) + (30 + 70) + (5 + 2) = 907.
Складывать большие (многозначные) натуральные числа лучше методом сложения в столбик.
Сочетательное свойство сложения доказывает, что результат сложения 3-х чисел a, b и c не зависит от места скобок. Т.о., суммы a+(b+c) и (a+b)+c можно записать как a+b+c. Это выражение называется суммой, а числа a, b и c – слагаемыми.
Аналогично, в силу сочетательного свойства сложения, равны суммы (a+b)+(c+d), (a+(b+c))+d, ((a+b)+c)+d, a+(b+(c+d)) и a+((b+c)+d). Т.е., итог сложения 4-х натуральных чисел a, b, c и d не зависит от места расположения скобок. В аком случае сумму записывают как: a+b+c+d.
Если в выражении не расставлены скобки, а оно состоит из более,чем двух слагаемых, вы сами можете расставить скобки как вам больше нравится и, последовательно сложить по 2 числа, получив ответ. Т.е., процесс сложения 3-х и более чисел сводится к последовательной замене 2-х соседних слагаемых их суммой.
Для примера вычислим сумму 1+3+2+1+5. Рассмотрим 2 способа из большого количества существующих.
Первый способ. На каждом шаге заменяем первые 2 слагаемых суммой.
Т.к. сумма чисел 1 и 3 равна 4, значит:
1+3+2+1+5=4+2+1+5 (мы заменили сумму 1+3 числом 4).
Т.к. сумма 4 + 2 равна 6, то:
Т.к. сумма чисел 6 и 1 равна 7, то:
И последний шаг, 7+5=12. Т.о.:
Мы произвели сложение, расставив скобки следующим образом: (((1+3)+2)+1)+5.
Второй способ. Расставим скобки таким образом: ((1+3)+(2+1))+5.
Сумма 4-х и 3-х равна 7, значит:
И последний шаг: 7+5=12.
На результат сложения 2-х, 3-х, 4-х и т.д. чисел не влияет не только расстановка скобок, но и порядок, записывания слагаемых. Т.о., при суммировании натуральных чисел можно изменять места слагаемых. Иногда это дает более рациональный процесс решения.
Свойства сложения натуральных чисел.
Например: 3 + 1 = 4; 39 + 1 = 40.
Это свойство сложения называется переместительным законом.
Например: 3 + ( 7 + 2 ) = ( 3 + 7 ) + 2 = 12 ;
Поэтому вместо 3 + ( 7 + 2 ) пишут 3 + 7 + 2 и складывают числа по порядку, слева на право.
Это свойство сложения называют сочетательным законом сложения.
И наоборот, при прибавлении числа к нулю, сумма равна числу.
Урок 10 Бесплатно Сложение натуральных чисел и его свойства
Натуральные числа для вас являются привычными и давно знакомыми.
С детства считая предметы или указывая их порядковые номера, вы использовали натуральные числа.
С натуральными числами можно производить основные математические операции: складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.
На этом занятии мы поговорим об операции сложения натуральных чисел, рассмотрим, как можно проиллюстрировать сложение чисел на координатном луче.
Определим основные свойства сложения и научимся применять их при решении задач.
Продемонстрируем свойства сложения с помощью координатного луча.
Научимся группировать и округлять натуральные числа при сложении.
Сложение натуральных чисел
Первым делом вспомним, что называют числовым рядом натуральных чисел и как он выглядит.
Натуральный ряд- это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания (каждое число стоит на своем месте).
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
1. Единица- это натуральное число, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом
2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число
3. Каждое натуральное число, отличное от единицы, следует за одним и только одним натуральным числом
Таким образом, в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.
Если не известно какое-либо число из натурального ряда, его можно определить прибавлением к предыдущему числу единицы.
Найдем в натуральном ряду, изображенном на картинке, пропущенное число, которое следует за числом три.
Прибавим к тройке единицу и получим следующее за тройкой число, равное четырем.
Получим натуральный ряд:
Попробуем сложить числа 2 и 3, действуя по аналогии с предыдущим примером.
К числу 2 прибавим три раза по единице.
В результате сложения чисел 2 и 3 получили число 5.
