Что такое софизм в математике
Что такое софизм в математике
Математические софизмы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Тема нашей работы «Софизмы в нашей жизни». Мы выбрали эту тему для своего проекта не случайно. Как-то вечером папа задал мне вопрос: «Саша, а ты знаешь, что 6 = 7? Мне стало интересно. Папа с легкостью доказал это равенство.
Вот как это было: 6=7.
Вынесем общий множитель за скобки: 6(7 + 2 – 9) = 7(7 + 2 – 9)
Разделим обе части на общий множитель (7 + 2 – 9).
Цель: узнать, что такое софизмы и научиться находить ошибку в софизмах.
1. Познакомиться с историей софизмов.
2. Узнать, какие бывают софизмы. Классификация софизмов.
3. Понять, как найти ошибку в софизмах?
5. Составить анкету для обучающихся, познакомить одноклассников с результатами работы.
6. Составить рекомендации для нахождения ошибок в софизмах.
Объект и предмет исследования: софизмы
1. Анализ литературы и информации, полученной из Интернет источников
2. Обсуждение темы с учителем, родными и одноклассниками
3. Анкетирование одноклассников
4. Анализ и обобщение полученных данных.
2. Теоретическая часть
2.2. История возникновения софизмов
Мы изучили историю возникновения софизмов. Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложными умозаключениями. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.
Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях.
Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», т.е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.
Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.
1. Человек, прибегающий к софизмам для доказательства заведомо неверных мыслей, положений.
Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».
В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.
2.3. Классификация ошибок в софизмах
Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.
Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:
Логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство. Но закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», или «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;
Терминологические ошибки – неправильное употребление слов или построение предложения. Например, «Все углы треугольника равны 180 градусам» в смысле «Сумма углов треугольника равна 180 градусам».
Ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!
3.1. Разбор математических софизмов
Рассмотрим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики. Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Математические софизмы делятся на 4 вида: арифметические, алгебраические, геометрические, логические. Мы рассмотрим некоторые из них.
Один рубль не равен ста копейкам
Доказательство:
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
1 р.=100 коп, (1)
10р.=10*100коп.(2)
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп., таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: необходимо переходить к единым единицам измерения.
Докажем, что 5 =6. С этой целью возьмем числовое равенство 35 + 10- 45 = 42 + 12 — 54. Вынесем общий множитель левой и правой части за скобки. Получим 5(7 + 2 — 9) = 6 (7 + 2 — 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (7 + 2 — 9). Получаем 5=6. В чем ошибка?
Ошибка: нельзя делить на равенство (7 + 2 — 9), т. к. (7 + 2 — 9)= 0. Ма знаем еще из начальной школы, что на 0 делить нельзя.
Таки образом, можно доказать равенство любых разных двух чисел.
Софизм «Пропавший рубль»
Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе7 Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе решил сделать скидку посетительницам, сказав что кофе стоит 25 рублей. Официант взял деньги и побежал доганять подруг, но пока он бежал, подумал, что им будет трудно делить 5 рублей, ведь их трое, поэтому решил отдать им по 1 рублю, а 2 рубля оставить себе. Так и сделал.
Ошибка. Задача сформулирована так, чтобы запутать читателя. Подруги заплатили 27 рублей, из этой суммы 25 рублей осталось у хозяина кафе, а 2 рубля у официанта. И никакого пропавшего рубля!
Софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:
Полный стакан равен пустому
Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому.
Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен
стакану пустому. Где ошибка?
Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно, т.к. пустое увеличить вдвое не возможно.
Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:
The more you study, the more you know
The more you know, the more you forget
The more you forget, the less you know
The less you know, the less you forget
The less you forget, the more you know
Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?
Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом!
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Софизм «Загадочное исчезновение» (Приложение 1). У нас есть произвольный прямоугольник на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Куда исчезла 13-я линия?
Разбор софизма. 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины.
Примеры софизмов приведены в Приложении 2.
Работая над проектом, мы составили рекомендации по нахождению ошибок в софизмах (Приложение 3).
Мы провели анкетирование среди обучающихся 7 классов на знание софизмов. В анкетировании приняло участие 40 человек. Были заданы следующие вопросы:
1. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы «Два равно трём»?
