Системы счисления. Арифметические действия в двоичной системе счисления

Цель: научить учащихся выполнять арифметические действиями в двоичной системе счисления.
Задачи:
образовательные:
— повторение и закрепление знаний учащихся о системах счисления;
— формировать у школьников умение выполнять правильно арифметические действия в двоичной системе счисления;
развивающие:
— развивать логическое мышление учащихся;
— развивать познавательный интерес учеников.

Содержание нового материала: правила сложения, умножения, вычитания и деления в двоичной системе счисления.

Ход урока.

Изучение нового материала.
Правила сложения:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Обратить внимание учащихся на то, что при сложении двух единиц в двоичной системе счисления в записи получается 0, а единица переносится в следующий разряд. При сложении трех единиц получается в записи 1, и единица переносится в следующий разряд. (1+1+1=11).

Пример 1.
101+10=111

Пример 2.
10011+11=1110

Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры:
1001+11=1100
110+110=1100

Правила умножения:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Пример 1.
101*11=1111

Пример 2.
1011*101=110111

Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры:
1001*101=101101
1001*11=11011

Правила вычитания:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0-1=-1
Обратить внимание учащихся на то, что «минус» в последнем правиле обозначает – «занять разряд (1)».

Пример 1.
10110-111=1111

Объяснение:
Вычитание выполняется так же, как в математике. Если цифра в уменьшаемом меньше цифры вычитаемого, то для данного вычитания необходимо занять разряд (1), т.к. 10-1=1. Если слева от такого вычитания стоит 0, то мы не можем занять разряд. В этом случае разряд занимаем в уменьшаемом у близстоящей слева от данного вычитания единицы. При этом все нули, у которых мы не могли занять разряд, необходимо поменять на единицу, т.к. 0-1=-1. Желательно все изменения в цифрах записывать сверху данного вычитания. Дальнейшее вычитание выполнять с получившимися сверху цифрами.

Пример 2.
100000-11=11101

Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры:
100010-100=
101011-10111=

Правило деления:
Деление выполняется по правилам математики, не забывая, что мы выполняем действия в двоичной системе счисления.

Пример 1.
101101:1001=101

Источник

Информатика. 10 класс

Конспект урока

Информатика, 10 класс. Урок № 9.

Тема урока — Арифметические операции в позиционных системах счисления

Урок посвящен теме «Арифметические операции в позиционных системах счисления»». В ходе урока школьники научатся складывать, вычитать, умножать и делить в разных позиционных системах счисления.

— позиционные системы счисления,

— арифметические операции в системе счисления с основанием q,

Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую. Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления. А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?

Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. Первый кто заговорил о двоичном кодировании, был Лейбниц Готфрид Вильгельм. Он написал трактат «Expication de l’Arithmetique Binary» — об использовании двоичной системы счисления в вычислительных машинах. В рукописи на латинском языке, написанной в марте 1679 года, Лейбниц разъясняет, как выполнять вычисление в двоичной системе, в частности умножение, а позже в общих чертах разрабатывает проект вычислительной машины, работающей в двоичной системе счисления. Вот что он пишет: « Вычисления такого рода можно было бы выполнять и на машине». Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.

Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

— справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);

— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

Мы узнаем на уроке:

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:

Исходное выражение 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

примет вид 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Перепишем выражение в порядке убывания степеней: 2 4032 + 2 4000 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

2 1 = 10 = 1 + 1; 2 2 = 100 = 11 + 1; 2 3 = 1000 = 111 + 1; …

В общем виде

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Эти соотношения позволят подсчитать количество «1» в выражении без вычислений. Двоичные представления чисел 2 4032 и 2 4000 внесут в двоичное представление суммы по одной «1». Разность 2 2018 – 2 1800 в двоичной записи представляет собой цепочку из 218 единиц и следующих за ними 1800 нулей. Слагаемые 2 2 и 2 1 дают ещё 2 единицы.

Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:

Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.

Давайте разберем еще одну задачу.

Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Выберите выражения, значения которых одинаковые.

Возьми карандаш и подчеркни результат сложения

1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 153₈ + F9₁₆

3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 122₃ * 11₂

6. Выполни операцию деления 10010000₂ / 1100₂

7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (564₈ + 234₈) * C₁₆

4. Найти разность 167₈ – 56₈

5. Выполнить операцию деления 41612₈ / 12₈

8. Найти разность 12E₁₆ – 79₁₆ ответ запиши в десятичной системе счисления

Источник

Двоичная арифметика – примеры чисел

Операции сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной системе – это двоичная арифметика. Некоторые примеры двоичной арифметики рассмотрены в данной статье.

Двоичная арифметика

Все арифметические действия, которые применимы к двоичным числам, выполняются аналогично как в десятичной системе. Удобнее всего двоичные числа складывать, вычитать, умножать и делить столбиком.

Числа записываются друг под другом с учетом разрядов. При необходимости производится перенос в старший разряд или заем из старшего разряда.

При сложении двоичных чисел следует помнить, что в числовом двоичном ряду после 1 идет 10. Это означает, что 1 + 1 = 10, а 11 + 1= 100.

Изучению двоичной системы много времени посвятил В. Лейбниц. По его просьбе была отчеканена медаль в честь двоичной системы, на которой отображались простейшие арифметические действия с двоичными числами.

Рис. 1. Медаль в честь двоичной системы счисления

Сложение

Вычисление суммы двоичных чисел производится следующим образом: числа записываются в столбик. Затем производится поразрядное суммирование цифр, начиная с младшего разряда, как в десятичной системе. Если сумма цифр текущего разряда превышает его размер, то происходит перенос единицы в старший разряд.