Данный способ сложения натуральных чисел легко представить на маленьких числах.
Рассмотрим пример, в котором необходимо сложить два больших числа:
Маша прочитала за первый день 25 страниц рассказа, за второй день она прочитала 35 страниц.
Чтобы определить общее число страниц, которые прочитала маша, можно было бы пересчитать все страницы по одной, отсчитывая сначала 25 страниц, затем еще 35.
Времени на решение поставленной задачи было бы затрачено много, да и запись решения такого примера получилась бы очень громоздкой.
Чтобы освободится от пересчета объектов, используют операцию сложения.
Сложение- это арифметическое действие, в результате которого происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.
В общем виде операция сложения выглядит так:
Для записи сложения используют математический знак плюс «+», который находится между складываемыми числами.
Складываемые числа называют слагаемыми.
Операция сложения и результат сложения соединяются знаком равно «=».
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Знак равенства «=» в математике- это символ, который пишется между идентичными по своему значению выражениями.
Знак равенства обозначался в разные времена по-разному.
В античной математике знак равенства обозначали в виде слова (например, est и egale).
В качестве обозначения знака равенства пытались использовать первые буквы слова «равный» на различных языках.
Долгое время использовали аббревиатуру «ае» от латинского слова aegualis- «равный».
Знак равенства в том виде, в котором мы его знаем сейчас, предложил математик Роберт Рекорд в 1557 году.
Этот знак он изобразил в виде двух горизонтальных отрезков, стоящих на одинаковом расстоянии друг от друга «=».
Продолжительное время знак равенства не приживался, свое распространение он получил только столетие спустя, так как многие именитые ученые использовали в своих трудах в качестве знака равенства аббревиатуру «ае», продолжительное время знаком равно «=» обозначали совсем иное математическое понятие- параллельные прямые
Решение нашей задачи будет выглядеть так:
Найдем сумму страниц, прочитанных Машей за два дня.
25 + 35 = 60 (страниц)
Эта запись читается так: «Сумма 25 (двадцати пяти) и 35 (тридцати пяти) равняется 60 (шестидесяти) или «25 (двадцать пять) плюс 35 (тридцать пять) равно 60 (шестьдесят)»
Сложение небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.
Найдем сумму чисел 2 и 4.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.
Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.
Выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче:
Отметим на координатном луче число 2
К числу 2 прибавим 4, т.е. переместим точку А(2) на 4 единичных отрезка вправо, окажемся в точке В (6)
Следовательно, сумма чисел 2 и 4 равна 6
2 + 4 = 6
Ответ: 6
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства сложения натуральных чисел
Рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.
1. Переместительное свойство сложения.
Чтобы лучше понять переместительное свойство сложения натуральных чисел, рассмотрим задачу:
В вазу для фруктов положили 4 яблока и 3 груши, в результате в вазе оказалось 7 фруктов.
Представим другую ситуацию: в вазу для фруктов положили сначала 3 груши, затем 4 яблока, общее количество фруктов в вазе стало равным 7.
В первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в вазу, одинаковое.
Таким образом, если сложить 4 яблока и 3 груши, то получится такой же результат, как при сложении 3 груш и 4 яблок.
4 + 3 = 7
3 + 4 = 7
4 + 3 = 3 + 4
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант задачи: 4 + 3
Отметим точку C (4) на координатном луче, отложив 4 единичных отрезка вправо от точки О (0).
К числу 4 прибавим число 3, т.е. переместим точку С(4) на 3 единичных отрезка вправо, получим точку D(7), следовательно, сумма 4 + 3 = 7
Второй вариант задачи: 3 + 4
Отметим точку Е (3) на координатном луче, отложив 3 единичных отрезка вправо от точки О (0).
К числу 3 прибавим число 4, т.е. переместим точку E (3) на 4 единичных отрезка вправо, получим точку F (7), следовательно, сумма 3 + 4 = 7
Cформулируем переместительное свойство сложения.
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В общем виде данное свойство выглядит так:
2. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.
Рассмотрим данное свойство на примере.
В овощной салат нарезали 2 огурца, затем добавили 1 луковицу и 3 томата.
