Что такое согласованный фильтр

Согласованный фильтр и его основные характеристики

6.2.1 Импульсная характеристика и отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Согласованным фильтром называется линейная цепь, которая для определенной аддитивной смеси сигнала и шума обеспечивает на выходе наибольшее отношение сигнал/шум. Согласованный фильтр можно рассматривать как оптимальный, у которого критерием оптимальности является достижение максимума отношения сигнал/шум. Для согласованного фильтра не важно как искажается выходной сигнал по отношению к входному. Важно, чтобы при этом достигалось максимально возможное по отношению к любым другим фильтрам отношение сигнал/шум на выходе.

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра h_сф(t) и отношение сигнал/шум на его выходе q_вых в случае, если на вход поступает аддитивная смесь сигнала и шума

Входное отношение сигнал/шум, характеризующее процесс определим как отношение сигнал/шум по энергии:

.

Выходное отношение сигнал/шум, характеризующее отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определим как отношение сигнал/шум по мощности, равное квадрату пикового отношения сигнал/шум:

, (6.13)

где S_вых(t₀) – выходное значение сигнала в момент t₀, при котором выходной импульс достигает максимума; – дисперсия выходного шума в момент t₀.

В силу принципа суперпозиции величины и S_вых(t₀) могут быть найдены раздельно. В частности

(6.14)

Для определения воспользуемся формулой (4.14), в которой положим и учтём, что

(6.15)

Подставив (6.14) и (6.15) в (6.13), получим

(6.16)

Существует неравенство Буняковского-Шварца

(6.17)

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

(6.18)

Применяя неравенство (6.17) к выражению (6.16), получим

(6.19)

Неравенство (6.17) превращается в равенство, если импульс­ную характеристику согласно условию (6.18) выбрать в следующем виде:

(6.20)

Выражение (6.20) определяет импульсную характеристику согласованного фильтра, так как при этом достигается максимум отношения сигнал/шум на выходе. Этот максимум равен отношению сигнал/шум на входе независимо от формы сигнала S(t):

или

что для пикового отношения сигнал/шум соответствует равенству

(6.21)

где индекс СФ указывает, что равенство (6.21) достигается только в согласованном фильтре.

На рис. 6.2 показана методика построения импульсной характеристики , когда известна форма сигнала S(t). Пусть сигналом является треугольный импульс длительности t₀ (рис. 6.2,а). Строим его зеркальное отображение S(- t) путем поворота импульса вокруг оси ординат (рис. 6.2,б). Затем задерживаем импульс на время t₀ и изменяем масштаб по оси ординат, то есть учитываем коэффициент пропорциональности k (рис. 6.2,в).

Источник

Согласованный фильтр

Рисунок 1. Параллельное подключение n согласованных фильтров

Рисунок 1. Параллельное подключение n согласованных фильтров

Согласованный фильтр

В телекоммуникации под термином «согласованный фильтр» понимают оптимальный линейный фильтр, предназначенный для максимизации отношения сигнал-шум (signal to noise ratio, SNR) для известного полезного сигнала в присутствии мешающего аддитивного случайного шума. Согласованные фильтры часто используются при обнаружении сигналов путем сравнения (определения корреляции) известного сигнала или шаблона с принимаемым сигналом. В данном случае целью является принятие решения о присутствии или отсутствии в принимаемом сигнале искомого сигнала.

Рисунок 1. Параллельное подключение n согласованных фильтров

Одной из проблем построения согласованных фильтров для радиолокационных применений является то, что на практике принимаемый сигнал и шаблон априори являются неизвестными. Во многих ситуациях отраженные сигналы настолько изменяются вследствие эффекта Допплера, что перестают быть просто отражением соответствующих зондирующих сигналов. Так, например, в спектре эхо-сигнала могут присутствовать сразу несколько (иногда достаточно много) допплеровсских частот. Для распознавания вертолета важны как доплеровская частота, вызванная отражением зондирующего сигнала от вращающихся лопастей, так и допплеровская частота, соответствующая отражению от фюзеляжа, то есть определяемая радиальной скоростью всего вертолета. На практике, для каждого возможного отдельного частотного диапазона спектра отраженного сигнала должен быть построен отдельный согласованный фильтр.

Цепь сжатия импульсов представляет собой типовую форму согласованного фильтра, применяемого в радиолокации. Такой фильтр является оптимальным, когда форма принятого сигнала идентична форме зондирующего сигнала. Однако именно такую форму будут иметь, в том числе, и сигналы отраженные от неподвижных объектов, таких как местные предметы. Такие отражения называют пассивными помехами и их отображение в большинстве случаев не желательно. Если в спектре эхо-сигнала появляются допплеровские составляющие, то фильтр перестает быть оптимальным. Все частотные составляющие смещаются в определенном направлении на частотной оси, в зависимости от направления движения цели по отношению к радиолокатору. Очевидно, что в таком случае либо самые высокочастотные, либо самые низкочастотные составляющие спектра будут режектированы и не будут попадать в обработку.