Правила сложения двоичных чисел:

Например, сумма двоичных чисел 1000111 + 110011 = 1111010

Источник

Учитель информатики

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Информатика. 10 класса. Босова Л.Л. Оглавление

§12. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

В начальной школе для обучения детей счёту используют таблицы сложения и умножения. Подобные таблицы можно составить для любой позиционной системы счисления.

12.1. Сложение чисел в системе счисления с основанием q

Рассмотрите примеры таблиц сложения в троичной (табл. 3.2), восьмеричной (табл. 3.4) и шестнадцатеричной (табл. 3.3) системах счисления.

Таблица 3.2

Сложение в троичной системе счисления

Таблица 3.3

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица 3.4

Сложение в восьмеричной системе счисления

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел А и Б, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

• если a_i + b_i

12.2. Вычитание чисел в системе счисления с основанием q

Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел А и В, надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:

12.3. Умножение чисел в системе счисления с основанием q

Рассмотрите примеры таблиц умножения в троичной (табл. 3.5), восьмеричной (табл. 3.6) и шестнадцатеричной (табл. 3.7) системах счисления.

Таблица 3.5

Умножение в троичной системе счисления

Таблица 3.6

Умножение в восьмеричной системе счисления

Таблица 3.7

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на однозначное.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить произведение М многозначного числа А и однозначного числа b, надо вычислить произведения b и цифр, образующих число А по разрядам i справа налево:

• если a_i • b

Умножение многозначного числа на многозначное число выполняется столбиком. При этом два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце).

Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы в одном столбце оказались их самые младшие разряды с цифрами, отличными от нуля. Нули переносятся в итоговое произведение, а в поле записи поэтапных произведений не заносятся.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат.

Примеры:

12.4. Деление чисел в системе счисления с основанием q

Деление нельзя свести к поразрядным операциям над цифрами, составляющими число.

Деление чисел в системе счисления с произвольным основанием q выполняется так же, как и в десятичной системе счисления.

Примеры:

12.5. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения, вычитания и умножения:

Рассмотрим несколько простых, но очень важных примеров на сложение и вычитание в двоичной системе счисления.

Пример 1. Найдём количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 — 8 600 + 6

Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:

Исходное выражение примет вид:

2 4000 + 4 2016 + 2 2018 — 8 600 + 6 = 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 — 2 1800 + 2 2 + 2 1

Перепишем выражение в порядке убывания степеней:

2 4032 + 2 4000 + 2 2018 — 2 1800 + 2 2 + 2 1

Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

2 1 = 10 = 1 + 1;
2 2 = 100 = 11 + 1;
2 3 = 1000 = 111 + 1;
2 4 = 10000 = 1111 + 1 и т. д.

В общем виде:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Эти соотношения позволят нам подсчитать количество единиц в нашем выражении, не прибегая к его вычислению.

Действительно, двоичные представления чисел 2 4032 и 2 4000 внесут в двоичное представление суммы по одной единице. Разность 2 2018 — 2 1800 в двоичной записи представляет собой цепочку из 218 единиц и следующих за ними 1800 нулей. Слагаемые 2 2 и 2 1 дают ещё 2 единицы.

Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.

Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

1) все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
2) вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
3) перевести результат в требуемую систему счисления.

Для работы с десятичными числами вида 2п полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

Для натуральных пит таких, что n > m, получаем:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Вопросы и задания

1. Выполните арифметические операции над двоичными числами:

1) 10010011 + 101101;
2) 110010,11 + 110110,11;
3) 110101110 — 10111111;
4) 111110 • 100010;
5) 11111100101 : 101011.

Для того чтобы убедиться в правильности полученных результатов, найдите десятичные эквиваленты операндов и результата.

2. Какое число следует за каждым из данных:

Ответ для каждого числа дайте в указанной и десятичной системах счисления.

3. Какое число предшествует каждому из данных:

Ответ для каждого числа дайте в указанной и десятичной системах счисления.

4. Сумму восьмеричных чисел 17 + 1700 + 170000 + 17000000 + 1700000000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в шестнадцатеричной записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.

5. Вычислите значение выражения:

6. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

7. В примерах на сложение восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, определив вначале, в какой системе счисления эти числа записаны.

8. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе счисления:

11000000, 11000011, 11011001, 11011111.

Сколько среди них чисел, больших, чем АВ₁₆ + 25₈?

9. Сколько единиц в двоичной записи числа 4 2014 + 2 2015 — 9?

*10. Сколько единиц в двоичной записи числа 8 4024 — 4 16O5 + 2 1024 — 126?

Источник

Двоичная система счисления

Содержание:

Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.

Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.

Общая форма записи двоичных чисел

Для целых двоичных чисел можно записать:

Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Правила сложения двоичных чисел

Основные правила сложения однобитовых чисел

Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.

Пример сложения двоичных чисел

Правила вычитания двоичных чисел

Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.

Вычитание методом заимствования

Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании).
Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

Вот несколько простых примеров:

Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):

Вычитание методом дополнения

Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.

Однако простому человеку, привыкшему вычитать десятичные числа, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно познакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.

В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.

011101₂ → 100010₂.

К полученному вычитаемому прибавьте единицу.

100010₂+ 1₂ = 100011₂

Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.

1) Переведем числа в двоичную систему счисления:
Допустим, что из числа 101101₂ нужно вычесть 11011₂

2) Обозначим как A число 101101₂ и как B число 11011₂.

3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

Источник