Кривая Коха и снежинка Коха
Я решил начать знакомство с фракталами с простого классического примера – кривой Коха. Строится она по простому правилу: каждый ее линейный сегмент на последующей итерации заменяется ломаной:
Начинать можно с прямой линии. Затем, на 1-й итерации она заменяется ломаной, состоящей из 4-х линейных сегментов равной длины. Причем, длина этой ломаной в точности равна длине линейного сегмента. То есть, углы между прямыми составляют 60 градусов. На 2-й итерации каждый линейный сегмент заменяется точно такой же ломаной, только уменьшенной в три раза. И так далее. В результате, у нас получается самоподобная кривая, которая получила название кривой Коха в честь автора – шведского математика Хельге фон Коха:
В то время еще не было понятия фракталов и это был лишь пример кривой, которая всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема. Математик Шарль Эрмит окрестил их «монстрами», а общее научное мнение полагало, что это пример некой математической «патологии» интересной, скорее, исследователям, чем настоящим ученым. Знали бы они тогда, что именно такие кривые лягут в основу описания многих реальных природных процессов и форм. Новые революционные идеи часто в истории встречали такое неприятие.
Но вернемся к кривой Коха. Это пример фрактальной формы. По каким признакам сделан такой вывод? Во-первых, это самоподобие. Здесь отчетливо видно, что на большем масштабе кривая будет оставаться визуально неизменной. Но одного самоподобия мало. Например, известная картина «Черный квадрат» Малевича тоже обладает самоподобием. Этот квадрат можно составить из четырех квадратов меньшей размерности:
Однако, гений Малевича все же не создал фрактала. Что еще не хватает для получения фрактальной формы? Дробной размерности! Квадрат принадлежит плоскости, имеет целую размерность 2, а кривая Коха – находится в дробной размерности, примерно, 1,2618. Я пока опущу вопрос как она была вычислена, мы к этому еще вернемся, главное, что фракталы должны принадлежать дробной размерности. Получаем два важных условия, которыми обладают фрактальные формы:
1) должна быть самоподобной;
2) должна принадлежать дробной размерности.
Обратите внимание, это не определение фракталов. Сам термин (фрактал) все еще находится в развитии и пока полностью не определен. Но эти два условия, на мой взгляд, должны выполняться.
Итак, что же придает фракталам дробная размерность и почему она так важна? Давайте еще наз взглянем на кривую Коха.
Если ее представить в координатных осях, то получим, что одному значению x соответствует несколько значений y. Такие кривые уже не являются одномерными, когда одному значению x соответствует только одно значение y, например, функция cos(x) одномерна:
И в то же время, множество точек кривой Коха по вертикали не выстраиваются в непрерывную линии, а значит, не покрывают все двумерное пространство. Отсюда и получается дробная размерность между единицей и двойкой. Благодаря этой дробности, множество точек кривой Коха образуют узор, а не просто заполняют двумерное пространство, как это было в случае «Черного квадрата» Малевича. Поэтому дробность размерности – характерная черта, наверное, всех фракталов.
Интересной особенностью кривой Коха является ее длина: она постоянно увеличивается по мере увеличения итераций. Действительно, вначале отрезок условно можно принять за 1. Затем, на 1-й итерации он заменяется ломаной, длина которой равна 4/3. На 2-й итерации каждый линейный сегмент заменяется уменьшенной ломаной длиной (4/3)/3 = 4/6 и таких сегментов ровно 4, то есть, суммарная длина линии, равна 
. На следующей итерации длина станет 
, и так далее. Получается, что при числе итераций, стремящихся к бесконечности, длина:
А что с площадью фрактальных фигур? Она тоже будет увеличиваться до бесконечности? Давайте посмотрим. Для этого сделаем построение уже не кривой Коха, а снежинки Коха. Здесь все делается аналогично, только начальная форма является равносторонним треугольником, а не линией:
Если начальную площадь равностороннего треугольника принять за единицу, то на первой итерации площадь увеличится на три малых треугольника, площади которых в 
раз меньше площади исходного треугольника. То есть, площадь составит:
На 2-й итерации имеем дополнительно 12 еще меньших треугольников с площадями в 
раз меньших, исходной площади:
И так далее, то есть, слагаемые в сумме стремительно уменьшаются при увеличении номера итерации и в пределе:
По-моему, неплохой способ предложить своим знакомым нарисовать фигуру с бесконечным периметром, но конечной площадью. У большинства задачка вызовет недоумение – как такое возможно? В школьной программе такого пока не проходят.