«Да» – 24 человека, 60 %
2. Знакомо ли вам понятие «софизм»?
3. Хотелось ли вам познакомиться с софизмами?
Анкетирование показало, что немногим ребятам известно понятие «софизм». 90 % обучающихся хотели бы больше узнать о софизмах. Мы выступим перед ребятами с нашим проектом.
Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, мы составили рекомендации по разбору софизмов (Приложение 3). Наш проект будет полезен людям, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей.
Мы считаем, наш проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.
Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть наша гипотеза верна.
Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.
«Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.
«Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.
Т.Н. Михеева. Софизмы
«Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.
«Парадоксы науки». Автор: А.К.Сухотин. Издательство «Молодая гвардия», 1978 г.
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
Девушка — не человек
Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.
Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
Разговор софиста и любителя спорить
Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”
Софист: “ А мёд сладкий?”
Софист: “А мёд желтый?”
Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”
Не знаешь то, что знаешь
— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.
Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:
— Смежные углы равны 180 градусам;
— Накрест лежащие углы равны.
Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах
Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.
Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие.
Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.
Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».
Реферат Математические софизмы
«Московская Городская Педагогическая Гимназия-лаборатория »
ученика 9 класса «А» Филюшин Георгий
Глава №1.Что такое софизмы. 4
§1.История термина «софизм». 4
§2 Математические софизмы. 5
Глава №2. Арифметические и алгебраические софизмы. 6
§3 Арифметические софизмы. 6
§4 Алгебраические софизмы. 8
Глава №3. Геометрические и логические софизмы. 10
§5 Геометрические софизмы. 10
§6 Логические софизмы. 11
Софизм- это умышленное ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. В математических софизмах часто выполняются «запрещенные» действия, не учитываются условия применимости формул и правил[1].
Я выбрал эту тему для своего реферата потому что она меня заинтересовала. Мне было интересно узнать, что некоторые заведомо ложные утверждения, оказывается, можно доказать. В процессе работы над рефератом я выяснил, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.
Цель моего исследования – узнать что такое математические софизмы и научиться их решать.
В задачи моего реферата входит:
· узнать, как они появились
· научиться распознавать софизмы
· научиться их доказывать
· рассмотреть софизмы в общем
· рассмотреть арифметические софизмы
· рассмотреть алгебраические софизмы
· рассмотреть геометрические софизмы
В своем реферате я использовал разные сборники софизмов, таких как «Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» и учебное пособие « История философской мысли».
Глава №1.Что такое софизмы.
В этой главе рассказывается история софизмов в целом и математических софизмов в частности.
§1.История термина «софизм»
Софизмы (от греч. «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – это умышленные ложные умозаключения, которые имеют вид правильных. Они обязательно содержат одну или несколько замаскированных логических ошибок. Например, в математических софизмах часто выполняются «запрещенные» действия, такие как деление на ноль, не учитываются условия применимости формул и правил.
Софистика – направление философии, которое возникло в V-IV вв. до н. э. в Греции и стало очень популярным а Афинах. Софистами называли платных «учителей мудрости», которые учили граждан риторике, искусству слова, приемам ведения спора, красноречию. Одним из представителей софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а это и есть гражданское искусство».
Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает, поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное одновременно, таким образом они приучали людей к широте взглядов[2]. Первую систематизацию софизмов дал еще Аристотель в IV веке до нашей эры. Он разделил все ошибки на 2 класса «ошибки речи» и ошибки «вне речи», то есть в мышлении.
Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:
1. логические и ошибки в рассуждениях. Например: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено», «Все люди разумные существа, жители планет не люди, следовательно, они не разумные существа;
2. терминологические – неправильное употребление слов или построение предложения. Например «Все углы треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π», «сколько пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т. е. 5 + (2*2)) или 14 (т. е. (5 + 2) * 2);
3. ошибки в применении формул. Например : Чётное и нечётное. 5 есть 2 + 3 («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!
§2 Математические софизмы.
