Сложение векторов
Часть математических и физических задач содержит необходимость математических действий с векторами (сложение и вычитание).
Способ 1. Метод сложения треугольником
Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 1)
Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)
Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора ( ) и конец второго ( ), является вектором ( ).
Способ 2. Метод сложения параллелограммом
Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.
Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)
Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого ( ) и второго ( ) векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ( ).
Вывод: в ряде задач, где присутствуют несколько однородных векторных физических величин, часто необходимо найти общий вектор (общую скорость, равнодействующую силу, полный вектор магнитной индукции или электрической напряжённости поля). Тогда необходимо сначала сложить вектора, а потом найти модуль получившегося вектора.Чаще всего первый метод используется в кинематике (сложение скоростей). Второй метод часто используют в динамике.
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Правило параллелограмма — что это такое
Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.
Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.
Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:
Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:
1. Правило треугольника.
Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.
2. Правило многоугольника.
Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.
Переместительный и сочетательный законы, доказательство
Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.
Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.
От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.
Построим параллелограмм ABCD.
По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.
С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.
Что и требовалось доказать.
Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.
Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).
От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.
Запишем сумму (a+b)+c через векторы:
Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).
Запишем сумму a+(b+c) через векторы:
Что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.
По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.
BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:
ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.
Сложение векторов в геометрии
Основные законы сложения векторов в геометрии
На плоскости найти сумму векторов можно, воспользовавшись формулой:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Если ситуация переходит в пространственное измерение, то достаточно всего лишь а тот же пример добавить новую координату:
Основные законы:
Помимо покоординатного сложения направленных отрезков, существуют геометрические нормы, которые позволяют узнать их сумму. Наиболее широко используемых методов в системе три: правило треугольника, параллелограмма и многоугольника.
Как происходит сложение по правилу треугольника
Чтобы узнать сумму векторов x и y, необходимо из произвольной точки отложить первый из них, а затем из его конца уже отложить второй. Следующий шаг — построить направленный отрезок, который соединит начало \vec x с концом \vec y. Образовавшаяся сторона треугольника и будет результатом сложения двух векторов. Теорема считается доказанной.
Сложение по правилу параллелограмма
Найти сумму векторов можно без построения треугольника. Для этого от начала первого вектора нужно отложить второй вектор. Дополним получившийся чертеж до параллелограмма. Две его стороны у нас уже имеются. Выстроить оставшиеся поможет способ параллельного переноса. Диагональ готовой фигуры, которая исходит из начальной точки векторов, считается их суммой. Теорема доказана.
Как и когда применяется правило многоугольника
Данный способ потребуется для того, чтобы сложить более двух векторов.
Принцип действий в данном случае похож на последовательность шагов, как в случае с треугольником. Из произвольной точки провести первый вектор. Из его конца — второй, из второго — третий и так далее. Затем окончание последнего вектора соединить с началом первого — это будет результат сложения всех векторов. Доказательство теоремы выполнено.
Задачи с примерами решения
Задача 1
Решение
Задача 2
С помощью правила треугольника постройте сумму заданных векторов a и b.
Решение 1
Решение 2
Одна цель достигнута разными способами, что наглядно демонстрирует действие переместительного закона.
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
Покоординатное сложение векторов.
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Угол между результирующей силой и первой силой равен:
А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
Сложение векторов
Сумма векторов
Свойства сложения векторов:
Для любых векторов
3) свойство прибавления нулевого вектора:
4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:
Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:
Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.
(О сложении векторов)
Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:
Что и требовалось доказать.
Правило треугольника построения суммы двух векторов
Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.
Например,
(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).
Правило параллелограмма построения суммы двух векторов
Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.
Например,
Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.
При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.
Построить сумму векторов
1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора
Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).
2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы
Достроим на этих векторах параллелограмм.
Сумма
равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.
1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.
2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.
Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:
от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.
Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:
