Что такое событие в математике
Лекция по математике на тему: События
Тема занятия: Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятности события. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Цель занятия: Познакомить с разделом математики: теорией вероятности. Научить решать задачи с элементами теории вероятности; Находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей.
12.1. Элементы теории множеств и математической логики
1. Понятия множества и подмножества. Способы задания множеств.
2. Операции над множествами.
3. Понятия логического значения, высказывания и предиката.
4. Алгебра высказываний.
1. Понятия множества и подмножества. Способы задания множеств
В математике некоторые понятия являются первичными, неопределяемыми. К ним относятся понятия натурального числа, точки, прямой и т.д. Одним из таких неопределяемых понятий является понятие «множество». Этому понятию нельзя дать формального определения, которое не сводилось бы просто к замене слов «множество» его синонимами: «совокупность», «набор элементов», и т.п. В языках существуют различные обозначения множественности: птицы собираются в стаи, рыбы – в косяки; много людей – группа, марок – коллекция, фломастеров – набор и т.д. В математике аналог этого явления обозначается одним словом – множество, которое абстрагируется от содержания своих элементов. Можно говорить не только о множествах, элементами которых являются материальные объекты, но и о множествах, элементы которых – чисто абстрактные понятия (числа, геометрические фигуры, символы и т.п.).
Теория множеств – раздел математики, изучающий множества (это объект изучения), например, общие свойства множеств как абстрактных объектов (это – предмет).
Множество состоит из элементов (это единственно, что можно сказать о нем: не оговаривается количество и природа). Понятие «множество» не следует понимать буквально и толковать его как совокупность, содержащую «много» элементов. Оказывается удобным считать множеством даже пустое – содержащее ноль элементов.
Множество считается заданным, если существует возможность для любого элемента выяснить принадлежность его к множеству. Имеется два существенно различных способа задания множеств. Можно либо указать правило для определения того, принадлежит или не принадлежит рассматриваемому множеству любой данный объект (описание), либо дать полный перечень элементов этого множества (перечисление). Например, одно и то же множество из четырех человек мы можем определить как участников музыкального квартета, или как людей по фамилиям Иванов, Петров, Сидоров и Романов.
Способы задания множеств
Описанием A= Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: — события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события; — понятие классической вероятности события; — поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности; — поиск вероятности суммы событий. Испытанием называется осуществление определенных действий. Событие— факт, который может произойти в результате испытания. Любой результат испытания называется исходом. Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания. Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными. Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит. Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них. Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N. Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события. Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события. Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно. Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188. Открытые электронные ресурсы: Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/. Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/. Теоретический материал для самостоятельного изучения В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти? 1) вынутый предмет окажется клубком 2) вынутый предмет окажется красным клубком 3) вынутый предмет окажется зеленым клубком 4) вынутый предмет не окажется клубком Ответ: первое и третье. 1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей. Испытанием называется осуществление определенных действий. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания. Любой результат испытания называется исходом. Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…). Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения. 2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания. Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными. Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка». Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху. Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них. Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий. Элементарными событиями являются: — Выпал один «орел» и одна «рещка». 3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N. Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события. Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события. Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем. Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков. Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514. 1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий. К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие. Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны. Рассмотрим произвольный эксперимент. Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0. Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1. Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий: Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще? Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3; 10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4. Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата. Таким образом, чаще выпадает сумма 10. Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей. Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых. Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296. Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу. В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №33. Вероятность события. Сложение вероятностей. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: — события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события; — понятие классической вероятности события; — поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности; — поиск вероятности суммы событий. Испытанием называется осуществление определенных действий. Событие— факт, который может произойти в результате испытания. Любой результат испытания называется исходом. Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания. Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными. Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит. Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них. Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N. Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события. Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события. Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно. Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1, сс. 180-188. Открытые электронные ресурсы: Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/. Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/. Теоретический материал для самостоятельного изучения В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти? 1) вынутый предмет окажется клубком 2) вынутый предмет окажется красным клубком 3) вынутый предмет окажется зеленым клубком 4) вынутый предмет не окажется клубком Ответ: первое и третье. 1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей. Испытанием называется осуществление определенных действий. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания. Любой результат испытания называется исходом. Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…). Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения. 2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания. Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными. Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка». Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху. Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них. Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий. Элементарными событиями являются: — Выпал один «орел» и одна «рещка». 3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N. Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события. Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события. Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем. Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков. Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514. 1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий. К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие. Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны. Рассмотрим произвольный эксперимент. Пусть n— число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0. Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1. Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий: Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще? Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов: 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3; 10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4. Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата. Таким образом, чаще выпадает сумма 10. Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей. Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых. Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296. Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу. В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5. Теория вероятностей — есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона Событие (значения) — Событие то, что имеет место, происходит, наступает в произвольной точке пространства времени; значительное происшествие, явление или иная деятельность как факт общественной или личной жизни; множество исходов эксперимента.Отдельные индивидуумы… … Википедия Событие — Событие то, что имеет место, происходит, наступает в произвольной точке пространства времени; значительное происшествие, явление или иная деятельность как факт общественной или личной жизни; подмножество исходов эксперимента. Культура… … Википедия ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… … Физическая энциклопедия ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера Вероятностей теория — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… … Большая советская энциклопедия ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… … Математическая энциклопедия Теория Демпстера — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Демпстера Ш … Википедия ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая дисциплина, изучающая математический аспект феномена случайного, в соответствии с чем центральным понятием этой теории является понятие В. количественной меры возможности осуществления события при наличии неопределенности, т.е. в… … Социология: Энциклопедия Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … ВикипедияАлгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Событие (теория вероятностей)
Смотреть что такое «Событие (теория вероятностей)» в других словарях: