Что такое сочетание математика
1.3.3. Сочетания
В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:
Сочетаниями называют различные комбинации из 
объектов, которые выбраны из множества 
различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из 
элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле 
.
Задача 3
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение: прежде всего, обращаю внимание на то, что по логике такого условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать
).
В задаче речь идёт о выборке из четырёх деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
(прерываю решение для промежуточных объяснений)
И здесь, конечно, не нужно «тягать» значения 
. В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае 
) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде 
. Распишу очень подробно:
способами можно взять 4 детали из ящика.
Ещё раз: что это значит? Это значит, что из 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетаний из 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ: 1365 способами
Формуле 
необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: 
. Применительно к разобранной задаче:
– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
– единственным способом можно выбрать все пятнадцать деталей.
Рекомендую вновь обратиться к Приложению Формулы комбинаторики и внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля (пункт 3), по которому очень удобно выполнять проверку вычислений количества сочетаний 
при небольших значениях «эн».
Для самостоятельного решения:
Задача 4
а) Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
б) В шахматном турнире участвует 
человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?
Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. Решения и ответы в конце книги.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Краткое описание
Изучение математических правил не может обойти стороной число сочетаний из n по k. Формулы комбинаторики как науки активно используются во всех жизненных отраслях. Этот раздел включён в школьную программу старших классов и вступительные испытания многих вузов России. Удивительная комбинаторика лежит в основе прикладного искусства.
Это направление науки начало активно развиваться ещё шесть веков назад. Достоверно известно, что первые комбинаторные задачи присутствовали в трудах философов и талантливых математиков Средневековья. В те времена представители стремительно развивающегося научного мира всячески пытались найти актуальные методы решения поставленных задач, хотели определить основные правила и понятия, а также утвердить уникальные в своём роде формулы и математические уравнения для тех, кто ещё не знаком с этим научным направлением.
Актуальные формулы и нормы комбинаторики применяются в распространённой теории вероятностей, где специалисты могут быстро и качественно подсчитать процент случайных событий, чтобы в итоге получить закон реального распределения случайных величин. При правильном подходе можно углублённо изучать закономерности тех или иных событий, что очень важно для понимания статистических природных правил, которые неизбежно проявляются в окружающей природе и эксплуатируемой технике.
Ключевые нюансы
Используемое в математике число сочетаний с повторениями можно подробно изучить по книгам и специальным изданиям. Комбинаторика подробно описана в том разделе науки, который занимается многофункциональными операциями с множеством задействованных элементов.
Экспертами было доказано, что это направление затрагивает довольно большой математический пласт, в котором ученикам предлагается изучить, сколько в мире существует различных комбинаций, подчиняющихся определённым условиям. Основной задачей этой науки можно считать требование размещения различных объектов по специальным правилам и последующее нахождение точного количества способов таких расположений.
На просторах интернета можно встретить много различных учебников и другого познавательного материала по информатике/математике для школьников, а также специальные сборники уравнений и сложных примеров для студентов, где в доступном и максимально подробном виде объяснена довольно увлекательная и познавательная комбинаторика. В начальных классах задачи на эту тему решают на специальных кружках, а вот в гимназиях с углублённым изучением точных наук ей посвящают основные уроки. Многоуровневые задачи по комбинаторике включены в программу олимпиады.
Существует ряд базовых понятий, которые нужно усвоить учащимся:
Необходимо отметить тот факт, что за основу может быть взят объект или целое явление, которое попадает в искомое множество. Перестановка затрагивает элементы, которые находятся в большом количестве и определённом порядке. Сочетание — своеобразные подмножества, пребывающие в произвольной форме. Размещение представляет собой упорядоченные подмножества в исходном множестве. Правильно посчитать нужный коэффициент можно при помощи многофункциональных онлайн-калькуляторов, которые обладают всеми необходимыми функциями.
Выборки и подсчёт суммы
Если предположить, что А =
Различными выборками называются только те математические примеры, которые отличаются исключительно порядком следования элементов. Если отличия незначительные, тогда ученику предстоит работать с неупорядоченной комбинацией. В отдельных примерах могут допускаться или не должны допускаться повторения задействованных элементов.