Итак, мы с вами познакомились с принципами формирования кривой Коха и снежинки Коха. Узнали о двух необходимых условиях, формирующих фрактальные формы: самоподобие и дробность размерности. И образно попытались уловить восприятие дробного пространства. Если эти моменты вам понятны, то цель этого занятия достигнута.
Кривая Коха или Снежинка Коха
Что такое кривая Коха?
Снежинка Коха (также известная как кривая Коха, звезда Коха или остров Коха) — это математическая кривая и одна из самых ранних из описанных фрактальных кривых. Он основан на кривой Коха, опубликованной шведским математиком Хельге фон Кохом в статье 1904 года под названием «На непрерывной кривой без касательных, построенной из элементарной геометрии».
Прогрессия для области снежинки сходится в 8/5 раз от площади исходного треугольника, тогда как прогрессия по периметру снежинки расходится до бесконечности. Следовательно, снежинка имеет конечную площадь, ограниченную бесконечно длинной линией.
строительство
Шаг 1:
Нарисуйте равносторонний треугольник. Вы можете нарисовать его с помощью компаса или транспортира, или просто посмотреть на это, если не хотите тратить слишком много времени на рисование снежинки.
Шаг 2:
Разделите каждую сторону на три равные части. Вот почему удобно делить стороны на три. 
Шаг 3:
Нарисуйте равносторонний треугольник на каждой средней части. Измерьте длину средней трети, чтобы узнать длину сторон этих новых треугольников. 
Шаг 4:
Разделите каждую внешнюю сторону на трети. Вы можете видеть, что 2-е поколение треугольников покрывает немного первого. Эти три отрезка не должны быть разделены на три. 
Шаг 5:
Нарисуйте равносторонний треугольник на каждой средней части.
Представление в виде системы Lindenmayer
Алфавит : F
Константы : +,?
Аксиома : F
Правила производства : F? F + F-F + F
Здесь F означает «тянуть вперед», — означает «повернуть направо на 60 °», а + означает «повернуть налево на 60 °».
Чтобы создать снежинку Коха, можно использовать F ++ F ++ F (равносторонний треугольник) в качестве аксиомы.
Чтобы создать кривую Коха:
# Программа Python для печати частичной кривой Коха.
# импорт библиотек: стандарт черепахи
# графическая библиотека для python
from turtle import *
# функция для создания снежинки или кривой Коха
def snowflake(lengthSide, levels):
if __name__ = = «__main__» :
# определение скорости черепахи
# Переместить черепаху назад на расстояние,
# напротив направления черепаха
# Не меняйте курс черепахи.
# Для контроля закрытия окон черепахи
Выход:
Чтобы создать полную снежинку с кривой Коха, нам нужно повторить один и тот же рисунок три раза. Итак, давайте попробуем это.
# Программа Python для печати полной кривой Коха.
from turtle import *
# функция для создания снежинки Коха или кривой Коха
def snowflake(lengthSide, levels):
if __name__ = = «__main__» :
# определение скорости черепахи
# Переместить черепаху назад на расстояние, противоположное
# в направлении, куда направляется черепаха.
# Не меняйте курс черепахи.
# Для контроля закрытия окон черепахи
Пожалуйста, пишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой выше теме.
Снежинка Коха
Для просмотра анимации необходимо включить JavaScript.
Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.
Варианты
Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.
Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.
Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.
Что такое снежинка коха
Для более полного понимания моей интерпретации ричардсонова 
как фрактальной размерности перейдем от природных феноменов, над которыми мы не имеем никакой власти, к полностью подвластным нашей воле геометрическим конструкциям.
САМОПОДОБИЕ И КАСКАДЫ
До сих пор мы больше уделяли внимание геометрической сложности береговых линий; настало время упомянуть и о том, что их структура в значительной степени упорядочена.
Хотя выполненные в разных масштабах карты и различаются в конкретных деталях, более общие их особенности остаются неизменными. В грубом приближении крупные детали береговых линий геометрически идентичны мелким, разница только в масштабе.
Такую форму можно сравнить с узором, который рисует на небе какой-нибудь многоступенчатый фейерверк: на каждом этапе его сгорания в общую картину добавляются новые, все более мелкие детали, идентичные по форме результату исходного взрыва. Однако из упоминавшихся выше трудов Льюиса Ричардсона, посвященных турбулентности, мы можем позаимствовать более подходящее сравнение и назвать порождающий такие структуры механизм каскадом.
