Что такое сложение вычитание умножение деление вычитание
Порядок действий в математике
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!
Основные арифметические действия: определения, примеры
В данной публикации мы рассмотрим определения, общие формулы и примеры 4 основных арифметических (математических) действий с числами: сложения, вычитания, умножения и деления.
Сложение
Сложение – это математическое действие, в результате которого находится сумма.
Обозначается сложение специальным знаком “+“ (плюс), а сумма – “Σ“.
Пример: найдем сумму чисел.
1) 3, 5 и 23.
2) 12, 25, 30, 44.
Ответы:
1) 3 + 5 + 23 = 31
2) 12 + 25 + 30 + 44 = 111.
Вычитание
Вычитание чисел – это обратное сложению математическое действие, в результате коротого находится разность ( c ). Например:
Обозначается вычитание специальным знаком “–“ (минус).
Пример: найдем разность чисел.
1) 62 минус 32 и 14.
2) 100 минус 49, 21 и 6.
Ответы:
1) 62 – 32 – 14 = 16.
2) 100 – 49 – 21 – 6 = 24.
Умножение
Умножение – это арифметическое действие, в результате которого вычисляется произведение.
Обозначается умножение специальными знаками “·“ или “x“.
Пример: найдем произведение чисел.
1) 3, 10 и 12.
2) 7, 1, 9 и 15.
Ответы:
1) 3 · 10 · 12 = 360.
2) 7 · 1 · 9 · 15 = 945.
Деление
Деление чисел – это обратное умножению действие, в результате коротого вычисляется частное ( d ). Например:
Обозначается деление специальными знаками “:“ или “/“.
Пример: найдем частное чисел.
1) 56 разделим на 8.
2) 100 разделим на 5, затем на 2.
Ответы:
1) 56 : 8 = 7.
2) 100 : 5 : 2 = 10 (, ).
Арифметика. Арифметические действия
Содержание
 Арифметика. Арифметические действия |
| Обратные арифметические действия |
| Свойства арифметических действий |
| Порядок выполнения арифметических действий |
| Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000; и т.д. |
Арифметика. Арифметические действия
Арифметическим действием называют операцию, удовлетворяющую ряду свойств и позволяющую по нескольким данным числам найти новое число.
Арифметикой называют науку, изучающую простейшие свойства чисел и арифметических действий.
Существуют шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.
Обратные арифметические действия
Вычитание – это арифметическое действие, обратное к сложению, деление – действие, обратное к умножению, извлечение корня – действие, обратное к возведению в степень.
Свойства арифметических действий
Порядок выполнения арифметических действий
Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени, возведение в степень и извлечение корня – действиями третьей ступени.
Действия одной ступени выполняются в том же порядке, в каком они записаны в формуле.
Если в формуле содержатся действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших ступеней, а затем низших ступеней.
Если формула содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, причем между ними нет никакой разницы.
Если скобки содержат другие скобки, то сначала выполняют действия во «внутренних» скобках.
Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т.д.
Действительно, например, число 3610 состоит из трёх тысяч, шести сотен и одного десятка, поэтому
Порядок выполнения действий в выражениях без скобок
Сложение и вычитание
Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.
Самое простое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.
Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.
Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.
Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно 7. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, яблоках– результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.
Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.
Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.
Сложение столбиком − это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.
Умножение
Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.
Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».
Деление
Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.
Почему умножение первое?
Разберем математические действия на примере. Давайте собирать яблоки у бабушки на даче:
Все яблоки приностили бабушке, она укладывала их по кучкам.
Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:
Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:
50 + 50 + 50 + 5 + 5 + 7 =?;
Здесь можно применить группировку: 3 кучки по 50 яблок − это можно записать через операцию умножения: 3 ∙ 50.
Две кучки по 5 – это тоже можно записать через умножение.
И одна кучка 7 яблок.
И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только яблоки. Нельзя сложить 50 яблок и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки – умножения. Совсем простыми словами – сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 3кучки по 50 яблок каждая, то получится 150 яблок. А дальше их уже можно складывать с яблоками из других кучек.
При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.
Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.
Порядок действий в выражениях без скобок
Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:
В качестве примера рассмотрим следующее выражение:
Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):
Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):
И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):
48 – 4 + 20 = 44 + 20 = 64
Первый способ
Запомните!
При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.
Второй способ
Запомните!
Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.
Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.
Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения: 5 + 2 − 2 − 1 Решение
Показать решение Задание 2. Найдите значение выражения: 14 + (6 + 2 × 3) − 6 Решение
Показать решение Задание 3. Найдите значение выражения: 486 : 9 − 288 : 9 Решение
Показать решение Задание 4. Найдите значение выражения: 756 : 3 : 4 × 28 Решение
Показать решение Задание 5. Найдите значение выражения: 807 : 3 − (500 − 58 × 4) Решение
Дополнительные примеры
В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.
1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо.
Например,
В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:
Полностью пример записываем так:
10 + 15 – 6 – 8 = 25 – 6 – 8 = 19 – 8 = 11
Например,
В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:
Полностью пример записываем так:
15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2
2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.
Например,
В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.
Полностью пример записываем так:
10 – 15 : 3 + 6 • 8 = 10 – 5 + 6 • 8 = 10 – 5 + 48 = 5 + 48 = 53
3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.
Например,
В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.
Полностью пример записываем так:
(25 – 10) : 3 + 6 • 8 = 15 : 3 + 6 • 8 = 5 + 6 • 8 = 5 + 48 = 53
Например,
В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.
Полностью пример записываем так:
42 + 18 : (6 + 12 : 4) = 42 + 18 : (6 + 3) = 42 + 18 : 9 = 42 + 2 = 44
Что такое сложение вычитание умножение деление вычитание
Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально. Запись сложения:
2. Вычитание
3. Умножение
Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.
Например,
2*5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2=10 и 5*2 = 5 + 5= 10.
Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».
4. Деление
Частное от деления одного целого числа на другое целое может не быть целым числом; тогда это частное можно представить дробью. Если частное есть целое число, то говорят, что первое из упомянутых чисел нацело делится или, короче, делится на второе.
Пример №1
5 есть делитель чисел 25, 60, 80 и не является делителем чисел 4, 13, 42, 61.
Пример №2
60 есть кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным чисел 17, 40, 90.
Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое. В случае, когда делимое не делится нацело на делитель, иногда выполняют так называемое деление с остатком.
Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком; он всегда меньше делителя.
Пример №3
19 не делится нацело на 5. Числа 1, 2, 3 в произведении с 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимое 19, но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19. Поэтому неполное частное есть 3. Разность между 19 и произведением 3-5=15 есть 19-15 = 4; поэтому остаток есть 4.
5. Возведение в степень
Возвести число в целую (вторую, третью, четвертую и т. д.) степень значит повторить его сомножителем два, три, четыре и т. д. раз. Число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени; число, указывающее, сколько раз берется одинаковый множитель, называется показателем степени. Результат называется степенью.
Запись;
6. Извлечение корня
Извлечение корня есть нахождение основания степени по степени и ее показателю. Данная степень получает название подкоренного числа, данный показатель — показателя корня, искомое основание степени называется корнем.
Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно являются обратными действиями.