Что такое смежные углы и вертикальные углы определение и свойства

Смежные и вертикальные углы. Определения и свойства.

Смежные и вертикальные углы.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

Дано: и – вертикальные,

3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:

Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».

Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.

Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?

Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?

Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?

Найдите смежные углы, если:

один из них на больше другого;

один в 5 раз меньше другого;

12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:

Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.

Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?

Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.

в 3 раза меньше, чем

величины углов и относятся, как т.е.

Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.

величины углов и относятся как т.е.

величины углов и относятся как т.е.

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.

Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:

один из них на больше другого;

один из них составляет половину другого;

Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.

Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.

Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.

Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.

На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.

На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.

Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

В данной разработке представлены определения смежных и вертикальных углов, теоремы о них и доказательства, перечислены свойства смежных углов в виде следствий из теоремы. Каждое понятие снабжено иллюстрацией. В практической части собраны задания разного содержания и уровня сложности для отработки знаний и умений по данной теме.

Номер материала: ДБ-808247

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Хабаровске родители смогут заходить в школы и детсады только по QR-коду

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Думу внесли законопроект об обязательном образовании для находящихся в СИЗО подростков

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор разрешил провести ВПР по некоторым предметам на компьютерах

Время чтения: 0 минут

Московские школьники победили на международной олимпиаде по информатике

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Давайте докажем это свойство.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

№3. Тип задания: выделение цветом.

Выделите верный ответ из списка:

60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0

Источник

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:

Сумма ∠1 и ∠2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:

Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.

Источник

Какие углы называются смежными, а какие вертикальными

Смежные и вертикальные углы – определение

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.

Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема о смежных и вертикальных углах

Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.

Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.

Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.

Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Смежные углы

Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:

Приведем пример решения задачи со СУ.

Задача

∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.

Решение

Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда ∠1=3х, ∠2=7х. Так как ∠1+∠2=180°(по теореме о СУ), то 3х+7х=180°, 10х=180°, х=18°. Следовательно ∠1=3×18°=54°, ∠2=7×18°=126°

Вертикальные углы

Отметим также неупомянутые свойства ВУ:

Приведем пример решения задачи с ВУ.

Задача

Решение

Так как ∠ C O D и ∠ A O B вертикальные, то значит, они равны, а тогда:

\(\angle AOB=\angle COD=45^\circ\)

\(∠AOB\angle AOB+\angle AOC=180^\circ\)

Из этого \(\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\)

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Источник