Если каждая из частей некоторой формы геометрически подобна целому, то и форма, и порождающий ее каскад называются самоподобными. В настоящей главе мы займемся исследованием самоподобия, используя для этого самые что ни на есть правильные фигуры.
Наиболее полную противоположность самоподобным формам представляют собой кривые, которые имеют либо только один масштаб (например, окружность), либо два четко разделенных масштаба (например, окружность, украшенная «гребнем» из множества меньших полуокружностей). Такие формы мы можем охарактеризовать как немасштабируемые.
ТЕРАГОНЫ КАК МОДЕЛИ БЕРЕГОВЫХ ЛИНИЙ. ТРОИЧНАЯ КРИВАЯ КОХА 
Если мы хотим получить кривую, содержащую бесконечное число масштабов длины, то надежнее всего будет ввести их туда собственноручно, один за другим. Правильный треугольник с длиной стороны, равной 1, имеет один масштаб, правильные треугольники с длиной стороны, равной 1/3, также имеют один масштаб, только меньший — уменьшая длину стороны далее по правилу 
, мы будем получать треугольники все меньшего масштаба. Нагромоздив затем все эти треугольники друг на друга (как показано на рис. 70), получим форму, содержащую все масштабы, меньшие 1.
В сущности, мы предполагаем, что некоторый участок береговой линии, изображенный в масштабе 1/1 000 000, выглядит как прямой отрезок единичной длины; назовем такой участок инициатором. Затем мы предполагаем, что на карте масштаба 3/1000 000 становится видимой некая деталь, а именно, — выступ в форме равностороннего треугольника, занимающий среднюю треть исходного отрезка. Полученное таким образом второе приближение — ломаную, составленную из четырех отрезков равной длины — назовем генератором. Предположим далее, что еще более подробная карта (масштаба 9/1000 000) выглядит как результат замены каждого из четырех отрезков генератора уменьшенной в три раза копией этого самого генератора, т. е. из каждого выступа вырастает по два новых выступа той же формы, но меньшего размера.
Продолжая в том же духе, мы заменяем все прямолинейные отрезки ломаными линиями, и первоначально прямой инициатор постепенно превращается во все более длинную ломаную кривую. Поскольку мы будем иметь дело с такими кривыми на всем протяжении этого эссе, предлагаю ввести для их обозначения новый термин терагоны (от греч. «чудовище, странное создание» и «угол»). Кстати, префикс тера обозначает (очень уместно, надо сказать) в метрической системе умножение на 
.
Если продолжить вышеописанный каскадный процесс до бесконечности, то наши терагоны устремятся к пределу, рассмотренному впервые фон Кохом [574] (см. рис. 74). Назовем такую кривую троичной кривой Коха и обозначим символом .
На рис. 71 хорошо видно, что площадь этой кривой обращается в нуль. С другой стороны, с каждой ступенью построения ее общая длина увеличивается в 4/3 раза, следовательно, в пределе длина кривой Коха бесконечна. Более того, кривая Коха непрерывна, но нигде не имеет касательной — точно график непрерывной функции, не имеющей производной.
В качестве модели береговой линии кривая , представляет собой лишь очень отдаленное приближение, но не потому, что она слишком неправильна — скорее потому, что по сравнению с неправильностью типичной береговой линии неправильность кривой Коха уж очень предсказуема. В главах 24 и 28 мы попробуем добиться лучшего соответствия с помощью некоторой рандомизации процесса построения.
КРИВАЯ КОХА В РОЛИ ЧУДОВИЩА
У человека, прочитавшего предыдущий раздел, может сложиться впечатление, что кривая Коха относится к числу наиболее очевидных и интуитивно понятных геометрических фигур. Однако вовсе не так очевидны причины, толкнувшие фон Коха на ее построение. И уж совершенно загадочным представляется отношение к ней со стороны математиков. Чуть ли не единодушно они провозгласили кривую чудовищной! За подробностями обратимся к работе Хана «Кризис здравого смысла» [190], которая, кстати, еще неоднократно нам пригодится. Хан пишет: «Характер [неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную] совершенно не укладывается в рамки того, что мы можем понять интуитивно. В самом деле, всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования образующаяся фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить. Только с помощью разума, применяя логический анализ, мы можем до конца проследить эволюцию этого странного объекта. Если бы мы положились в данном случае на здравый смысл, то составленное нами представление оказалось бы в корне ошибочным, поскольку здравый смысл неизбежно привел бы нас к заключению, что кривых, не имеющих касательной ни в одной своей точке, попросту не бывает. Этот первый пример неадекватности интуитивного подхода затрагивает самые фундаментальные концепции дифференцирования».