Аппаратные и программные средства современных современных радиолокаторов обеспечивают компенсацию такого эффекта. Простейший вариант заключается в том, что для дальнейшей обработки не обязательно наличие обеих (верхней и нижней) частотных составляющих, а сигнал цели может быть сформирован даже когда одна из них отсутствует. Также возможно решение, при котором фильтр строится с учетом дополнительных частотных составляющих спектра искомого сигнала. В более совершенных системах используются несколько фильтров одновременно (параллельно), каждый из которых настроен на определенную допплеровскую частоту (Рисунок 1). Сигналы после этих фильтров попадают на схему (или в программную процедуру), реализующую логику «наибольший из», на выход которой проходит сигнал с наилучшим отношением сигнал-шум. Если количество фильтров велико, то лучше всего они могут быть реализованы в цифровом виде. Поэтому часть схемы (Рисунок 2), расположенная в левой части рисунка, часто реализуется программным способом.

Для каждого из возможных допплеровских спектров будет использоваться свой приемник, полоса частот которого, в данном случае будет оптимальной. Далее определение согласованной фильтрации применяют уже ко всему приемнику и уже весь приемник считают согласованным. Может использоваться параллельно несколько цифровых приемников с оптимизированными полосами частот и и оптимизированными фильтрами для каждого допплеровского спектра. Для каждой цели используется только один выход приемника, который обеспечивает наилучшее отношение сигнал-шум.

Источник

Вопрос 15: Что такое “согласованный фильтр”?

Частотно-избирательная цепь, выполняющая обработку смеси сигнала и шума наилучшим образом называется оптимальным фильтром. Критерием оптимальности в радиотехнике принято считать обеспечение максимума отношения сигнал/шум. Это требует выбора такой формы частотного коэффициента передачи фильтра, которая обеспечивает максимум отношения сигнал/шум на его выходе.

Частотный коэффициент передачи (или комплексная частотная характеристика) является основной характеристикой линейной стационарной цепи. Его можно определить как отношение спектральных плотностей входного и выходного сигнала:

Рис.1 Пример согласованной фильтрации при одновременном

действии сигнала и помехи

Когда спектральная плотность помехи перекрывает весь спектр сигнала, то АЧХ фильтра должна по виду масштабно повторять спектральную плотность сигнала (Рис.1,в). В этом случае ослабление сигнала из-за неравномерности K(ω) выражено меньше, чем ослабление помехи, поскольку K(ω) повторяет S(ω) по форме. K(ω) стремится к нулю на тех участках частотного спектра, вклад которых в энергию сигнала мал.

В результате на выходе фильтра помеха ослаблена по отношению к сигналу и обеспечено максимально возможное отношение сигнал /шум.

Рассмотренный пример показывает, что оптимальная фильтрация строится на принципе согласования амплитудно-частотной характеристики фильтра с формой спектральной плотности сигнала. Поэтому оптимальный фильтр называют согласованным и говорят о согласованной фильтрации по отношению к известной форме входного сигнала.

На практике СФ применятся, к примеру, в обнаружителях

Отклик фильтра на входное воздействие x(t) найдем с помощью интеграла Дюамеля (формулы свертки),

Данное выражение в точке t = t₀ повторяет корреляционный интеграл. Поэтому оптимальный обнаружитель полностью известного сигнала можно построить по схеме, представленной на Рис.2

Источник

Согласованный фильтр его импульсная и частотная характеристики

В предыдущей статье рассмотрели оптимальный прием сигналов и ансамбль сигнала. В этой статье поговорим о согласованном фильтре, его свойствах и АЧХ и ФЧХ характеристиках.

Согласованный фильтр

Согласованный фильтр — линейный оптимальный фильтр, позволяющий получить максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра для сигналов известной формы.

Линейный фильтр вносит линейные искажения. Если на нелинейное устройство подать моногармонический сигнал (обычную синусоиду) с одной частотой, то на выходе устройства, посмотрев на спектр, увидим новые спектральные составляющие, гармоники. У линейного устройства новые спектральные составляющие не появляются. На выходе любого линейного устройства, те же самые спектральные составляющие, что и на его входе, без добавления новых гармоник, у этих устройств изменяются только амплитуда и фаза.

Оптимальный фильтр, оптимальный это значит, что он достигает какого-то наилучшего качества. Если мы говорим про оптимальность, то мы должны говорить и про критерий оптимальности, т.е. что у нас достигается наилучшим способом. В данном случае критерием оптимальности является отношение сигнал/шум.

Для каждого сигнала существует свой согласованный фильтр. Сигнал на выходе любого линейного фильтра, в том числе и согласованного, определяется выражением:

Свойства согласованного фильтра

Для любого линейного фильтра сигнал на выходе определяется через свертку сигнала на входе и его импульсной характеристики.

Импульсная характеристика фильтра это реакция фильтра (т.е. то что мы получим на выходе фильтра), на дельта импульс.

Если на вход фильтра подадим дельта импульс, то на выходе получим отклик, этот отклик и есть импульсная характеристика.

Дельта импульс это математическая абстракция, это импульс, который имеет бесконечно большую амплитуду, бесконечно малую длительность и площадь этого импульса равна единице. На практике, такой дельта импульс можно заменить коротким импульсом. Спектр дельта импульса равномерен и бесконечен.

Импульсная характеристика согласованного фильтра

Импульсная характеристика СФ имеет отзеркаленную форму сигнала, для которого фильтр согласован:

Не важно какую амплитуду имеет сигнал, если по форме сигнал повторяет импульсную характеристику, то фильтр будет согласован для этого сигнала. На картинке ниже представлено два примера. Есть треугольный сигнал, осциллограмма в виде треугольного импульса.

Какой фильтр будет для него согласован? Тот который имеет импульсную характеристику повторяющую форму сигнала, но отзеркаленную.

Другой пример, выше, затухающая синусоида сигнала. Чтобы спроектировать согласованный фильтр для такого сигнала, нужно взять форму сигнала и отзеркалить ее и получится импульсная характеристика.

Если у сигнала меняется амплитуда, становится больше или меньше, импульсная характеристика не меняется, фильтр всё равно будет согласован.

Частотные характеристики согласованного фильтра

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала.

Комплексная экспонента е^-i2πTf говорит о сдвиге фаз, возникшем в результате задержки сигнала в фильтре на время T. Откуда взялась комплексная экспонента? Любой фильтр вносит задержку, а комплексная экспонента поворачивает фазу сигнала.

Эта функция H(f) комплексная, у нее есть мнимая и реальная части. Формула с точностью до постоянного множителя (константы) повторяет Фурье-образ сигнала S(f). Единственное, нужно взять Фурье-образ и сделать над ним комплексное сопряжение. Фурье-образ сигнала это результат преобразования Фурье. Это комплексный спектр сигнала.

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала с точностью до какого-то постоянного коэффициента. Импульсная характеристика повторяет форму сигнала, частотная характеристика повторяет спектр сигнала, только комплексно сопряжена.

Комплексное сопряжение. Если есть комплексное число в котором есть реальная и мнимая часть, то комплексное число сопряженное, это число у которого меняется знак мнимой части. c=a+jb и c=a-jb.

АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра

Из передаточной характеристики H(f) получаем АЧХ и ФЧХ. Чтобы получить АЧХ нужно у этой функции взять модуль. АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента k повторяет амплитудный спектр сигнала:

ФЧХ согласованного фильтра повторяет фазовый спектр сигнала с обратным знаком и с учетом задержки:

где ψs(f) — фазовый спектр сигнала.

На картинке выше есть амплитудный и фазовый спектр. Чтобы получить согласованный фильтр, нужно взять фильтр, который имеет АЧХ повторяющий амплитудный спектр сигнала и ФЧХ повторяющий фазовый спектр сигнала, но с обратным знаком. Наклон, который появился на графике “ФЧХ согласованного фильтра” появился из-за задержки сигнала.

Отклик согласованного фильтра

Предположим, есть сигнал, который имеет прямоугольную форму, для него спроектирован согласованный фильтр, который будет иметь импульсную характеристику в виде прямоугольного импульса.

Если на вход согласованного фильтра подать прямоугольный импульс, то на выходе получится сигнал, который определяется через свёртку.

Свёртка это перемножение двух функций в различный момент сдвига друг относительно друга и затем функции нужно их проинтегрировать.

На картинке, зафиксировали положение импульсов. Есть один импульс s(t) на входе и вторая импульсная характеристика согласованного фильтра h(t). В конкретный момент времени нужно вычислить площадь, которая образуется пересечением и эта площадь — значение сигнала на выходе в какой-то конкретный момент времени. И нужно постепенно смещать этот импульс и снова вычислять площадь и так далее. В итоге получим функцию, это и есть свертка.

Сигнал проходя через согласованный фильтр не сохраняет свою форму.

С точки зрения приема сигнала важна не его форма, а значение сигнала. В следующей статье расскажем про приемники.

Источник

Сравнение методов распознавания сигналов. Нейронные сети против согласованного фильтра

Я недавно опубликовал статью «Распознавание радиотехнических сигналов с помощью нейронных сетей»[1]. И там была довольно длинная и интересная дискуссия по поводу возможности использования для этих целей согласованного фильтра(СФ). Разумеется, использовать согласованные фильтры для той задачи, что решалась, проблематично. Но меня заинтересовал другой вопрос, что лучше использовать при незначительных колебаниях параметров сигнала, нейронные сети(НС) или СФ. В качестве генератора сигнала буду использовать обычный мультивибратор. Подавать сигнал буду через звуковую карту, а далее распознавать с помощью метода описанного в [1] и с помощью согласованного фильтра. Далее ПО сравнит результаты и даст ответ какой метод лучше.

Часть 1. Генератор сигнала

Для того чтобы сравнение было адекватным, будем распознавать РЕАЛЬНЫЙ сигнал. Для его создания нужен генератор. Так же понадобится генератор шума. Сигнал будем генерировать с помощью мультивибратора. И чтобы «не лезли» ВЧ составляющие на выход надо поставить ФНЧ. Питание осуществляется от USB. Диапазон подаваемого напряжения на аудио карту должен быть в пределах 0.001 — 1.5В. А выход с мультивибратора лежит от 0 до 5В. Для ограничения напряжения будем использовать Г-образный делитель. Ниже представлена принципиальная схема генератора.

Делать с нуля я его не стал, т.к. на втором курсе, в рамках хакатона, собирал предусилитель кардиосигнала для съема кардиоинтервалограммы, который отличается только отсутствием ПОС между двумя каскадами. Поэтому я ограничился добавлением этой связи. Вот что в итоге получилось.

В качестве генератора белого шума, я использовал метод randNorm из своей мат. библиотеки AI.MathMod для языка C#.

Часть 2. Прием сигнала

Для приема и записи сигнала я использовал библиотеку NAudio для языка C#. Далее надо создать класс для записи сигнала. В начале подключаем пространства имен.

Объявляем глобальные переменные:

И метод для начала записи (взято отсюда):

Часть 3. Согласованный фильтр

Теперь надо создать модель согласованного фильтра. Согласованный фильтр(СФ) обеспчивает максимальное ОСШ(отношение сигнал/шум) в случае если фильтр согласован с полезным сигналом, т.е. АЧХ фильтра совпадает с модулем спектральной плотности сигнала. Состоит СФ из согласованного фильтра для одиночного импульса(СФОИ), линий задержки(ЛЗ) и сумматора. СФОИ для прямоугольного импульса состоит из интегратора, ЛЗ, инвертора и сумматора(для радио импульса с прямоугольной огибающей интегратор заменен на радиоинтегратор, в качестве которого часто выступает полосовой фильтр, в частности колебательный контур или резонансный усилитель с колебательным контуром в коллекторной цепи). Ниже представлена структурная схема. Увеличение ОСШ происходит благодаря тому, что сигнал узкополосный, а помеха широкополосная.[2]

Так же накопитель дает увеличение ОСШ в раз, где m количество импульсов в пачке. Из-за дороговизны и сложности реализации ЛЗ, в реальных задачах все чаще используют метод с цифровым накоплением. Тогда вероятность ложной тревоги и верного обнаружения задаются следующими соотношениями:

Структура накопителя(все коеф. «а» = 1):

Схематично работа накопителя представлена ниже:

Из-за того что периоды следования импульсов равны как и длительности импульсов, можно использовать вместо набора линий задержек только одну, поставить так называемый рециркулятор с накопителем.[3]

В нашем случае идеальный, без потерь. Структурная схема СФ.

Подробнее о структуре и расчетах СФ можете почитать в [2 стр. 415 — 427] и [3 стр. 563 — 598].

При вероятности нахождения там сигнала >0.6 принимается решение, что сигнал зарегистрирован.

Часть 4. ПО для сравнения

Архитектура программы в своей структуре содержит «два флажка»,

при старте программы они оба неактивны, имеется метод, который каждый раз, как опрашивается окно проверяет активны ли флажки, если активен первый флажок зачисляется 1 балл согласованным фильтрам. Если же второй, то балл зачисляется нейронной сети. В любом случае все параметры возвращаются в исходное положение.

Итог

Было проведено 20 экспериментов, в которых использовался, согласованный фильтр настроенный на исследуемый сигнал, ОСШ = 0.4, результат: 16:4 в пользу СФ. После чего была изменена длительность сигнала на 5%, результат: 2:18 в пользу НС. Из этого можно сделать вывод, что при ИЗВЕСТНЫХ параметрах СФ работает намного лучше чем ИНС, но когда параметры не известны, или могут варьироваться, целесообразней использовать ИНС.

Литература:

Источник