Чаще всего перед учащимися возникает необходимость подсчёта точного числа вероятных выборок с определёнными математическими параметрами. Довольно часто для контроля над вероятными комбинаторными объектами используется два ключевых приёма — правила произведения и суммы. На каждый случай специалисты предусмотрели ряд важных правил, которые призваны обезопасить учащегося от различных ошибок.
Базовое требование математического произведения основано на том, что когда исследуемый объект А может быть выбран различными f способами, то итоговый выбор А и B в указанном ранее порядке может быть осуществлён f * n методами. Правило суммы отличается тем, что если ученик имеет несколько возможностей выбрать точку А, тогда поиск А или В можно будет осуществить по специальной системе f + n.
Действующее правило произведения
Именно это направление в комбинаторике является одним из базовых для решения поставленных задач. При тщательном выборе элемента А из n способов (В из m) правильным считается то утверждение, в соответствии с которым одновременно подобрать пару А и В можно n * m методами, что очень важно. На этот случай действует три основных утверждения:
В эффективности описанных правил можно убедиться, благодаря некоторым примерам. По условиям задачи дано два ромба, три мяча, четыре гантели и пять кубов. Ученику нужно определить, сколькими способами можно будет вытянуть ромб, мяч, гантель и куб. Решение элементарное: 2*3*4*5= 120. Стоит отметить, что в этой задаче может быть задействован факториал, с помощью которого всегда можно вычислить более сложные варианты и решить трудные задачи.
По условиям следующего примера дано два мяча и пять скакалок. Задача состоит в том, чтобы определить, какова вероятность достать 1 скакалку и 1 мяч. Решение: 2*5=10.
Решение примеров комбинированного типа
Если ученик разобрался с основными свойствами сочетаний, то он также должен изучить уравнения всех доступных разновидностей задач с наиболее подходящими методами поиска правильных ответов. Эксперты рекомендуют потренироваться на более запутанных ситуациях, которые встречаются в повседневной жизни каждого человека. Основные категории задач:
Экспертами неоднократно было подтверждено, что комбинаторика является интересной и познавательной наукой, так как в наш век быстрой модернизации инновационных технологий постоянно будут нужны профессиональные специалисты, которые способны в полном объёме предоставить разнообразные решения для тех или иных практических задач.
Доступные размещения с повторениями и без них
Изучаемое число сочетаний без повторений сопряжено с некоторыми дополнительными нюансами. В этом случае в распоряжении учащегося имеется n разных математических элементов. Многих в такой ситуации интересует, сколько именно можно будет составить актуальных k расстановок.
Два базовых подхода считаются различными только при условии, если они отличаются друг от друга минимум одним элементом или состоят из аналогичных элементов, которые расположены в разном порядке. Каждый нюанс должен быть учтён, так как от этого зависит итоговый результат.
Сочетания и размещения — что это такое и в чем разница
Оба этих понятия – сочетание и размещение – относятся к науке комбинаторике. Это раздел математики, созданный учеными Б. Паскалем и П. Ферма в процессе исследования теории карточных игр. Комбинаторика используется в решении задач особенного рода: когда требуется вычислить количество потенциальных вариантов для какой-либо ситуации. Примером может служить подсчет возможных позиций на шахматной доске после первого хода «черных» и «белых».
О сочетании и размещении говорят, когда из множества необходимо выбрать какое-либо подмножество. Понятия эти весьма близки по своему смыслу, поэтому так трудно бывает понять разницу между ними. Но она существует (причем принципиальная!). Ниже об этом достаточно простым языком написано в статье.
Сочетания
Сочетание – это подмножество, состоящее из К элементов, выбранных из множества, включающего в себя N элементов. При этом выполняется такое условие: N > К.
Важный момент: порядок расположения в данной выборке никакого значение не имеет. То есть комбинации, отличающиеся порядком размещения элементов, но не составом, считаются одинаковыми сочетаниями.
Образно проиллюстрировать понятие можно на примере лотереи. Предположим, человеку предлагается угадать 3 выпавшие цифры из 15-ти. Он выбрал следующий набор – 1, 6, 10. И уже не важно, в каком порядке они выпадут: 1, 6, 10; 1, 10, 6; 10, 1, 6; 10, 6, 1; 6, 10, 1; 6, 1, 10. Главное – состав комбинации. Если он совпадает с загаданным накануне набором цифр, игрок считается победителем.
Сочетания обозначаются следующим образом: С К N. Где N – количество элементов в множестве, а К – количество объектов в производимой выборке. Для нашего примера N = 15, а К = 3.
Существует формула для определения числа возможных сочетаний в множестве. Выглядит она так: N!/((N-K)!*K!) подставим цифры из нашего примера:
Это означает, что из 15 чисел можно составить 455 различных комбинаций, включающих в себя три разных числа.
Такие подсчеты в нашем примере позволяют определить велики ли шансы субъекта на выигрыш.
Размещения
В самом названии этого термина присутствует корень, позволяющий понять его суть. Размещение – тоже подмножество, выбранное из первоначального множества. Но здесь уже существенное значение имеет место расположения элемента в комбинации. То есть если сочетания могут различаться только составом объектов, то размещения разнятся и составом, и порядком следования элементов.
Получается, что количество размещений всегда превосходит число сочетаний, при условии выборки из одного и того же множества.
Это легко проследить, если сделать выборку трех элементов из множества, состоящего всего из 4 объектов (от 1-го до 4-х).
Сочетаний здесь будет всего 4 (это легко проверить и по приведенной выше формуле):
Размещений же окажется гораздо больше:
123, 132, 321, 312, 231, 213, 234, 243, 324, 342 и т.д.
Существует формула, позволяющая подсчитать возможное количество размещений в представленном множестве:
Для нашего примера посчитаем количество потенциальных размещений:
Получается, что для состоящего из 4-х элементов множества существует 4 сочетания и целых 24 размещения.
Для тех, кто увлекается спортивными ставками, эти знания могут пригодится для того, чтобы рассчитать шансы на выигрыш.
Например, в турнире участвует 6 команд. Необходимо определить количество возможных комбинаций троек призеров кубка.
Обозначим названия команд буквами: А, Б, В, Г, Д, Е.
Сначала определим команду, которая станет золотым призером чемпионата. Таких вариантов, очевидно, 6: А, Б, В, Г, Д, Е.
Затем выбираем один из вариантов (пусть это будет комбинация, в которой золото принадлежит команде А), и определяем для него потенциального серебряного призера. Таких комбинаций уже окажется всего 5, так как одна команда уже записана на 1-м месте: АБ, АВ, АГ, АД, АЕ.
Такую пятерку вариаций можно сформировать для каждой из команд. То есть всего претендентов на серебро оказывается 30 (5*6).
Для каждой двойки первых призеров (чемпион-серебряный призер) можно составить только 4 комбинации с бронзовым призером. Первые два места уже распределены, так что остается 4 команды (6-2). Подберем комбинации для варианта АБ: АБВ, АБГ, АБД, АБЕ.
Мы уже подсчитали выше количество возможных комбинаций для первых двух мест – их оказалось 30. Теперь это число умножаем на 4 – получаем 120.
Выходит, что если в турнире участвует 6 команд, вариантов их размещения по первым трем местам может быть целых 120. Угадать призеров не так просто.
Сочетания и размещения: в чем же разница?
И сочетания, и размещения являются выборкой из определённого множества. Принципиальная разница между понятиями заключается лишь в том, что в случае сочетаний порядок расположения элементов не имеет значения, а в случае размещений он важен. Именно поэтому в пределах одного и того же множества количество сочетаний всегда оказывается меньше числа размещений.
Что такое сочетание математика
Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.
В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.
Предварительно познакомимся с понятием факториала.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют
Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Число перестановок можно вычислить по формуле
Запишем эту формулу в факториальной форме:
Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:
Комбинаторика: размещения и сочетания
При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия
 Факториалы |
| Перестановки |
| Размещения |
| Сочетания |
Размещения
Рассмотрим следующую задачу.
На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует
способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует
способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует
различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа.
При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем.
В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде:
В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9 пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов – 4 карточки, выложенные в ряд.
Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из 9 элементов по 4 элемента, т.е. число 
В соответствии с формулой (1),
что и было получено в задаче.
смысл которой заключается в следующем.
Сочетания
Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом 
Таким образом, справедлива формула:
откуда вытекает формула
 | (2) |
Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2):
|  |
|  |
| |
|  |
В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):
С понятиями факториала числа n и перестановок из n элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: факториалы и перестановки» нашего справочника.