Как было сказано ранее, в математических софизмах чаще всего используются «запрещенные действия» либо не учитываются условия применимости теорем, формул или правил. Часто понимание людьми ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, развивает логику и навыки правильного мышления. Поиск ошибки в софизме ведет к ее пониманию и осознанию, а осознавая ошибку, человек имеет больше шансов ее не допустить. Также, в истории развития математики софизмы способствовали повышению точности формулировок и более глубокому пониманию понятий математики.
Математические софизмы делятся на арифметические, алгебраические и геометрические.
Глава №2. Арифметические и алгебраические софизмы.
В данной главе я рассмотрю алгебраические и арифметические софизмы, и решу некоторые из них.
§3 Арифметические софизмы.
Арифметические софизмы– это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
Вынесем за скобки общий множитель каждой чести (1) равенства, и мы получим:
Разложим число 4 на произведение 2 *2
Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения (2) устанавливаем: 2*2=5.
Ошибка заключается в том, что нельзя было выносить множитель за скобки в уравнение №2.
Один рубль не равен ста копейкам.
Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. Если a=b, c=d, то ac=bd.
Применим это положение к двум очевидным равенствам
Перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп.
Наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп.
таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.
Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его.
Возьмем два положительных равных числа a и b и напишем для них следующие неравенства:
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
Разделим его на b (это законно, т. к. b>0), получим a > b.
Записав же два других столь же бесспорных неравенства:
Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство
Разделив на a>0, придем к b > a.
Итак, число a, равное числу b, одновременно и больше, и меньше его.
Ошибка заключается в неправильном почленном перемножении, вследствие которого место выражений a>-b ; b>-a получились выражения a>b; a У, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т. е. а+ b + c = d. Умножив обе части этого равенства на Х, а затем на У, получим:
Сложив почленно эти равенства
получим Хa + Хb + Хc + Уd = Уa + Уc + Уb + Хd. Перенося здесь Уd вправо, а Хd влево, имеем
Вынося слева число Х, а справа число У за скобки, придем к соотношению
Ошибка, как и в предыдущих примерах заключается в делении на 0, то есть на ( a + b + c d )
Глава №3. Геометрические и логические софизмы.
В этой главе я рассмотрю логические и геометрические софизмы, и решу некоторые из них.
§5 Геометрические софизмы.
Геометрические софизмы основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.
Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.
Пусть в окружности приведен диаметр АВ. Через точку В проведем любую хорду ВЕ, не проходящую через центр, затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АС. Наконец, точки Е и С соединим отрезком прямой. Рассмотрим ∆ АВD и ∆ЕDС. В этих треугольниках: ВD = DЕ (по построению), А= Е (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ВDА= ЕDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, ∆ ВDА= ∆ЕDC, а в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Поэтому,
АВ=ЕС.
По теореме о признаке равенства треугольника:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
А в нашем случае, А не прилежит к стороне В D.
Ошибка заключается в неправильном применении теоремы о равенстве треугольников.(равны 2 угла, не прилежащие к одной стороне).
§6 Логические софизмы.
Полупустое и полуполное
Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное
Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.
Заключение.
Поначалу может показаться, что существует мало софизмов, или что они не используются в жизни, то есть бесполезны. Но это не так. Существует огромное множество разных видов софизмов. И математические софизмы – всего лишь небольшая их часть. За свою жизнь человек слышит десятки софизмов, не умея отличить их от правдивых утверждений, и даже не зная, что вообще означает слово софизм.
Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, например в софизме «Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру» пришлось долго искать ошибку в применении теоремы. К концу работы над рефератом ошибки стали находиться быстрее. Хорошо развитое логическое мышление может помочь не только в решении задач, но и в обычной жизни.
Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Им можно заниматься как целенаправленно, так и в свободное время для собственного удовольствия, как например решение сканвордов или судоку.
Итак, выполнив все поставленные перед собой задачи, я считаю, что я достиг своей цели и научился распознавать и решать софизмы.
1. «История философской мысли»: Основы православной культуры,2007.
2. «Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» : Грамотей,2007.
3. «софизмы» http://sofizmy. / действительна на 12.05.11
[1] «Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия» : Грамотей,2007.стр 2.
[2] «История философской мысли»: Основы православной культуры,2007. Стр. 71-72