Что такое сочетание в математике определение

Сочетания и размещения — что это такое и в чем разница

Оба этих понятия – сочетание и размещение – относятся к науке комбинаторике. Это раздел математики, созданный учеными Б. Паскалем и П. Ферма в процессе исследования теории карточных игр. Комбинаторика используется в решении задач особенного рода: когда требуется вычислить количество потенциальных вариантов для какой-либо ситуации. Примером может служить подсчет возможных позиций на шахматной доске после первого хода «черных» и «белых».

О сочетании и размещении говорят, когда из множества необходимо выбрать какое-либо подмножество. Понятия эти весьма близки по своему смыслу, поэтому так трудно бывает понять разницу между ними. Но она существует (причем принципиальная!). Ниже об этом достаточно простым языком написано в статье.

Сочетания

Сочетание – это подмножество, состоящее из К элементов, выбранных из множества, включающего в себя N элементов. При этом выполняется такое условие: N > К.

Важный момент: порядок расположения в данной выборке никакого значение не имеет. То есть комбинации, отличающиеся порядком размещения элементов, но не составом, считаются одинаковыми сочетаниями.

Образно проиллюстрировать понятие можно на примере лотереи. Предположим, человеку предлагается угадать 3 выпавшие цифры из 15-ти. Он выбрал следующий набор – 1, 6, 10. И уже не важно, в каком порядке они выпадут: 1, 6, 10; 1, 10, 6; 10, 1, 6; 10, 6, 1; 6, 10, 1; 6, 1, 10. Главное – состав комбинации. Если он совпадает с загаданным накануне набором цифр, игрок считается победителем.

Сочетания обозначаются следующим образом: С К _N. Где N – количество элементов в множестве, а К – количество объектов в производимой выборке. Для нашего примера N = 15, а К = 3.

Существует формула для определения числа возможных сочетаний в множестве. Выглядит она так: N!/((N-K)!*K!) подставим цифры из нашего примера:

Это означает, что из 15 чисел можно составить 455 различных комбинаций, включающих в себя три разных числа.

Такие подсчеты в нашем примере позволяют определить велики ли шансы субъекта на выигрыш.

Размещения

В самом названии этого термина присутствует корень, позволяющий понять его суть. Размещение – тоже подмножество, выбранное из первоначального множества. Но здесь уже существенное значение имеет место расположения элемента в комбинации. То есть если сочетания могут различаться только составом объектов, то размещения разнятся и составом, и порядком следования элементов.

Получается, что количество размещений всегда превосходит число сочетаний, при условии выборки из одного и того же множества.

Это легко проследить, если сделать выборку трех элементов из множества, состоящего всего из 4 объектов (от 1-го до 4-х).

Сочетаний здесь будет всего 4 (это легко проверить и по приведенной выше формуле):

Размещений же окажется гораздо больше:

123, 132, 321, 312, 231, 213, 234, 243, 324, 342 и т.д.

Существует формула, позволяющая подсчитать возможное количество размещений в представленном множестве:

Для нашего примера посчитаем количество потенциальных размещений:

Получается, что для состоящего из 4-х элементов множества существует 4 сочетания и целых 24 размещения.

Для тех, кто увлекается спортивными ставками, эти знания могут пригодится для того, чтобы рассчитать шансы на выигрыш.

Например, в турнире участвует 6 команд. Необходимо определить количество возможных комбинаций троек призеров кубка.

Обозначим названия команд буквами: А, Б, В, Г, Д, Е.

Сначала определим команду, которая станет золотым призером чемпионата. Таких вариантов, очевидно, 6: А, Б, В, Г, Д, Е.

Затем выбираем один из вариантов (пусть это будет комбинация, в которой золото принадлежит команде А), и определяем для него потенциального серебряного призера. Таких комбинаций уже окажется всего 5, так как одна команда уже записана на 1-м месте: АБ, АВ, АГ, АД, АЕ.

Такую пятерку вариаций можно сформировать для каждой из команд. То есть всего претендентов на серебро оказывается 30 (5*6).

Для каждой двойки первых призеров (чемпион-серебряный призер) можно составить только 4 комбинации с бронзовым призером. Первые два места уже распределены, так что остается 4 команды (6-2). Подберем комбинации для варианта АБ: АБВ, АБГ, АБД, АБЕ.

Мы уже подсчитали выше количество возможных комбинаций для первых двух мест – их оказалось 30. Теперь это число умножаем на 4 – получаем 120.

Выходит, что если в турнире участвует 6 команд, вариантов их размещения по первым трем местам может быть целых 120. Угадать призеров не так просто.

Сочетания и размещения: в чем же разница?

И сочетания, и размещения являются выборкой из определённого множества. Принципиальная разница между понятиями заключается лишь в том, что в случае сочетаний порядок расположения элементов не имеет значения, а в случае размещений он важен. Именно поэтому в пределах одного и того же множества количество сочетаний всегда оказывается меньше числа размещений.

Источник

Что такое сочетание в математике определение

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Источник

Комбинаторика основные понятия и формулы с примерами

Комбинаторика — раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В — m раз, то А или В можно выбрать (n + m) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Источник

1.3.3. Сочетания

В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:

Сочетаниями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .
Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, обращаю внимание на то, что по логике такого условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать
).

В задаче речь идёт о выборке из четырёх деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

(прерываю решение для промежуточных объяснений)

И здесь, конечно, не нужно «тягать» значения . В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:

способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетаний из 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

– единственным способом можно не выбрать ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
– единственным способом можно выбрать все пятнадцать деталей.

Рекомендую вновь обратиться к Приложению Формулы комбинаторики и внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля (пункт 3), по которому очень удобно выполнять проверку вычислений количества сочетаний при небольших значениях «эн».

Для самостоятельного решения:

Задача 4

а) Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

б) В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по одной партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути. Решения и ответы в конце книги.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Число сочетаний

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Явные формулы

При фиксированном n производящей функцией последовательности чисел сочетаний , , , … является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.

Число сочетаний с повторениями из n по k равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном значении n производящей функцией чисел сочетаний с повторениями из n по k является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является:

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Число сочетаний» в других словарях:

70 (число) — 70 семьдесят 67 · 68 · 69 · 70 · 71 · 72 · 73 40 · 50 · 60 · 70 · 80 · 90 · 100 Факторизация: 2×5×7 Римская запись: LXX Двоичное: 100 0110 … Википедия

ЭКСПОЗИЦИОННОЕ ЧИСЛО — световое число, условное число, однозначно выражающее внеш. условия при фотосъёмке (обычно яркость объекта съёмки и светочувствительность применяемого фотоматериала). Любому значению Э. ч. можно подобрать неск. сочетаний диафрагменное число… … Большой энциклопедический политехнический словарь

двойственное число — Форма числа, выделяющая два предмета как по отношению к единичному предмету, так и по отношению к множеству предметов. В современном русском языке эта форма не существует, но остатки ее влияния сохранились. Так, сочетания два стола (ср. мн. ч.… … Словарь лингвистических терминов

КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ — комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия

Сочетание — В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера

Комбинаторика — 1) то же, что математический Комбинаторный анализ. 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов… … Большая советская энциклопедия

ПАРАДОКС — (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия

Формула включений-исключений — (или принцип включений исключений) комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом … Википедия

Комбинаторный анализ — математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Источник