Надо отдать Хану должное — в своих высказываниях он не доходит до знаменитого восклицания Шарля Эрмита относительно недифферен- цируемых функций. В письме к Стилтьесу, датированном 20 мая 1893 года, Эрмит пишет об ужасе и отвращении, которые вызывает у него «это наказание Господне, эти жалкие функции без производных» ([211], II, с. 318). Конечно же, каждому из нас хочется верить в то, что великие лишены недостатков и что Эрмит просто шутил, однако из написанной в 1922 году «Заметки» Лебега ([295], I), можно заключить, что это не совсем так. Написав статью о поверхностях, к которым нельзя построить касательные плоскости (об «абсолютно измятых носовых платках»), Лебег представил ее Академии наук для публикации, однако «Эрмит сначала воспротивился включению статьи в «Comptes Rendus»1; примерно к этому времени относится его письмо Стилтьесу. »
Мы с вами уже знаем, что Перрен и Штейнгауз страха перед чудовищами не испытывали, однако единственным математиком, который возражал против общего мнения, основываясь именно на интуитивных соображениях (Штейнгауз возражал, опираясь на факты), был Поль Ле-ви [311]: «[Мне] всегда было удивительно слышать, что если руководствоваться в геометрии здравым смыслом, то непременно приходишь к выводу, что все непрерывные функции дифференцируемы. Насколько я могу судить по собственному опыту, начиная с моей первой встречи с концепцией производной и по сей день, верно как раз обратное».
Как ни печально, эти голоса остались неуслышанными. Почти все книги и абсолютно все музеи науки продолжают уверять нас в том, что недифференцируемые функции противны здравому смыслу, «чудовищны», «патологичны» или даже «психопатичны».
ПРИРУЧЕНИЕ КРИВОЙ КОХА. РАЗМЕРНОСТЬ 
Я утверждаю, что кривая Коха является грубой, но математически строгой моделью береговой линии. В качестве первой количественной проверки рассмотрим длину 
троичного терагона Коха, длина сторон которого равна 
. На этот раз длину кривой можно измерить точно, получив при этом чрезвычайно удовлетворительный результат:
.
Эта точная формула оказывается идентичной эмпирическому закону Ричардсона о длине побережья Британии. Для троичной кривой Коха имеем
,
откуда следует, что значение находится внутри интервала значений, полученных Ричардсоном!
© 2021 Научная библиотека
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
В Коха снежинка (также известный как Кривая Коха, Коха звезда, или Остров Кох [1] [2] ) это фрактальная кривая и один из первых фракталы быть описанным. Он основан на кривой Коха, которая появилась в статье 1904 года под названием «На непрерывной кривой без касательных, которую можно построить из элементарной геометрии». [3] шведским математиком Хельге фон Кох.
Снежинка Коха может быть построена итеративно, в последовательности этапов. Первый этап представляет собой равносторонний треугольник, и каждый последующий этап формируется путем добавления внешних изгибов к каждой стороне предыдущего этапа, образуя меньшие равносторонние треугольники. Области, ограниченные последовательными этапами построения снежинки, сходятся к 8 / 5 раз больше площади исходного треугольника, а периметры следующих друг за другом стадий неограниченно увеличиваются. Следовательно, снежинка охватывает конечную площадь, но имеет бесконечный периметр.
Содержание
строительство
Снежинку Коха можно построить, начав с равносторонний треугольник, затем рекурсивно изменяя каждый сегмент линии следующим образом:
Первый итерация этого процесса дает очертания гексаграмма.
Представление номинально плоской поверхности на основе кривой Коха можно аналогичным образом создать, многократно сегментируя каждую линию в виде пилообразного узора из сегментов с заданным углом. [4]
Свойства
Периметр снежинки Коха
Каждая итерация умножает количество сторон снежинки Коха на четыре, поэтому количество сторон после п итераций определяется как:
обратный степень трех кратной исходной длины. Периметр снежинки после п итераций это:
Кривая Коха имеет бесконечная длина, поскольку общая длина кривой увеличивается в 4 / 3 с каждой итерацией. Каждая итерация создает в четыре раза больше линейных сегментов, чем на предыдущей итерации, причем длина каждого из них составляет 1 / 3 длину отрезков на предыдущем этапе. Следовательно, длина кривой после п итерации будут ( 4 / 3 ) п умноженное на периметр исходного треугольника и неограничен, поскольку п стремится к бесконечности.
Предел периметра
Поскольку количество итераций стремится к бесконечности, предел периметра равен:
Площадь снежинки Коха
На каждой итерации новый треугольник добавляется с каждой стороны предыдущей итерации, поэтому количество новых треугольников, добавленных в итерации п является:
Площадь каждого нового треугольника, добавленного на итерации, равна 1 / 9 площади каждого треугольника, добавленного на предыдущей итерации, поэтому площадь каждого треугольника, добавленного в итерации п является:
где а0 площадь исходного треугольника. Общая новая площадь, добавленная за итерацию п следовательно является:
Общая площадь снежинки после п итераций это:
Сворачивание геометрической суммы дает:
Пределы площади
Предел площади составляет:
поскольку | 4 / 9 | 8 / 5 площади исходного треугольника. Выражается в длине стороны s исходного треугольника это: [6]
Твердая революция
Другие свойства
Снежинка Коха самовоспроизводится с шестью меньшими копиями, окружающими одну большую копию в центре. Следовательно, это неоправданная плитка (см. Реп-плитка для обсуждения).
В фрактальная размерность кривой Коха пер 4 / пер 3 ≈ 1,26186. Это больше, чем у линии (= 1), но меньше, чем у Пеанос кривая заполнения пространства (=2).
Тесселяция самолета
Возможно мозаика самолет копиями снежинок Коха в двух разных размерах. Однако такая тесселяция невозможна с использованием снежинок только одного размера. Так как каждую снежинку Коха в тесселяции можно разделить на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти тесселяцию, в которой одновременно используется более двух размеров. [8] Для облицовки плоскости можно использовать снежинки Коха и антиснежинки Коха одинакового размера.
Последовательность Туэ – Морзе и графика черепахи
полученная кривая сходится к снежинке Коха.
Представление как система Линденмайера
Кривая Коха может быть выражена следующим образом: переписать систему (Система Линденмайера):
Вот, F означает «тянуть вперед», — означает «повернуть направо на 60 °», и + означает «повернуть налево на 60 °».
Варианты кривой Коха
Следуя концепции фон Коха, было разработано несколько вариантов кривой Коха с учетом прямых углов (квадратичный), другие углы (Cesàro), кружки и многогранники и их расширения в более высокие измерения (Sphereflake и Kochcube соответственно)
| Вариант (измерение, угол) | Иллюстрация | строительство | |
|---|---|---|---|
| ≤1D, угол 60-90 ° | Антикривая вышивки крестиком, квадратичная чешуйка типа 1, с кривыми, обращенными внутрь, а не наружу (Фрактал Вичека) | ||
| ≈1,49D, угол 90 ° |
| Еще одна вариация. Его фрактальная размерность равна пер 3.33 / пер √ 5 = 1.49. | |
| ≤2D, угол 90 ° |
| Продолжение квадратичной кривой типа 1. На рисунке слева показан фрактал после второй итерации.
| Трехмерный фрактал, построенный из кривых Коха. Форму можно рассматривать как трехмерное продолжение кривой в том же смысле, что и Пирамида Серпинского и Губка менгера можно рассматривать как продолжение Треугольник Серпинского и Ковер Серпинского. Версия кривой, используемая для этой формы, использует углы 85 °. |
Квадраты можно использовать для создания подобных фрактальных кривых. Начиная с единичного квадрата и добавляя к каждой стороне на каждой итерации квадрат с размером, равным одной трети квадратов на предыдущей итерации, можно показать, что и длина периметра, и общая площадь определяются геометрической прогрессией. Прогрессия для площади сходится к 2, в то время как прогрессия для периметра расходится до бесконечности, так что, как и в случае снежинки Коха, у нас есть конечная площадь, ограниченная бесконечной фрактальной кривой. [15] Результирующая область заполняет квадрат с тем же центром, что и исходная, но в два раза больше площади и вращается на π / 4 радианы, периметр соприкасается, но никогда не перекрывается.
Общая площадь на п итерация:
а общая длина периметра составляет:
который приближается к бесконечности как п увеличивается.