Рассмотрим другую ситуацию: в салат положили сначала 2 огурца и луковицу, а затем добавили 3 томата.
В первом и во втором случае для приготовления салата было использовано 6 овощей (2 огурца, 1 луковица, 3 томата).
Таким образом, результат сложения числа 2 с суммой чисел 1 и 3 равен результату сложения суммы чисел 2 и 1 с числом 3
2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3
Сочетательное свойство сложения звучит так:
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе.
Последовательность действий при суммировании не важна.
В общем виде сочетательное свойство сложения выглядит так:
Изобразим рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Первый вариант задачи: 2 + (1 + 3) = 2 + 4 = 6 (к числу 2 прибавили сумму двух чисел 1 и 3).
Второй вариант задачи: (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 6 (к числу 2 прибавили сначала единицу, затем к тому что получилось прибавили второе число равное 3).
Отметим точку С (2) на координатном луче (два огурца).
Решение первого варианта задачи: к двум прибавить сумму 1 + 3 = 4 (одна луковица и три томата), т.е. отложить в правую сторону от точки С (2) 4 единичных отрезка, остановимся в точке D c координатой, равной 6 (общее количество овощей в салате).
Решение второго варианта задачи: к числу 2 (число обозначающее количество огурцов в салате) прибавить сначала 1 (количество луковиц), т.е. от точки С (2) отложить на координатном луче вправо один единичный отрезок.
В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий мы оказывались в точке D (6), следовательно, общее количество овощей в салате в первом и во втором варианте задачи одинаковое и равно шести.
3. Свойство сложения нуля с натуральным числом и натурального числа с нулем.
Представим, что в пустую корзину положили 6 яблок.
Это значит в корзине находилось ноль яблок и в нее помещают 6 яблок.
Понятно, что в результате в вазе оказалось 6 яблок.
0 + 6 = 6
При сложении нуля с каким-либо числом всегда получается это самое число.
Аналогичная ситуация будет складываться, если в корзине находилось 6 яблок и в нее больше ничего не положили, то в корзине останется прежнее число яблок.
Если к числу прибавлять ноль (т.е. ничего не прибавлять), то получится исходное число.
6 + 0 = 6
Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому.
Рассмотрим, как выглядит данное свойство на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
6 + 0 = 6
К 6 прибавить 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.
0 + 6 = 6
К 0 прибавить 6, значит, от точки О (0) отложить вправо 6 единичных отрезков, полученная точка с координатой 6 является суммой чисел 0 и 6
Переместительное и сочетательное свойство сложения используют для упрощения вычисления математических выражений.
В выражениях со скобками первым действием выполняют то, которое стоит в скобках.
Когда в записи суммы нет скобок, то сложение выполняют по порядку слева направо.
При вычислении суммы, состоящей из трех и более слагаемых, удобно использовать сразу переместительное и сочетательное свойство сложения, группируя слагаемые, объединяя их по определенному признаку с помощью скобок.
Группировать числа лучше так, чтобы в сумме эти числа давали круглое число (число, оканчивающееся на ноль), с такими числами легче выполнять математические операции.
Пример:
Дано выражение 15 + 23 + 35 + 17
Найдем сумму чисел удобным способом.
Проще решить данное выражение, объединив с помощью скобок слагаемые так, чтобы в сумме они давали круглые числа.
Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, переставим местами слагаемые и сгруппируем их.
Ответ: 90
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Круглые числа легче сложить друг с другом.
Пример:
Существует правило: сумма чисел не изменяется, если к одному из слагаемых прибавить несколько единиц, а из другого слагаемого вычесть такое же количество единиц.
Найдем сумму чисел 49 и 13
Увеличим слагаемое 49 на одну единицу; таким образом, округлим его до 50
Но, увеличивая одно слагаемое на одну единицу, необходимо второе слагаемое уменьшить на одну единицу для сохранения равенства.
Уменьшим число 13 на одну единицу.
49 + 1 = 50
Получаем следующее выражение:
50 + 12 =62
Ответ: 62.
Данный прием округления особенно удобно использовать при устных вычислениях.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации